1、15.3 5.3 因式分解定理因式分解定理2因式分解與多項式系數所在數域有關因式分解與多項式系數所在數域有關如：如： 422422xxx 2222xxx （在有理數域上）（在有理數域上） 2222xxxixi 問題的引入問題的引入（在實數域上）（在實數域上）（在復數域上）（在復數域上）3設設 ，且，且 ，若，若( ) p xP x 1p x ( )p x不能表示成數域不能表示成數域 P上兩個次數比上兩個次數比 低的多項式的低的多項式的 ( )p x 定義定義5.6乘積，則稱乘積，則稱 為數域為數域P上的上的不可約多項式不可約多項式.( )p x注注 一個多項式是否不可約依賴于系數域一個多項式是

2、否不可約依賴于系數域. 一次多項式總是不可約多項式一次多項式總是不可約多項式. 1、不可約多項式、不可約多項式4 多項式多項式 不可約不可約. ( )( ( )1p xp x ( )p x的因式只有非零常數及其自身的非零常數倍的因式只有非零常數及其自身的非零常數倍. ( )( )( ),( )1.p xf xp xf x 或或 引理引理 多項式多項式 不可約，對有不可約，對有( ) f xP x( )p x證證：設：設 則則 ( ( ),( )( ),p xf xd x ( )( )d x p x或或( )( ),0d xcp xc( )( )d xcp x ( ( ),( )1p xf x

3、( )( )p xf x( )0d xa即即 或或axd )(5不可約不可約. ，若，若 ( )p x( ), ( ) f xg xP x ( )( ) ( ),p xf x g x則則 或或 ( )( )p xf x( )( ).p x g x證證：若：若 結論成立結論成立 .( )( ),p xf x若若 不整除不整除 ，則，則 ( ( ),( )1p xf x ( )( )p xf x定理定理5.7 設設( )( ).p xg x不可約，不可約， ( )p x12( )( )( )( ),sp xfx fxfx則必有某個使得則必有某個使得 ( ),if x( )( ).ip xfx推廣：

4、推廣：設設65.定定理理6若若 ，則，則 可可( ( )1f x( )f x唯一地分解成數域唯一地分解成數域 P上的一些不可約多項式的乘積上的一些不可約多項式的乘積. 所謂唯一性是說，若有兩個分解式所謂唯一性是說，若有兩個分解式 1212( )( )( )( )( )( )( )stf xp x pxpxq x qxq x 定理定理5.8則則 ，且適當排列因式的次序后，有，且適當排列因式的次序后，有 st ( )( )iiip xc q x 其中其中 是一些非零常數是一些非零常數 (1,2, )ic is 2、因式分解及唯一性定理、因式分解及唯一性定理,)(xPxf7( )f x總可表成總可表

5、成 1212( )( )( )( )srrrsf xcpx pxpx ( ) ,( )1,f xP xf x 對對其中為其中為 的首項系數，的首項系數， 為互不相同的，為互不相同的，c( )f x( )ip x 首項系數為首項系數為1的不可約多項式，的不可約多項式，.irZ 的的標準分解式標準分解式.稱之為稱之為( )f x 標準因式分解式：標準因式分解式：8注：注： 若已知兩個多項式若已知兩個多項式 的標準分解式的標準分解式, ,( ),( )f xg x ( ),( ) .f xg x則可直接寫出則可直接寫出就是那些同時在就是那些同時在 的標準的標準( ),( )f xg x ( ),(

6、)f xg x分解式中出現的不可約多項式方冪的乘積，所帶分解式中出現的不可約多項式方冪的乘積，所帶方冪指數等于它在中所帶的方冪指數方冪指數等于它在中所帶的方冪指數( ),( )f xg x中較小的一個中較小的一個9( )( ),1,2,iif x g xrlis 例例 若的標準分解式分別為若的標準分解式分別為( ),( )f xg x1212( )( )( )( ),0srrrsif xapx pxpxr 1212( )( )( )( ),0slllsig xbpx pxpxl 則有則有 1212( ), ( )( )( )( ),ssf xg xpx pxpx min,1,2,iiir li

