1、CHAPTER第一章常用邏輯用語§3全稱量詞與存在量詞I3. 1全稱量詞與全稱命題4. 2存在量詞與特稱命題【明目標(biāo)、知重點】1.通過具體實例理解全稱量詞和存在量詞的含義.2.會判斷全稱命題和特稱命題的真假.填要點記疑點1 .全稱量詞與全稱命題在命題的條件中，“所有” “每一個” “任何” “任意一條” “一切”都是在指定范圍內(nèi)， 表示整體或全部的含義,這樣的詞叫作全稱量詞.含有全稱量詞的命題,叫作全稱命題.2 .存在量詞與特稱命題在命題中，“有些” “至少有一個” “有一個” “存在”都有表示個別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞.含有存在量詞的命題,叫作特稱命題.探要點,究所然

2、探究點一全稱量詞與全稱命題思考1下列語句是命題嗎？ (1)與(3), (2)與(4)之間有什么關(guān)系？x>3；(2)2x+ 1是整數(shù);(3)對所有的xCR, x>3;(4)對任意一個xC Z,2x+ 1是整數(shù).答 語句(1)(2)含有變量x,由于不知道變量x代表什么數(shù)，無法判斷它們的真假， 因而不是 命題.語句(3)在的基礎(chǔ)上，用短語“對所有的”對變量 x進(jìn)行限定；語句(4)在(2)的基礎(chǔ) 上，用短語“對任意一個”對變量 x進(jìn)行限定，從而使(3)(4)成為可以判斷真假的語句，因 此語句 (4)是命題.小結(jié)短語“所有” “每一個” “任何” “任意一條” “一切”都是在指定范圍內(nèi)，表示

3、整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞.像這樣含有全稱量詞的命題，叫作全稱命題.思考2如何判定一個全稱命題的真假？答 要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，只要能舉出集合 M中的一個xo,使得p(xo)不成立即可(即舉反例). 例1判斷下列全稱命題的真假：(1)所有的素數(shù)是奇數(shù)；(2)任意 xC R, x2+1>1；(3)對每一個無理數(shù) x, x2也是無理數(shù).解(1)2是素數(shù)，但2不是奇數(shù).所以，全稱命題 “所有的素數(shù)是奇數(shù)”是假命題.(2)任意 xC R,總有 x2>0,因而 x2+1>1.所以，全稱命題 “任

4、意xCR, x2+1>1”是真命題.(3)啦是無理數(shù)，但(/)2= 2是有理數(shù).所以，全稱命題“對每一個無理數(shù)x, x2也是無理數(shù)”是假命題.反思與感悟判斷全稱命題的真假，要看命題是否對給定集合中的所有元素成立.跟蹤訓(xùn)練1試判斷下列全稱命題的真假：(1)任意 xC R, x2+2>0; (2)任意 xC N, x4>1.對任意角 %都有sin2 a+ cos2 a= 1.解(1)由于任意xC R,都有x2>0,因而有x2+2A2>0,即x2+2>0,所以命題“任意xCR,x2+2>0”是真命題.(2)由于0CN,當(dāng)x=0時，x4>1不成立，所以命

5、題 “任意xC N, x4>1”是假命題.(3)由于任意 氐R, sin2 a+ cos2 a= 1成立.所以命題 “對任意角 a,都有sin2 a+ cos2 a= 1"是真命題.探究點二存在量詞與特稱命題思考1下列語句是命題嗎？(1)與(3), (2)與(4)之間有什么關(guān)系？(1)2x+ 1= 3;(2)x能被2和3整除；(3)存在一個 xo R,使 2x0+1 = 3;(4)至少有一個xoC Z,使xo能被2和3整除.答(1)(2)不是命題，(3)(4)是命題.語句(3)在的基礎(chǔ)上，用短語“存在一個”對變量 x 的取值進(jìn)行限定；語句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用“至少有一個”

6、對變量 x的取值進(jìn)行限定，從 而使(3)(4)變成了可以判斷真假的語句，因此語句(3)(4)是命題.小結(jié)“有些” “至少有一個” “有一個” “存在”都有表示個別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞.像這樣含有存在量詞的命題，叫作特稱命題.思考2怎樣判斷一個特稱命題的真假？答 要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定集合 M中，至少能找到一個x=xo,使p(xo)成立即可，否則，這一特稱命題是假命題.例2判斷下列特稱命題的真假：(1)有一個實數(shù) x。，使 x2+2xo+3= 0;(2)存在兩個相交平面垂直于同一條直線；(3)有些整數(shù)只有兩個正因數(shù).解(1)由于任意xC R,x2+2x+ 3=(x

