1、FEKO各類求解器的介紹 FEKO中的求救器有矩量法（MOM）、多層快速多極子方法（MLFMM）、物理光學法（PO）、一致性繞射理論（UTD）、有限元（FEM）等計算方法，FEKO Suite 7.0在其原有算法基礎上，新增時域有限差分(FDTD)求解器，同時增加了多層快速多極子(MLFMM)與物理光學(PO)的混合算法。1.矩量法矩量法是一種基于積分方程的嚴格的數值方法，其精度主要取決于目標幾何建模精度和正確的基權函數的選擇及阻抗元素的計算。其思想主要是將幾何目標剖分離散，在其上定義合適的基函數，然后建立積分方程，用權函數檢驗從而產生一個矩陣方程，求解該矩陣方程，即可得到幾何目標上

2、的電流分布，從而其它近遠場信息可從該電流分布求得。下面以電場積分方程求解理想導體的電磁散射問題為例，簡要介紹矩量法的一般方法。由麥克斯維方程組和理想導體的邊界條件可以推導出，表面電場積分方程（EFIE）如下： (1)其中， 為矢量磁位，為標量電位，表達形式分別如下：(2) (3)定義基函數系列，將電流展開為(4)其中為與第個基函數相關的的電流展開系數。為了將積分方程離散成為矩陣方程，采用伽略金匹配方法，選取與基函數相同的函數系列作為權函數，表示為，對式(3-1)求內積得 (5)將式(3-4)代入式(3-5)，得到包含個未知量的個線性方程，可以寫成(6)其中，為的矩陣，和均為的向量，為電流系數，

3、為激勵向量，為未知量數目。其形式分別如下：(7)(8)上式中，(9)(10)矩陣方程(6)建立之后，下一步就是該矩陣方程的求解。求解方法有直接求解和迭代求解等。隨著求解問題的規模增大，直接求解方法的計算量非常巨大，計算復雜度為，而迭代求解每步迭代的計算復雜度為。得到表面電流之后，可以根據該電流分布求得其他感興趣的電磁參數，如雷達散射截面（RCS）等。 矩量法是FEKO的默認求解器。打開solution setting后的General即為矩量法的設置窗口。圖 1 矩量法是數值算法，計算精確，但對于電大尺寸的模型，往往受限于計算資源。下面采用矩量法對邊長為1米的立方體的表面電流進行計算。入射角度

4、與z軸夾角為60°，與X軸平行。圖2 從實驗結果中我們可以看到：照亮區有表面電流分布，在被遮擋區域也有表面電流分布，這是繞射的貢獻。2.多層快速多極子由于矩量法在矩陣求解過程中受限于計算資源，后來發明了快速多極子算法。快速多極子方法是八十年代末九十年代初國際上提出的用于積分方程計算的快速算法，不但大大加速了矩陣與矢量相乘計算，并且也大大降低了存儲量。快速多極子方法的數學基礎是矢量加法定理，即利用加法定理對積分方程中的格林函數進行處理。通過在角譜空間中展開，利用平面波進行算子對角化，最后將密集陣與矢量的相乘計算轉化為幾個稀疏陣與該矢量的相乘計算。其基本原理是：將目標表面離散得到的子目標

5、分組，任意兩個子目標間的互耦根據他們所在組的位置關系而采用不同的處理方法。自身組和相鄰組采用直接矩量法計算，非相鄰組采用聚合轉移配置方法計算。 直接計算 快速多極子計算圖3主要步驟有以下幾步：由加法定理，得到標量格林函數展開式：（11）同樣，可得到并矢格林函數展開式如下：其中，為轉移因子，表達式如下：用矩量法離散電場積分方程得到矩陣方程其中，將上兩式帶入式即可得到快速多極子的表達式如下：其中，聚合因子為：配置因子為：2、多層快速多極子圖4多層快速多極子是快速多極子在多層級結構中的推廣。對于N互耦，多層快速多極子方法采用多層分區計算，基于樹形結構，特點是：逐層聚合、逐層轉移，逐層配置、嵌套遞推。

6、對于三維情況，用一立方體包圍目標，第一層得到8個子立方體。隨著層數增加，每個子立方體再細分為8個更小的子立方體，直到最細層滿足要求為止。多層快速多極子除了與快速多極子相同的操作外，還有父層、子層的層間遞推計算。多層快速多極子方法的轉移計算在各層各組的遠親組間進行，而快速多極子方法的轉移計算在非附近組間進行。基于分層結構，多層快速多極子方法由上行過程、下行過程兩部份組成。上行過程分為最高層的多極展開、子層到父層的多極聚合。上行過程在多極聚合到第二層后，經遠親轉移計算轉向下行過程。下行過程則分為父層到子層的多極配置、同層間遠親組的轉移和最高層的部分場展開。所有源散射體i對場散射體j的貢獻用快速多極

