1、異面直線所成的角、平移法:常見三種平移方法：直接平移：中位線平移（尤其是圖中出現了中點）：補形平移法：“補形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補形，可將問題轉化為易于研究的幾何體來處 理，利用“補形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1.在空間四邊形 ABCD中，AD = BC= 2, E, F分別為AB、CD的中點，EF= 、3 ,求AD、 BC所成角的大小.解：設BD的中點G,連接FG, EG。在EFG中 EF= ,3 FG= EG= 1AZEGF= 120 °/AD 與 BC 成 60 ° 的角。2 .正 ABC的邊長為a, S為 ABC所在平面外

2、的一點，SA= SB= SC= a, E, F分別是SC 和AB的中點.求異面直線SA和EF所成角.答案：453. S是正三角形ABC所在平面外的一點，如圖 SA = SB= SC,且 ASB = BSC=CSA分別是AB和SC的中點.求異面直線SM與BN所成的角的余弦值.證明：連結CM ,設Q為CM的中點，連結QN則QN /SMAzQNB是SM與BN所成的角或其補角連結BQ ,設SC = a ,在BQN中BN = -Ya NQ =弓 SM =子 a BQ =aBN2 NQ2 BQ210BACOSZQNB =2BN NQ4.如圖，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，/BCA = 90 

3、6;,M、N分別是AiBi和AiCi的中點,若BC = CA = CCi ,求BM與AN所成的角.解：連接MN ,作NG /BM交BC于G,連接AG , 易證ZGNA就是BM與AN所成的角.設：BC = CA = CCi = 2 ,貝U AG = AN = 5 , GN = BM = .6 ,COS ZGNA =6 5 52.6,5.30。io5.如圖，在正方體 ABCDAiBiCiDi中，E、F分別是BBi、CD的中點.求AE與DiF所成的角證明：取AB中點G,連結AiG, FG,因為F是CD的中點，所以GF/AD ,又 AiDi/AD ,所以 GF/AiDi,故四邊形GFDiAi是平行四邊

4、形，AiG/DiF。設AiG與AE相交于H ,則ZAiHA是AE與DiF所成的角CiC因為 E是 BBi 的中點，所以 RtKiAGBE, ZGAIA= ZGAH,從而ZAIHA=90即直線AE與DiF所成的角為直角。6 .如圖i 28的正方體中，E是A 'D'的中點(i)圖中哪些棱所在的直線與直線 BA '成異面直?求直線BA '和CC '所成的角的大小；(3)求直線AE和CC'所成的角的正切值；求直線AE和BA '所成的角的余弦值解: (i)V A 平面BC ',又點B和直線CC'都在平面BC'內，且B CC；

5、直線BA ' 與CC'是異面直線同理，正方體i2條棱中的C'D '、DD '、DC、AD、B'' 所在的直線都和直線BA '成異面直線(2) V CC' BB ',BA '禾BB '所成的銳角就是BA '和CC'所成的角V ZA 'BB =45 ° BA ' 和CC'所成的角是45 °V AA ' BB' CC', 故AE和AA '所成的銳角公'E是AE和CC'所成的角AEIi在RtAA E中

6、，tan ZAAE = = ,所以AE和CC'所成角的正切值是？/ /取B'C'的中點F,連EF、BF,則有EF= A B = AB,/ ABFE是平行四邊形，從而 BF=AE,即BF/AE且BF=AE. BF與BA '所成的銳角 'BF就是AE和BA '所成的角（圖 1 29）設正方體各棱長為2 ,連A 'F,利用勾股定理求出 A BF的各邊長分別為A B = 2 2 , AF= BF= .5 ,由余弦定理得：cos ZA BF=( ) (L)-2 22 557.長方體ABCD AiBiCiDi中，若AB=BC=3 , AA=4 ,求異

7、面直線BiD與BCi所成角的 大小。解法一：如圖，過Bi點作BEBC交CB的延長線于E點。貝U/DB i E或其補角就是異面直線 DB i與BCi所成角，連結DE交AB于M , DE=2DM=35 ,7、一 347、一 34CoS XDB i E= jB i E= arc CoS i70i70AlA-.Bi 丿ClAfl 4解法二：如圖，在平面 DiDBBi中過B點作BEDB交DiBi的延長線于E,貝UCBE就是異面直線DBi與BCi所成的角，連結Ci E,在ABiCiE中,ZCiBiE=135,CiE=3 字5 ,cos ZCi BE=需,/.ZCiBE= arc cos 74i70練習：8