7、+1)2+2>2,因此使x2+2x+ 3= 0的實數(shù)x不存在.所以，特稱命題“有一個實數(shù)xo,使x0+2xo+3=0”是假命題.(2)由于垂直于同一條直線的兩個平面是互相平行的，因此不存在兩個相交的平面垂直于同一條直線.所以，特稱命題“存在兩個相交平面垂直于同一條直線”是假命題.(3)由于存在整數(shù)3只有兩個正因數(shù)1和3,所以特稱命題“有些整數(shù)只有兩個正因數(shù) ”是真命題.反思與感悟特稱命題是含有存在量詞的命題，判斷一個特稱命題為真，只需在指定集合中找到一個元素滿足命題結(jié)論即可.跟蹤訓(xùn)練2判斷下列命題的真假：(1)存在 xoC Z , x0<1 ;(2)存在一個四邊形不是平行四邊形；(

8、3)有一個實數(shù) & tan “無意義；(4)存在 xoCR, cos xo=2.解(1)一 1 CZ,且(一1)3= 1<1,"存在xoCZ, x0<1”是真命題.(2)真命題，如梯形.，-，兀，一一、(3)真命題，當(dāng) a= 2時，tan a無忌乂.(4) 當(dāng) xC R 時，cos xC -1,1,而2>1 ,不存在xo R,使 cos xo= 2，原命題是假命題.探究點三全稱命題、特稱命題的應(yīng)用思考不等式有解和不等式恒成立有何區(qū)別？答不等式有解是存在一個元素，使不等式成立，相當(dāng)于一個特稱命題；不等式恒成立則是 給定集合中的所有元素都能使不等式成立，相當(dāng)于一

9、個全稱命題.例3 (1)已知關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2 + 2W0的解集非空，求實數(shù) a的取值范圍； (2)令p(x)： ax2+2x+ 1>0,若對任意xCR, p(x)是真命題，求實數(shù) a的取值范圍.解 關(guān)于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2W0 的解集非空，/. A= (2a+1)2-4(a2 + 2) > 0,即 4a-7>0,解得a>7, .實數(shù)a的取值范圍為7, 十°0 .(2)對任意xCR, p(x)是真命題.，對任意xCR, ax2 + 2x+ 1>0恒成立，當(dāng)a= 0時，不等式為2x+ 1>0不恒成立，a

10、>0,當(dāng)aw 0時，若不等式恒成立，則A= 4-4a<0,.,a>1.反思與感悟有解和恒成立問題是特稱命題和全稱命題的應(yīng)用，注意二者的區(qū)別.跟蹤訓(xùn)練3 (1)對于任意實數(shù)x,不等式sin x+cos x>m恒成立，求實數(shù) m的取值范圍；(2)存在實數(shù)x,不等式sin x+cos x>m有解，求實數(shù) m的取值范圍.解 (1)令 y= sin x+cos x, xC R,y= sin x+ cos x= >/2sin x + 4 > V2, 又,任意xCR, sin x+cos x>m恒成立,，只要m< 艱即可.，所求m的取值范圍是（00,42

11、）.（2）令 y=sin x+cos x, xC R,L兀一LL- y= sin x+ cos x=J2sin x + 4 W 平,#.又存在 xCR, sin x+cos x>m 有解，只要m<W即可，所求m的取值范圍是（00,卡）.當(dāng)堂測,查疑缺1 .下列命題中特稱命題的個數(shù)是（）有些自然數(shù)是偶數(shù)；正方形是菱形；能被6整除的數(shù)也能被3整除；對于任意xCR, 總有 |sin x|< 1.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案 B解析 命題含有存在量詞；命題可以敘述為“所有的正方形都是菱形”，故為全稱命題;命題可以敘述為“一切能被6整除的數(shù)都能被 3整除"，是全

12、稱命題；而命題是全稱命 題.故有一個特稱命題.2 .下列命題中，不是全稱命題的是（）A.任何一個實數(shù)乘以 0都等于0B.自然數(shù)都是正整數(shù)C.每一個向量都有大小D. 一定存在沒有最大值的二次函數(shù)答案 D解析 D選項是特稱命題.3.下列命題中的假命題是 （A.存在 xC R, lg x= 0C.任意 xC R, x3>0答案 C)B.存在 x R , tan x= 1D.任意 xC R,2x>0解析，.一一，,.八，.一TT對于A ,當(dāng)x= 1時，lg x= 0,正確；對于B ,當(dāng)x=4時，tan x= 1,正確；對于 C,當(dāng)x<0時，x3V0,錯誤；對于 D,任意xC R,2x

13、>0,正確.4.用量詞符號“任意” “存在”表述下列命題：(1)凸n邊形的外角和等于2兀.(2)有一個有理數(shù)xo滿足x0= 3.對任意角 %都有sin2a+ cos2a= 1.解任意xC x|x是凸n邊形, x的外角和是2兀.(2)存在 xoCQ, x0 = 3.(3)任意R , sin2 a+ COS2 a= 1.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1 .判斷命題是全稱命題還是特稱命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞，有 些全稱命題雖然不含全稱量詞，可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷.2 .要確定一個全稱命題是真命題，需保證該命題對所有的元素都成立；若能舉出一個反例 說明命題不成立，則該全稱命題是假命題

