1、數(shù)學(xué)中的美與數(shù)學(xué)教學(xué)霸州市第三中學(xué)劉錦宇當(dāng)你倘佯在音樂的殿堂，聆聽優(yōu)美動(dòng)聽的樂曲時(shí)，你會(huì)體會(huì)到音樂帶給你的 “美”的享受；當(dāng)你漫步在文學(xué)的天地，欣賞著那“驚天地，泣鬼神”的絕妙語 句時(shí)，一定能夠領(lǐng)悟文學(xué)帶給你的“美”美的事物，總是人們樂意醉心追求 的。其實(shí)，“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美”，這是古代哲學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)美的一個(gè)高度評(píng) 價(jià)。數(shù)學(xué)中同樣存在著能夠啟迪智慧，陶冶情操的“美”。對(duì)于從事數(shù)學(xué)教學(xué)的教師而言，存在著這樣的一個(gè)困惑，如何提高學(xué)生對(duì)數(shù) 學(xué)的感悟和對(duì)數(shù)學(xué)美的欣賞，才是有待于在教學(xué)中首要解決的問題。經(jīng)過長時(shí)間 的探索，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度存在著驚人的差異，這很大程度上歸因于對(duì)數(shù)學(xué) 美的領(lǐng)悟和鑒賞

2、。數(shù)學(xué)美是一種極其嚴(yán)肅、雅致和含蓄的美，學(xué)牛受到基礎(chǔ)知識(shí) 和審美能力的限制，并不都具有理想的鑒賞能力。因此，喚醒他們對(duì)數(shù)學(xué)的美好 情感，倡導(dǎo)對(duì)數(shù)學(xué)美的崇尚是數(shù)學(xué)教育的任務(wù)之一。數(shù)學(xué)美的含義是豐富的，數(shù)學(xué)概念的簡潔性、統(tǒng)一性，數(shù)學(xué)命題的概括性、 典型性，兒何圖形的對(duì)稱性、和諧性，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的完整性、協(xié)調(diào)性以及數(shù)學(xué)創(chuàng)造 中的新穎性、奇異性等都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容和形式，法國著名數(shù)學(xué)家彭加勒曾 精辟地把數(shù)學(xué)美的特征概括為對(duì)稱性、簡潔性、統(tǒng)一性和奇異性等，這些形式特 征的有機(jī)綜合匯聚成數(shù)學(xué)美的主要特征一一和諧，它反映出了數(shù)學(xué)美的形式的多 樣統(tǒng)一的總規(guī)律。一、展現(xiàn)對(duì)稱美，增強(qiáng)數(shù)學(xué)魅力對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的有一大特

3、點(diǎn)。數(shù)學(xué)的對(duì)稱美分為兩種：一種是數(shù)（式）的 對(duì)稱性美，主要體現(xiàn)在數(shù)（式）的結(jié)構(gòu)上，例如，加法的交換律a + b = b + a, 乘法的交換律ab = bcu。與b的位置具有對(duì)稱關(guān)系，另一種是圖形的對(duì)稱性，圖 形的對(duì)稱是指組成圖形的部分與部分之間、整體與整體之間的一種統(tǒng)一和諧關(guān) 系。例如軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形等，這些圖形勻稱美觀，所以在日常生活中 用途非常廣泛，許多建筑師和美術(shù)工作者常常采用一些對(duì)稱圖形，設(shè)計(jì)出美麗的 裝飾圖案。對(duì)稱的建筑物，對(duì)稱的圖案，是隨處可見的。繪畫中利用對(duì)稱，文學(xué)作品屮 也有對(duì)稱手法。在數(shù)學(xué)中則表現(xiàn)在幾何圖形中有點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、面對(duì)稱。在幾 何圖形中對(duì)稱的圖形給人以美

