1、 基礎題組練 1直線 yx2 與橢圓x2my231 有兩個公共點，則 m 的取值范圍是( ) a(1，) b(1，3)(3，) c(3，) d(0，3)(3，) 解析：選 b由yx2，x2my231，得(m3)x24mxm0.由 0 且 m3 及 m0 得 m1且 m3. 2設直線 ykx 與橢圓x24y231 相交于 a，b 兩點，分別過 a，b 兩點向 x 軸作垂線，若垂足恰為橢圓的兩個焦點，則 k 等于( ) a32 b23 c12 d2 解析：選 a由題意可知，點 a 與點 b 的橫坐標即為焦點的橫坐標，又 c1，當 k0時，不妨設 a，b 兩點的坐標分別為(1，y1)，(1，y2)，

2、代入橢圓方程得 y132，y232，解得 k32；同理可得當 k0 時 k32. 3過橢圓x25y241 的右焦點作一條斜率為 2 的直線與橢圓交于 a，b 兩點，o 為坐標原點，則oab 的面積為( ) a43 b53 c54 d103 解析：選 b由題意知橢圓的右焦點 f 的坐標為(1，0)，則直線 ab 的方程為 y2x2.聯立x25y241，y2x2，解得交點 a(0，2)，b53，43，所以 soab12 |of| |yayb|12124353，故選 b 4已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)與直線 yx3 只有一個公共點，且橢圓的離心率為55，則橢圓 c 的方程為( ) a4

3、x225y251 bx25y241 cx29y251 dx225y2201 解析：選 b將直線方程 yx3 代入 c 的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由橢圓與直線只有一個公共點得，(6a2)24(a2b2)(9a2a2b2)0，化簡得 a2b29.又由橢圓的離心率為55，所以caa2b2a55，則b2a245，解得 a25，b24，所以橢圓的方程為x25y241. 5(2020 石家莊質檢)傾斜角為4的直線經過橢圓x2a2y2b21(ab0)的右焦點 f，與橢圓交于 a，b 兩點，且af2fb，則該橢圓的離心率為( ) a32 b23 c22 d33 解析：選 b由題可

4、知，直線的方程為 yxc，與橢圓方程聯立x2a2y2b21，yxc，得(b2a2)y22b2cyb40，由于直線過橢圓的右焦點，故必與橢圓有交點，則 0.設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則y1y22b2ca2b2，y1y2b4a2b2，又af2fb，所以(cx1，y1)2(x2c，y2)，所以y12y2，可得y22b2ca2b2，2y22b4a2b2.所以124c2a2b2，所以 e23，故選 b 6已知橢圓y2a2x2b21(ab0)的右頂點為 a(1，0)，過其焦點且垂直于長軸的弦長為1，則橢圓方程為_ 解析：因為橢圓y2a2x2b21 的右頂點為 a(1，0)，所以 b1，焦點坐

5、標為(0，c)，因為過焦點且垂直于長軸的弦長為 1，所以2b2a1，a2，所以橢圓方程為y24x21. 答案：y24x21 7已知橢圓x22y21 與直線 yxm 交于 a，b 兩點，且|ab|4 23，則實數 m 的值 為_ 解析：由x22y21，yxm消去 y 并整理，得 3x24mx2m220.設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 x1x24m3，x1x22m223.由題意，得2(x1x2)28x1x24 23， 解得 m 1. 答案： 1 8已知直線 l：yk(x1)與橢圓 c：x24y21 交于不同的兩點 a，b，ab 中點橫坐標為12，則 k_ 解析：設 a(x1，y1)，b

6、(x2，y2)，由yk(x1)，x24y21，得(4k21)x28k2x4k240，因為直線 l 過橢圓內的定點(1，0)，所以 0，x1x28k24k21，所以x1x224k24k2112，即 k214，所以 k12. 答案：12 9設 f1，f2分別是橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點，m 是 c 上一點且 mf2與 x 軸垂直，直線 mf1與 c 的另一個交點為 n. (1)若直線 mn 的斜率為34，求 c 的離心率； (2)若直線 mn 在 y 軸上的截距為 2，且|mn|5|f1n|，求 a，b. 解：(1)根據 ca2b2及題設知 mc，b2a，b2a2c34，

7、2b23ac. 將 b2a2c2代入 2b23ac，解得ca12，ca2(舍去)故 c 的離心率為12. (2)由題意，原點 o 為 f1f2的中點，mf2y 軸，所以直線 mf1與 y 軸的交點 d(0，2)是線段 mf1的中點， 故b2a4，即 b24a. 由|mn|5|f1n|得|df1|2|f1n|. 設 n(x1，y1)，由題意知 y10，則 2(cx1)c，2y12，即x132c，y11. 代入 c 的方程，得9c24a21b21. 將及 c a2b2代入得9(a24a)4a214a1. 解得 a7，b24a28，故 a7，b2 7. 10已知橢圓 c 的兩個焦點為 f1(1，0)