14、.3 .要確定一個特稱命題是真命題，舉出一個例子說明該命題成立即可；若經(jīng)過邏輯推理得 到命題對所有的元素都不成立，則該特稱命題是假命題.40分鐘課時作業(yè)一、基礎(chǔ)過關(guān)1 .下列命題：中國公民都有受教育的權(quán)利；每一個中學(xué)生都要接受愛國主義教育；有人既能寫小說，也能搞發(fā)明創(chuàng)造；任何一個數(shù)除0,都等于o.其中全稱命題的個數(shù)是()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案 C解析 命題 都是全稱命題.2 .下列特稱命題是假命題的是 ()A.存在 xC Q,使 2x x3= 08 .存在 xC R,使 x2+x+ 1=0C.有的素數(shù)是偶數(shù)D.有的有理數(shù)沒有倒數(shù)答案 B1 c 3斛析 對于任思的xC R ,

15、 x2 + x+1 = (x + 2)2+4>0恒成立.3.給出四個命題：末位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除；有的菱形是正方形；存在實數(shù)x, x>0;對于任意實數(shù) x,2x+ 1是奇數(shù).下列說法正確的是()A.四個命題都是真命題B.是全稱命題C.是特稱命題D.四個命題中有兩個假命題答案 C解析 為全稱命題；為特稱命題；為真命題；為假命題.4.下列全稱命題中真命題的個數(shù)為()負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；對任意的實數(shù) a, b,都有a2 + b2>2ab;二次函數(shù)f(x)=x2ax1與x軸恒有交點；任意 xCR, yCR,都有 x2+|y|>0.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案 C解

16、析為真命題.5 .下列全稱命題為真命題的是()A.所有的素數(shù)是奇數(shù)B .任意 xC R, x2+ 3> 3C.任意 xC R,2x 1= 0D.所有的平行向量都相等答案 B6 .下列命題中，真命題是 .存在 xoC 0, 2 , sin xo+cos xo>2;任意 xC(3, +00), x2>2x+1;存在 mC R,使函數(shù)f(x)=x2+mx(xC R)是偶函數(shù)；任息 xC 2,兀，tan x>sin x.答案解析對于 任意 xC 0, 2 , sin x+cos x=/2sin x+4 0 小,.此命題為假命題；對于，當(dāng) xC(3, + 8)時，x2-2x- 1

17、 = (x-1)2-2>0,，此命題為真命題；對于，當(dāng)m=0時，f(x) = x2為偶函數(shù)，此命題為真命題；，一兀，對于，當(dāng)xC 兀時，tan x<0<sin x, ，此命題為假命題.7 .判斷下列命題是否為全稱命題或特稱命題，并判斷其真假.(1)存在一條直線，其斜率不存在；(2)對所有白實數(shù)a, b,方程ax+b = 0都有唯一解； 1-(3)存在頭數(shù)xo,使得x2_x0 + 1 = 2.解(1)是特稱命題，是真命題.(2)是全稱命題，是假命題.(3)是特稱命題，是假命題.二、能力提升8 .對任意x>3, x>a恒成立，則實數(shù) a的取值范圍是 .答案 一,3解析

18、 對任意x>3, x>a恒成立，即大于 3的數(shù)恒大于a,，aW3.9 .給出下列四個命題：a，b? ab=0;矩形都不是梯形；存在 x, yCR, x2+y2w1；任意互相垂直的兩條直線的斜率之積等于-1.其中全稱命題是.答案解析 省略了量詞“所有的”，含有量詞“任意”.10 .四個命題：任意 xCR, x23x + 2>0恒成立；存在 xC Q, x2 = 2;存在xCR, x2+1=0;任意xC R,4x2>2x- 1 + 3x2.其中真命題的個數(shù)為 .答案 0解析 x2-3x+2>0, A= (3)2 4X2>0, 當(dāng) x>2 或 x<1

19、時，x2-3x+2>0 才成立， .為假命題.當(dāng)且僅當(dāng)x=S/2時，x2=2,不存在xCQ,使得x2= 2,.為假命題，對任意 xC R, x2+lw0, 為假命題，4x2 (2x 1 + 3x2)= x2- 2x+ 1 = (x- 1)2>0,即當(dāng) x= 1 時，4x2= 2x 1+3x2成立， 為假命題. 均為假命題.11 .判斷下列命題的真假：(1)對任意 xR, |x|>0;(2)對任意aCR,函數(shù)y= logax是單調(diào)函數(shù)；對任意xC R, x2>1;(4)存在aC 向量,使a 尋0.解(1)由于0CR,當(dāng)x=0時，|x|>0不成立，因此命題“對任意xCR, |x|>0”是假命題.(2)由于1CR,當(dāng)a= 1時，y= logax無意義，因此命題“對任意aC R,函數(shù)y= logax是單調(diào)函數(shù)”是假命題.(3)由于對任意xC R,都有x2>0,因而有x2>- 1.因此命題“對任意xC R, x2> 1”是真命題.(4)由于0c 向量,當(dāng)a=0時，能使a 尋0,因此命題“存在aC 向量,使a 扣0”是 真命題.1