4、的享受，而不對(duì)稱的現(xiàn)象中同樣存在著美，這就是 黃金分割的美，或者說黃金分割點(diǎn)是更深層次的對(duì)稱美。如：一條線段關(guān)于它的 中點(diǎn)對(duì)稱，這條線段若左端點(diǎn)的坐標(biāo)為0,右端點(diǎn)的坐標(biāo)為1,那么中點(diǎn)在0.5處。 又如：似乎黃金分割點(diǎn)（在0.618處）不是對(duì)稱點(diǎn)，但若將左端記為a ,右端記為b ,黃金分割點(diǎn)記為c,則ac2 =abbc而且c關(guān)于中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)d也是線 段的黃金分割點(diǎn)，如果再進(jìn)一層看，d又是線段ac的黃金分割點(diǎn)；c是線 段的黃金分割點(diǎn)。類似地一直討論下去，這可視為一種連環(huán)對(duì)稱。如今，設(shè) 計(jì)師和藝術(shù)家們已經(jīng)利用這一規(guī)律創(chuàng)造出了許多令人心碎的建筑和無價(jià)的藝術(shù) 珍寶。二、追求簡潔美，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)數(shù)學(xué)美的簡

5、潔性泛指數(shù)學(xué)理論體系在邏輯上的簡單性和結(jié)構(gòu)上的協(xié)調(diào)性。簡 潔性對(duì)數(shù)學(xué)理論的建立提岀了更高的要求，即在對(duì)自然現(xiàn)象進(jìn)行描述和抽象吋， 要求理論的假設(shè)性前提盡量的少，而得到的演繹結(jié)論盡量的多。正是這種簡潔美 的思想指導(dǎo)，數(shù)學(xué)家都盡力使自己的理論具有特殊的演繹美的誘惑力。例如，全 部歐氏幾何的結(jié)論，只是從少數(shù)的幾條公理通過演繹得來的，這是-種簡潔美的 體現(xiàn)。難怪牛頓贊嘆：“幾何學(xué)z所以堪稱輝煌，就在于它是從很少的幾條公理 出發(fā)，而最終卻得到了如此之多的結(jié)果。”英國數(shù)學(xué)家指出：“數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一性和簡潔性的考慮，都是極為重要的。因 為研究數(shù)學(xué)的目的之一，就是盡可能地用簡潔而基木的詞匯去解釋世界。”像他 所說

6、的，只有大學(xué)畢業(yè)的專門高級(jí)人才才能進(jìn)行百萬數(shù)目的運(yùn)算。這種不和諧的 狀況源于羅馬數(shù)字的復(fù)雜。一旦引進(jìn)了阿拉伯?dāng)?shù)字，連小學(xué)生都能夠輕松自如的 進(jìn)行百萬數(shù)目和十億數(shù)目的計(jì)算。信息內(nèi)容的容量依舊，但簡潔而完善的符號(hào)標(biāo) 記使信息處理的既快乂簡。可以設(shè)想，如果能找到材料的組織和符號(hào)的合適形式 的話，那么在21世紀(jì)就完全可能把目前只有少數(shù)專家才懂的現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最復(fù)雜 的部分列入中學(xué)的數(shù)學(xué)大綱。到那時(shí)，復(fù)雜的概念和相互關(guān)系將以簡潔而通俗的 公式寫出。由此可見，清晰簡明的數(shù)學(xué)詞匯既能便于人們掌握材料，簡便地記下 已知事實(shí)，又能便于將掌握的材料提升為理論。簡潔的敘述方式是進(jìn)一步前進(jìn)的 必要前提，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的一

7、個(gè)主要手段，也是衡量數(shù)學(xué)和諧美的一個(gè)重要標(biāo) 準(zhǔn)。三、體會(huì)協(xié)同美，知識(shí)融會(huì)貫通數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)彖交互作用并按一般的思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律的 過程。數(shù)學(xué)思維的協(xié)同美大體上可從以下兩個(gè)方面表現(xiàn)出來。歸納和演繹的相互作用。數(shù)學(xué)中大量地需要?dú)w納，同時(shí)也需要演繹，在許多 情況下兩者互為作用的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，總是既用歸納又用演繹。盡管兩者有各 自不同的特點(diǎn)，但演繹推理的人前提一一表示-般原理的全稱判斷要靠歸納推理 來提供。為了增強(qiáng)歸納推理的可靠性，不管是以一般原理作指導(dǎo)還是對(duì)歸納推理 的前提進(jìn)行分析，都要用演繹推理。歸納和演繹在思維運(yùn)行過程中這種辯證統(tǒng)一 正體現(xiàn)了兩者之間是交互為用的。形式邏輯與辯證邏輯