7、s 10 雖然因式分解定理在理論有其基本重要性，雖然因式分解定理在理論有其基本重要性，但并未給出一個具體的分解多項式的方法但并未給出一個具體的分解多項式的方法實際上，對于一般的情形，普通可行的分解多實際上，對于一般的情形，普通可行的分解多項項式式的方法是不存在的而且在有理數域上，多的方法是不存在的而且在有理數域上，多項式的可約性的判定都是非常復雜的項式的可約性的判定都是非常復雜的11在在分分別別求求設設多多項項式式)( ,)( xfxxf1234 數數域域上上的的標標準準有有理理數數域域、實實數數域域、復復解解：55.例例.因因式式分分解解式式)()( 22322 xxxf:有有理理數數域域)

8、()()( 22232 xxxxf:實實數數域域)()()()( 22223 xxixixxf:復數域復數域12二、重因式二、重因式設設 為數域為數域P的不可約多項式，的不可約多項式， ( )P ,f xx ( )p x則稱則稱 為為 的的 重因式重因式，其中，其中k是非負整數是非負整數.( )f xk( )p x若若 1, 則稱則稱 為為 的的重因式重因式.k( )f x( )p x（若（若 =0=0， 不是不是 的因式的因式) ) k( )f x( )p x若若 ，但但 ( )|( )kpxf x1( ) |( ) ,kpxf x 定義定義5.7若若 1, 則稱則稱 為為 的的單因式單因式

9、.k( )f x( )p x1 1、定義、定義13 若若 的標準分解式為：的標準分解式為： ( )f x1211( )( )( )( )srrrsf xcpx pxpx 則則 為為 的的 重因式重因式 . . ir1,2,is( )ip x( )f x時，時， 為單因式為單因式 ;1ir ( )ip x時時, 為重因式為重因式 .1ir ( )ip x2、重因式的判別和求法、重因式的判別和求法方法一：方法一：14方法二：方法二： （定理定理5.9）若不可約多項式若不可約多項式 是是 的的 重因式重因式( )f xk( )p x(1),k 則它是則它是 的微商的微商 的的 重因式重因式.1k (

10、 )fx ( )f x為為 的的 重因式，但未必是重因式，但未必是( )p x( )fx 1k ( )p x( )f x的的 重因式重因式. . k注：注： 定理定理5.95.9的逆命題不成立的逆命題不成立，即即15例舉例說明下面命題是不對的例舉例說明下面命題是不對的 ( )( )1fxnf xn 是是的的 重重根根是是的的重重根根解：令解：令 則則321( )5,3f xxxx22( )21(1) ,fxxxx 但但 1( 1)1150,3f 是是 的的2重根，重根， ( )fx1x 1不是不是 的根，從而不是的根，從而不是 的的3重根重根 ( )f x( )f x16推論推論1若不可約多項

11、式若不可約多項式 是是 的的 重因式重因式則則 是是 的因式的因式，但不是但不是 的因式的因式.( )p x( )( )kfx( )f x(1),k ( )p x(1)( ),( ),( )kf xfxfx k推論推論2不可約多項式不可約多項式 是是 的重因式的重因式 ( )p x( )f x是是 與與 的公因式的公因式. ( )f x( )p x( )fx 17推論推論3注注: :不可約多項式不可約多項式 為為 的的 重因式重因式 為為 的的 重因式重因式. . ( )f x( )p x( )p xk( ( ),( )f xfx 1k 與與 有完全相同的不可約因式，有完全相同的不可約因式，

12、( )f x( )( ( ),( )f xf xfx ( )( ( ),( )f xf xfx 且且 的因式皆為單因式的因式皆為單因式. 18 ，若若 其中其中 為不可約多項式，為不可約多項式， 則則 為為 的的 重因式重因式. . ( )f x( )P f xx 11( ( ),( )( )( ),srrsf xfxpxpx ( )ip x( )ip x1 ir推論推論4推論推論5多項式多項式 沒有重因式沒有重因式 ( )f x( ),( )1.f xfx 19根據推論根據推論3、4可用輾轉相除法可用輾轉相除法，求出求出( ( ),( )f xfx 注：注：來判別來判別 是否有重因式若有重因