8、，f2(1，0)，且經過點 e3，32. (1)求橢圓 c 的方程； (2)過 f1的直線 l 與橢圓 c 交于 a，b 兩點(點 a 位于 x 軸上方)，若af12f1b，求直線l 的斜率 k 的值 解：(1)由2a|ef1|ef2|4，a2b2c2，c1，解得a2，c1，b 3， 所以橢圓 c 的方程為x24y231. (2)由題意得直線 l 的方程為 yk(x1)(k0)，聯立，得yk(x1)，x24y231， 整理得3k24 y26ky90， 144k21440，設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 y1y26k34k2，y1y29k234k2，又af12f1b，所以 y12y2

9、，所以 y1y22(y1y2)2，則 34k28，解得 k52，又 k0，所以 k52. 綜合題組練 1 設 f1， f2分別是橢圓x24y21 的左、 右焦點， 若橢圓上存在一點 p， 使(opof2) pf20(o 為坐標原點)，則f1pf2的面積是( ) a4 b3 c2 d1 解析：選 d因為(opof2) pf2(opf1o) pf2f1ppf20，所以 pf1pf2，f1pf290 .設|pf1|m， |pf2|n， 則 mn4， m2n212， 2mn4， mn2， 所以 sf1pf212mn1. 2直線 l 過橢圓x22y21 的左焦點 f，且與橢圓交于 p，q 兩點，m 為

10、pq 的中點，o為原點，若fmo 是以 of 為底邊的等腰三角形，則直線 l 的斜率為( ) a22 b22 c32 d32 解析：選 b由x22y21，得 a22，b21，所以 c2a2b2211，則 c1，則左焦點 f(1，0)由題意可知，直線 l 的斜率存在且不等于 0，設直線 l 的方程為 ykxk.設 l 與橢圓交于點 p(x1，y1)，q(x2，y2)，聯立x22y21，ykxk得(2k21)x24k2x2k220.則 pq 的中點 m 的橫坐標為x1x222k22k21.因為fmo 是以 of 為底邊的等腰三角形， 所以2k22k2112，解得 k22. 3從橢圓x2a2y2b2

11、1(ab0)上一點 p 向 x 軸作垂線，垂足恰為左焦點 f1，a 是橢圓與x 軸正半軸的交點，b 是橢圓與 y 軸正半軸的交點，且 abop(o 是坐標原點)，則該橢圓的離心率是_ 解析：由題意可設 p(c，y0)(c 為半焦距)，kopy0c，kabba，由于 opab，所以y0cba，y0bca，把 pc，bca代入橢圓方程得(c)2a2bca2b21， 所以ca212，所以 eca22. 答案：22 4.如圖，橢圓的中心在坐標原點 o，頂點分別是 a1，a2，b1，b2，焦點分別為 f1，f2，延長 b1f2與 a2b2交于 p 點，若b1pa2為鈍角，則橢圓的離心率的取值范圍為_ 解

12、析：設橢圓的方程為x2a2y2b21(ab0)，b1pa2為鈍角可轉化為b2a2，f2b1所夾的角為鈍角，則(a，b) (c，b)0，得 b2ac，即 a2c2ac，故ca2ca10 即 e2e 10，e512或 e 512，又 0e1，所以512e1. 答案：512，1 5已知 f1，f2是橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左，右兩個焦點，|f1f2|4，長軸長為6，又 a，b 分別是橢圓 c 上位于 x 軸上方的兩點，且滿足af12bf2. (1)求橢圓 c 的方程； (2)求四邊形 abf2f1的面積 解：(1)由題意知 2a6，2c4，所以 a3，c2， 所以 b2a2c25，所

13、以橢圓 c 的方程為x29y251. (2)設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，又 f1(2，0)，f2(2，0)， 所以af1(2x1，y1)，bf2(2x2，y2)， 由af12bf2，得 x122(x22)，y12y2. 延長 ab 交 x 軸于 h，因為af12bf2，所以 af1bf2，且|af1|2|bf2|.所以線段 bf2為af1h 的中位線，即 f2為線段 f1h 的中點，所以 h(6，0)設直線 ab 的方程為 xmy6， 代入橢圓方程，得 5(my6)29y245，即(5m29)y260my1350. 所以 y1y260m5m293y2，y1y21355m292y22

14、， 消去 y2，得 m292325，結合題意知 m9 35. s四邊形abf2f1saf1hsbf2h12|f1h|y112|f2h|y24y12y28y22y26y2 120m5m2915 34. 6(2020 安徽五校聯盟第二次質檢)已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的焦點坐標分別為f1(1，0)，f2(1，0)，p 為橢圓 c 上一點，滿足 3|pf1|5|pf2|且 cosf1pf235. (1)求橢圓 c 的標準方程； (2)設直線 l：ykxm 與橢圓 c 交于 a，b 兩點， 點 q14，0 ，若|aq|bq|，求 k 的取值范圍 解：(1)由題意設|pf1|r1，|pf2|r2，則 3r15r2，又 r1r22a，所以 r154a，r234a. 在pf1f2中，由余弦定理得，cosf1pf2r21r22|f1f2|22r1r254a234a222254a34a35， 解得 a2，因為 c1，所以 b2a2c23，所以橢圓 c 的標準方程為x24y231. (2)聯立方程，得x24y231ykxm，消去 y 得(34k2)x28kmx4m2120，設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 x1x28km34k2，x1x24m21234k2，且 48(34