8、.如圖，PA 矩形ABCD ,已知PA=AB=8 , BC=i0 ,求AD與PC所成角的余切值為。9.在長方體 ABCD- A iBiCiDi 中，若棱 B Bi=BC=I ,AB= 3 ,求D B和AC所成角的余弦值.AB中位線平移法：構造三角形找中位線，然后利用中位線的性質，將異面直線所成的角轉化為平面問題，解三角形求之。解法一：如圖連結BiC交BCi于O ,過O點作OEDB ,貝U ZBOE為所求的異面直線 DBi與BCI所成的角。連結EB,由已知有BID34 , BC1=5 , BE=乎,"os ZBOE=TOE= arccosA170DICIAIBI圖AIADl EC31J

9、解法二：如圖，連DB、AC交于O點，過O點作OE/DBi ,過E點作EFCB,貝UZOEFT3或其補角就是兩異面直線所成的角，過 O點作OM /DC ,連結MF、OF。則OF=23 ,2CoS ZOEF=7 -. 34170異面直線BiD與BCi所成的角為arccos74解法三：如圖，連結DiB交DBi于O,連結DiA,則四邊形ABCiDi為平行四邊形。在平行四邊形ABCiDi中過點O作EFBCi交AB、DiCi于E、F,則ZDOF或其補角就是異35734面直線 DBi與 BCi所成的角。在ADF中DF=,cos ZDOF= , Z2i70DOF= arc cos 。 i70課堂練習i0.在正

10、四面體ABCD中，已知E是棱BC的中點，求異面直線 AE和BD所成角的余弦值。補形平移法：在已知圖形外補作一個相同的幾何體，以例于找出平行線。解法一：如圖，以四邊形ABCD為上底補接一個高為4的長方體ABCD-A 2B2C2D2,連結D2B ,則DBi/D2B,C1BD2或其補角就是異面直線 DBi與BCi所成的角，連C1D2, 則厶C1D2C2為Rt , CoS CBD2=乙叟,二異面直線 DBi與BCi所成的角是170734arc cos i70B7D,/* f/CHD： -C圖課堂練習：ii.求異面直線AiCi與BDi所成的角的余弦值。在長方體ABCD-A IBiCiDi的面BCi上補上

11、一個同樣大小的長方體，將 AiCi平移到BE,則 DiBE或其補角就是異面直線 AiCi與BDi所成的角，在ABDiE中,BDi=3 ,D1E=42 + 2a = 25二、利用模型求異面直線所成的角模型i引理：已知平面的一條斜線a與平面所成的角為 i ,平面內的一條直線b與斜線a所成的角為,與它的射影a '所成的角為。求證：COS = COS i COS 20在平面的斜線a上取一點P,過點P分別作直線c、連接OB ,貝U OB丄b.在直角AAOP中,COS在直角AABC中,COS在直角AABP中,COSAQAPABAOABAP .所以 cos iCOS 2AP AOABCOSAP所以

12、COS I COS 2 COS *證明：設PA是的斜線，OA是PA在上的射影，OBb ,如圖所示。則 PAO= i, ZPAB= ,OAB= 2, 過點O在平面內作OB丄AB ,垂足為B ,連結PBoOAABAB可知 PB AB。所以 cos i= , cos = , COS 2=PAPAOA所以 COS = COS i COS 2o利用這個模型來求兩條異面直線 a和b所成的角，即引理中的角o 需：過a的一個平面,以及該平面的一條斜線 b以及b在內的射影。i2.如圖，MA丄平面ABCD ,四邊形 ABCD是正方形，且 MA=AB=a ,試求異面直線 MB 與AC所成的角。C解：由圖可知，直線

13、MB在平面ABCD內的射影為AB ,直線MB與平面ABCD所成的角為45 ° ,直線AC與直線MB的射影AB所成的角為45 °， 所以直線AC與直MB所成的角為,滿足1COS =cos45 ° cos45 O=丄，所以直線AC與MB所成的角為60213.已知三棱柱ABCAIBICI的側棱與底面邊長都相等,Al在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與CCi所成的角的余弦值為(D(A)手(BV(C) ¥Bi(D)解：設BC的中點為D ,連結AiD，AD ,易知AIAB即為異面直線AB與CCi所成的角,由三角余弦定理，易知coscos AlAD co