13、式是否有重因式若有重因式 ，還可由還可由( )f x的結果寫出來的結果寫出來. ( ( ),( )f xfx 例例5.6 判別多項式判別多項式 有無重因式有無重因式.若有求出重因若有求出重因式，及其重數式，及其重數.( )f x123 xxxxf)( 解解：,)( 1232 xxxf利用輾轉相除法，利用輾轉相除法，201( )q x 1( )r x 2( )qx 123 xxx)( xf 1232 xx)( xfx310313223 xxx132312 xxx827 0332 xx1 x91 9192312 xx9898 x1 x89 0,)(),(1 xxfxf.)(重重因因式式的的是是21

14、xfx 21三、多項式函數與余數定理三、多項式函數與余數定理 1. 1. 多項式函數多項式函數將的表示式里的用代替，得到將的表示式里的用代替，得到P中的數中的數( )f xx 稱為當時稱為當時 的的值值，記作，記作( )f x( ).f x 這樣，對這樣，對P中的每一個數，由多項式中的每一個數，由多項式 確定確定P中唯一的一個數中唯一的一個數 與之對應，于是稱與之對應，于是稱 為為P上上的一個的一個多項式函數多項式函數 ( )f x( )f ( )f x設設,)(011axaxaxfnnnn ,011aaannnn 數數 ,P 22若多項式函數若多項式函數 在在 處的值為處的值為0，即，即 (

15、 )f xx ( )0,f 則稱則稱 為為 的一個的一個根根或或零點零點 ( )f x2. 2. 多項式函數的根多項式函數的根( (或零點或零點) ) 易知，若易知，若12( )( )( ),( )( ) ( ),h xf xg xh xf x g x 12( )( )( ),( )( ) ( ).hfghfg 則，則，23（余數定理）（余數定理）：若用一次多項式：若用一次多項式 去除多項式去除多項式 x 則所得余式是一個常數，該常數等于函數則所得余式是一個常數，該常數等于函數( ),f x值值 ( ).f 二、多項式函數的有關性質二、多項式函數的有關性質1. 1. 余數定理（定理余數定理（定

16、理5.105.10） 是是 的根的根 ( )f x()|( ).xf x 推論推論: :24 例例1 求求 在在 處的函數值處的函數值. 42( )49f xxxx 3x 法一：法一：把把 代入代入 求求 3x ( ),f x( 3).f 用用 去除去除 所得余數就是所得余數就是 3x ( ),f x( 3).f 法二：法二：( 3)69 .f 答案：答案：25若若 是是 的的 重因式，重因式， 則稱則稱 為為x ( )f xk 的重根的重根.( )f xk當當 時，稱時，稱 為為 的單根的單根 1k ( )f x當當 時，稱時，稱 為為 的重根的重根 1k ( )f x2. 2. 多項式函數

17、的多項式函數的k k重根重根定義定義26注：注： 是是 的重根的重根 是是 的重因式的重因式 ( )f xx ( )f x 有重根有重根 必有重因式必有重因式( )f x( )f x反之不然，即有重因式未必反之不然，即有重因式未必 有重根有重根( )f x( )f x22( )(1) ,f xxR x 例如，例如，為為 的重因式，但在的重因式，但在R上上 沒有根沒有根 ( )f x( )f x21x 273. 3. 根的個數定理根的個數定理 ( (定理定理5.115.11 ) )任一任一 中的中的 次多項式次多項式 在在 中的根中的根 P xn(0),n P不可能多于不可能多于 個，重根按重數

18、計算個，重根按重數計算 n4. 定理定理5.12且且 ( ), ( ) ,f xg xP x ( ) ,( ),f xg xn 若有若有 使使 121,nP ()(),1,2,1iifgin 則則 ( )( ).f xg x 28證：令證：令 則有則有 ( )( )( ),h xf xg x ()0,1,2,1,ihin 由由Th5.11，若，若 的話，則的話，則 ( )0h x ( ).h xn矛盾矛盾所以，所以，( )0,h x 即即 有有 ( )h x121,1nn 個根，個根，( )( ).f xg x 即即29解：解：例例2求求 t 值，使值，使32( )31f xxxtx 有重根有重根3231xxtx 236xxt ( )f x( )fx 13x32