7、子方法表達為其中，為第i個源子散射體的電流幅度，分別表示配置、轉移、聚合因子。多層快速多極子方法求解上式的具體步驟分為：1）、最高層的多極展開：計算公式為其中，為最高層中，子散射體i所在組的組中心。，分別為最高層組的聚合量，聚合因子。2）、多極聚合：將源子散射體在子層子組中心的聚合量平移到父層父組中心表達。這時需要對子層的聚合量插值得到父層所需要個數的聚合量，利用插值矩陣，可得上式中，分別表示第l層，第l1層中源子散射體i所在組的組中心，分別為的矢徑。插值可用拉格朗日插值公式等方法實現。聚合過程如下圖所示。圖53）、多極轉移：多極聚合到第二層后，便不再向上聚合。此時開始多極轉移，即將源區的外向

8、波轉移為場區的內向波，為下行過程做準備。在第二層，源區組中心的聚合量即為以為中心的外向波，以場區組中心為中心的內向波如下計算：其中，為第二層上的轉移因子。之所以選擇第二層開始多極轉移，是因為在第二層，遠親組即為非附近組，通過遠親組的轉移計算可得到待求的所有非附近組的貢獻。以上步驟為多層快速多極子的上行過程，下面步驟為其下行過程。4）、多極配置：將父層父組中心為中心的內向波轉化為以子層子組中心為中心的內向波表達。多極配置為多極聚合的逆過程。公式如下：5）、多極轉移：為了繼續從父層到子層遞推下去，就必須得到來自于子層子組的所有非附近組的貢獻。在多極配置過程中，已經考慮了父層父組的所有非附近組的貢獻

9、，尚未考慮的是該子層子組的遠親組貢獻。于是，在多極配置的基礎上再疊加上子層子組的遠親貢獻，就得到了子層子組的所有非附近組的貢獻。計算式如下：重復4）、5）步，直到最高層為止。6）、部分場展開：對于最高層每個非空組m，在其組中心進行部分場展開，得到m的所有非附近組對組內場點j的貢獻其中，為最高層的配置因子，為最高層上以組m為中心的內向波，代表了組m的所有非附近組對組m的貢獻。7）、直接計算附近組的貢獻，與非附近組的貢獻相疊加，便得到了所有源子散射體對場子散射體的貢獻。以上即為多層快速多極子方法的原理和步驟。和矩量法相比，相同的計算資源下，利用多層快速多極子求解器可以計算電尺寸更大的目標，而且能保

10、證一定的計算精度。3.物理光學法 物理光學法(PO)是應用較廣的高頻近似方法之一，它的出發點跟積分方程矩量法一樣，也為斯特拉頓-朱蘭成散射場積分方程，但它基于高頻的局部性原理，忽略了各部分感應電流的相互作用，而是根據入射場獨立地計算表面感應電流，再對照亮面感應電流進行積分求得散射場。對于任意形狀的散射體，其表面可以通過很多三角形面元來近似模擬，計算每個三角面元的散射貢獻后求和就可得到目標總的散射場。在用物理光學法計算三角面元的散射場時，通過Gordon法可以將面積分表達式轉化為無積分的圍線求和表達式，大大減小了數值計算的計算量，所以物理光學方法非常適合用來預估電大尺寸目標的散射特性。圖6 電磁

11、散射模型示意圖圖2.1為電磁散射模型示意圖，散射問題可以這樣表述，自由空間中一入射波照射到散射體，求散射體外自由空間中任意一點的電磁場。設入射電磁場分別為、，散射電磁場為、。總場為入射電磁場和散射電磁場之和，可以表示為：(3.1)根據斯特拉頓-朱蘭成散射場積分方程，散射場、可表示為：(3.2a)(3.2b)式中，為散射體表面外法線的單位矢量，和分別是自由空間的格林函數及其梯度。(3.3)式中為源點至場點的距離。物理光學法從感應定理出發，用散射體表面已知的感應電磁流來取代散射體本身作為散射場的源，表面場的切向和法向分量可以分別認為是電流、磁流以及電荷、磁荷：(3.4)(3.5)式中和分別為散射體

12、面電流密度和面磁流密度，和分別是散射體面電荷密度和面磁荷密度。在數學上，格林函數及其梯度等價于惠更斯子波源，每個單元表面的電流、磁流或電荷、磁荷都作為惠更斯子波源與散射場有關，它們把單元電磁流源與觀察點上的場聯系了起來1，在物理上，其正好代表了一個向外的標量球面波5。將(3.4)式、(3.5)式代入(3.2)式得：(3.6a)(3.6b)由(3.6)式可以看出，散射電場與電流、磁流及電荷相關，而散射磁場則與電流、磁流、磁荷相關1。物理光學的出發點跟積分方程矩量法一樣也為斯塔拉頓-朱蘭成方程，但是物理光學基于高頻場的局部性原理，忽略了表面各部分感應電流間的相互作用，而僅根據入射場獨立地近似確定表