14、s DABAD ADAlA AB33 .故選D14.如圖，在立體圖形 P-ABCD中，底面 ABCD是一個直角梯形， BAD=90 °,ADBC ,AB=BC=a , AD=2a , 且 PA 丄底面 ABCD , PD 與底面成 30 ° 角，AE 丄PD于D。求異面直線AE與CD所成的角的大小。解：過E作AD的平行線EF交AD于F,由PA底面ABCD可知，直線AE在平面ABCD內的射影為 AF ,直線AE與平面ABCD所 成的角為 DAE ,其大小為60 o ,射影AF與直線CD所成的角為 CDA ,其大小為45 °,所以直線與直PEF線所成的角滿足cos =

15、cos60os45 =丄,所以其大小為4arccos 一4模型2 定理：四面體ADBCD兩相對棱AC、BD間的夾角為，則有ADj ÷ BCa -AE3-DCli2AC，BD日=arccs5證明：BD? ACBD BDCoS而 BD BA ADBD?AC BA AD ?AC BA?AC AD?AC2 2 2 2 2 2AB AC BC AD AC CD2 2 2 2AD BC AB CD2 22ADa 十 BCa -ABa-DCi所以有:15.長方體 ABCD AiBiCiDi 中，AB=AA =2cm , AD=ICm ,求異面直線 AiCi 與 BDi 所成的角。解：連結BCi &

16、gt; AiB在四面體為三，易求得CO= AlD】十 ECF-血廳一 Dpf 由定理得：55所以二、向量法求異面直線所成的角i6.如圖，在正方體 ABCD-A IBiCiDi中，E、F分別是相鄰兩側面 BCCiBi及CDDiCi的中心。求AiE和BiF所成的角的大小。解法一：（作圖法）作圖關鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線到某個點上。作法：連結BiE，取BiE中點G及AiBi中點H，連結GH ,有GH/A iE。過F作CD的平行線RS，HGERD分別交CCi、DDi于點R、S,連結SH ,連結GS.由 BHC 1D1FS , BIH=FS ,可得 BFSH 。在GHS中，設正

17、方體邊長為a。6GH= a （作直線GQBC交BBi于點Q , 4連QH ,可知GQH為直角三角形）,HS=丄6 a （連AiS,可知AHAiS為直角三角形），GS=丄26 a （作直線GP交BC于點P,連241PD ,可知四邊形 GPDS為直角梯形）°Cos ZGHS=-61i所以直線AiE與直線BiF所成的角的余弦值為-。6解法二：（向量法）分析：因為給出的立體圖形是一個正方體，所以可以在空間建立直角坐標系，從而可以利用點的坐標表示出空間中每一個向量，從而可以用向量的方法來求出兩條直線間的夾角。以B為原點，BC為X軸，BA為y軸，BBi為Z軸，設BC長度為2 則點Ai的坐標為（0

18、, 2 , 2）,點E的坐標為（i , 0 , i）,點Bi的坐標為（0 , 0, 2）,點F的坐標為（2, i , i）;所以向量EAl的坐標為（-i , 2, i）,向量BiF的坐標為（2 , i , -i ）, 所以這兩個向量的夾角滿足COS =EAi BiF|EAi| IBiF |(i) 2 2 i i ( i)(i)2(2)2(i)2 . (2)2(i)2 ( i)2所以直線AIE與直線BIF所成的角的余弦值為6,M、N分別為BC和AD的i7.已知空間四邊形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a中點，設AM和CN所成的角為,求COS 的值。（平移法也可）解：由已知得,

19、空間向量 AB , AC , AD不共面,且兩兩之間的夾角均為60。由向量的加法可以得到1 .-i AM = （ AB + AC ） , NC =- AD + AC2 2所以向量AM與向量NC的夾角（即角或者的補角）AM NC 卄亠滿足COS =,其中| AM IINCl.1 一 一 1 -AM NC = ( AB + AC ) AD + AC )2 2111=( AB AD +AB AC + ( AD ) AC + AC AC )22212/111 彳、1 2=a2 (+1 ) = 一 a2;242421一1“13| AMI2=(AB+ AC )j( AB +AC ) = (1+1+1 )