8、的并重和統(tǒng)一。一方面，數(shù)學(xué)中大量存在相對(duì)穩(wěn)定的狀 態(tài)，我們能用形式邏輯思維的方法進(jìn)行分析和研究數(shù)學(xué)對(duì)象。另一方面，也存在 顯著的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如有限與無限的相互轉(zhuǎn)化，代數(shù)、幾何、三角各學(xué)科z間的轉(zhuǎn) 化以及數(shù)學(xué)各種相關(guān)運(yùn)算方法的發(fā)展與對(duì)立統(tǒng)一等，故能用辯證思維的方法認(rèn)識(shí) 數(shù)學(xué)概念的形成和關(guān)系的不斷發(fā)展變化。因此，在教學(xué)時(shí)要貫徹形式邏輯思維與 辯證邏輯思維并重和統(tǒng)一的原則，發(fā)展學(xué)牛的數(shù)學(xué)思維能力。以數(shù)學(xué)概念教學(xué)為 例，按形式邏輯思維規(guī)律，對(duì)于每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)要前后一致，而且不容許 存在不相容。如果存在著兩個(gè)互相排斥的認(rèn)識(shí)，那么其中必有一真一假，概念數(shù) 學(xué)必須遵循上述邏輯規(guī)則進(jìn)行。但同時(shí)也應(yīng)指出，用

9、運(yùn)動(dòng)和發(fā)展的觀點(diǎn)來思考， 數(shù)學(xué)概念也是隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)的發(fā)展而發(fā)展的。許多對(duì)立的概念 可以統(tǒng)一起來（如實(shí)數(shù)和虛數(shù)同處于復(fù)數(shù)中），一個(gè)概念在不同的場合或不同的 條件下可能有不同的認(rèn)識(shí)（如三角函數(shù)的概念，最初學(xué)習(xí)的是銳角的正弦、余弦、 正切和余切，被理解為直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊比斜邊、鄰邊比斜邊、對(duì)邊 比鄰邊和鄰邊比對(duì)邊，以后發(fā)展到任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余 割），即使在小學(xué)數(shù)學(xué)的發(fā)展中也是這樣。我們知道，數(shù)學(xué)的發(fā)展歸根到底是數(shù) 學(xué)概念的不斷發(fā)展，這種發(fā)展乂有自身的規(guī)律。人們常說的概念是在發(fā)展中形成, 而且又是在形成后不斷發(fā)展的，所以一個(gè)數(shù)學(xué)概念具有確定性和靈活性兩個(gè)

10、特 點(diǎn)。就像“乘法”這個(gè)概念在整數(shù)和分?jǐn)?shù)中具有不同的數(shù)學(xué)含義一樣。正如列寧 所說“所有的定義都只有條件的、相對(duì)的意義，永遠(yuǎn)也不能包括充分發(fā)展的現(xiàn)象 的各方面聯(lián)系”。這正是辯證邏輯思維在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，與形成邏輯思維相比更 高一級(jí)。四、尋求奇異美，發(fā)揮創(chuàng)造能力所謂奇異美，包含了獨(dú)特、新穎、不尋常等含義。在數(shù)學(xué)中，奇異性常常是 產(chǎn)生新思想、新方法和新理論的起點(diǎn)，給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來新的活力。奇異美在數(shù)學(xué)中到處可見，數(shù)的發(fā)展就頗具傳奇色彩，有理數(shù)稍加擴(kuò)展，產(chǎn) 生新的數(shù)就被稱為“無理數(shù)s實(shí)數(shù)稍加擴(kuò)展，產(chǎn)生新的數(shù)就被叫做“虛數(shù)”。實(shí) 數(shù)z后出現(xiàn)了 “超實(shí)數(shù)”，復(fù)數(shù)z后出現(xiàn)“超復(fù)數(shù)”，有窮數(shù)z后又出現(xiàn)了 “超窮 數(shù)”。綜上