13、面感應電流1。為了簡化積分運算，物理光學采用了兩種近似處理，即遠場近似和切平面近似。遠場近似假設散射體上或附近的源到觀察點的距離遠大于散射體的尺寸。此時自由空間中格林函數的梯度可以近似地表示為：(3.7)式中為散射方向的單位向量。將(2.3)式與(2.7)式代入(2.2)式可得散射場的近似表達式：(3.8a)(3.8b)(3.8)式中的積分表面僅為散射體的照明部分，也就是說物理光學已假定在目標的陰影部分切向場為01，和分別為自由空間中的波數和波阻抗，和分別為入射波方向和散射波方向的單位矢量，為散射體表面位置矢量，。切平面近似假設表面電流值為積分面元處物體為理想光滑平面時的表面電流值。對于理想導

14、電體(PEC)，有： (亮區)(3.9a) (暗區)(3.9b)此時(3.8)式可以簡化為：(3.10a)(3.10b)算例2 FEKO計算電大尺寸的導彈模型的RCS。FEKO 中的高頻方法可以設想多次作用結果，下面利用FEKO的高頻方法計算導彈的RCS,入射角度為theta等于60°，phi從0°到180°。平面波入射，計入一次作用和二次作用。首先導入模型圖7設置頻率為9GHz圖8平面波入射， theta等于60°，phi從0°到180°，步進為1，theta極化。圖9接收為遠場，單站接收。圖10選中模型的所有的面，右擊，屬性，so

15、lution。在solve with special solution method中選擇RL-GO。圖11在solution setting中選擇High frequency 。將Max no. of ray interaction修改為2，只 計入一次和二次作用。圖12對模型進行剖分，由于我們采用的是RL-GO的方法，對剖分尺寸沒有最大剖分尺寸的限制。這里我們采用剖分尺寸為0.05米。計算結果如下：圖134.一致性繞射理論幾何光學理論是以電磁場傳播的射線理論為基礎的，用射線和射線管的概念分析散射和能量傳播機制，其物理概念清晰，簡單易算。但是幾何光學只能研究直射、反射和折射問題，不能分析和計

16、算繞射問題。當幾何光學射線遇到表面不連續，例如邊緣、尖頂，或者向曲面掠入射時，將產生它不能進入的陰影區。按照幾何光學理論，陰影區的場應等于零，然而實際上陰影區仍有場存在。J. B. Keller在20世紀50年代提出了一種近似計算高頻電磁場的新方法，引入了一種繞射射線的概念，這種射線產生于散射體表面上幾何特性或者物理特性不連續的局部區域，例如物體的邊緣、尖頂以及光滑凸曲面上的掠入射點等，這就是幾何繞射理論。幾何繞射理論把經典的幾何光學概念加以推廣，繞射射線既可進入照明區，也可進入陰影區，從而使繞射射線能計入陰影區的場。因此，幾何繞射理論克服了幾何光學在陰影區失效的缺點，使高頻近似方法擴展到陰影

17、區場的求解中。因此，繞射場的表達式可定義為(4-1)其中，為觀察點處的繞射場，為繞射點Q處的入射場，是并矢繞射系數(與入射波的極化、方向，散射體的阻抗以及繞射射線的方向等有關)，參量是沿繞射射線從繞射點到觀察點之間的距離，為繞射場的擴散因子。典型的繞射分為三種：劈邊緣繞射、尖頂繞射和凸曲面繞射。本文主要討論劈邊緣的繞射。劈邊緣的繞射射線滿足Keller繞射定律，即邊緣繞射射線與邊緣（或邊緣切線）的夾角等于相應的入射射線與邊緣（或邊緣切線）的夾角，入射線與繞射線分別位于在繞射點與邊緣垂直的平面的兩側或在一個平面上（垂直入射時）。一條入射線將激勵起無數多條繞射射線，它們都位于一個以繞射點為頂點的圓

18、錐面上，這個圓錐面通常叫Keller圓錐。圓錐軸就是繞射點的邊緣（或邊緣切線），圓錐的半頂角等于入射線與邊緣（或邊緣切線）的夾角。在FEKO的求解器設置中，高頻的選項中有關于繞射貢獻的選擇UTD ray contribution,可根據需要選擇需要的場。圖145.有限元法 有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用較簡單的問題代替復雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的(較簡單的）近似解，然后推導求解這個域總的滿足條件(如結構的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數實際問題難以得