20、a2=a2;224411, -1132| NC |2= ( AD + AC ) ( AD + AC ) = 一 +1a2=a2。所以 cos = cos =22424318.已知空間四邊形 ABCD中，AB=CD=3,E、F分別是BC、AD上的點，且BE: EC=AF :FGEDFD=1 : 2，EF= 7,求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上點G,使AG : GC=1 : 2。連結EG、FG， 可知 EG/AB，FG/CD，3EG=2AB，3FG=CD。2 1 _由向量的知識可知 EF = EG + GF = BA + -CD，33設向量BA和CD的夾角為B。 2 1 2 1 則由 |

21、EF |2= ( BA+-CD ) ( BA+ CD ) =4+1+4cos =7，33331得cos =-,所以AB和CD所成的角為60 °。19.（思考題）如圖，已知平行六面體 ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側棱AA1長為b,且AA1與AB、AD的夾角都是120求：（1）AC1的長；直線BD1與AC所成的角的余弦值.技巧與方法：數量積公式及向量、模公式的巧用、變形用解：(1)|AC； |2 AC； AC1 (AA； AC)(AAI(AAi AB AD)(AAI AB AD)I AA； I2 I AB I2 I AD I2 2AAi AB 2AA；

22、由已知得：I AAl I2 b2,I AB I2 I AD f a2AC)AD 2ABADAA1 ,ABAA1, ADAAl AB b acos120120 , AB, AD1-ab, AA1 AD290b a cos120lab,AB AD 0,2IAC1 I . 2a2 b2 2ab.IAC1 I2 2a2 b2 2ab,(2)依題意得,IAC I 2a,AC AB ADBD； AD BA AAl AD ABAC BDi (AB AD)(AAI AD AB)ABAAIAD aA； ABADAD2 AB2 AB ADabBD I2 2AA |BDi BD1 (AAl2 2IADl IABlA

23、D2AAl|BDi |2 2、2a b cosAB)(AAI AD AB)ADBD1, ACBD與AC所成角的余弦值為2AB AD 2AAl2 2AB 2a2 b2BDi ACIBDi IIACI b.4a2 2b2b.4a2 2b2判斷是非：(1) (3) (8)(10)正確，其余錯;選擇：1(C); 2(D); 3(D) ; 4(D) .5. (2)相交，(5)平行，其余異面；(6): (D),取 AB中點 M , CCi 中點 N ,連 BiE 和 BiF; (7)答案：(A),延長 BiAi 至 M ,使 AiM = AiDi ,連 MA ,取 AB 中點 N . 8(D); 9(E)

24、; 10(D) ; 11 (C);四.五.4 ,取 AD 中點 E,則MEN = 903-,取 AC 中點 F,連 EF、BF,求得 BE=丄 AD = 5 , BF= -AC = 3 2 ;5 2 225仝5 ,分別取AC、BiCi的中點P、Q,則PMQN是矩形，設CCi = MQ = a,則MP = 51-a;2=90 ° ;六.1丄，取 AC 中點 F,連 EF、BF,貝U EF= 4 , BE= BF = 3 .6異面直線所成的角-作業(C)平行或異面(D)不能確定班級：姓名：一、判斷是非(下列命題中，正確的打“” ,(I) 梯形的四個頂點在同一平面內；(3)平行于同一直線的

25、兩直線平行；(5)兩條直線確定一個平面；(7)無公共點的兩直線異面；(9)兩異面直線可以同時平行于一直線；(II) 不同在一個已知平面內的兩直線異面；二、選擇題1. 沒有公共點的兩條直線的位置關系是()(A)平行(B)異面學號：錯誤的打“X”)(2)對邊相等的四邊形是平行四邊形；(4)垂直于同一直線的兩直線平行；(6)經過三點可以確定一個平面；(8)兩異面直線無公共點；(10)兩異面直線可以同時垂直于一直線；(12)互相垂直的兩條直線必可確定一平面2. 分別在兩相交平面內的兩條直線的位置關系是(A)異面(B)平行3. 兩條異面直線指的是()(A)在空間不相交的兩條直線(B)某(C)分別位于兩個不同平面的兩條直線4. a、b是異面直線，b、(C)平行或異面(D)平行或異面或相交平面內的一條直線和這個平面外的一條直線(D)不同在任一平面內的兩條直線C也是異面直線，那么a、C的位置是()(A)異面(B)異面或平行5. 說出正方體中各對線段的位置關系：(1) AB 和 CC1 ；(2)A1C 和 BD1；(C)異面或相交A1A 和 CB1；(D)相交、平行或異面(C)總共可能有一條，也可能有兩條(D)有無窮多條AiCi 和 CBi;(5)AB 和 DC;