1、1第五節第五節直接證明與間接證明直接證明與間接證明、數學歸納法數學歸納法最新考綱1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點.2.了解間接證明的一種基本方法反證法； 了解反證法的思考過程和特點.3.了解數學歸納法的原理.4.能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題1直接證明(1)綜合法定義：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立的證明方法(2)分析法定義：從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止的證明方法2間接證明

2、反證法一般地，假設原命題不成立(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法3數學歸納法一般地，證明一個與正整數 n 有關的命題，可按下列步驟進行：(1)歸納奠基：證明當 n 取第一個值 n0(n0n*)時命題成立；(2)歸納遞推：假設 nk(kn0，kn*)時命題成立，證明當 nk1 時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從 n0開始的所有正整數 n 都成立上述證明方法叫做數學歸納法2一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)用數學歸納法證明問題時，第一步是驗證當 n1 時結論成立()(2)綜

3、合法是直接證明，分析法是間接證明()(3)分析法是從要證明的結論出發，逐步尋找使結論成立的充要條件()(4)用反證法證明結論“ab”時，應假設“aqbpqcpq，只需 p2q2，即 2a132 （a6） （a7）2a132 （a8） （a5）， 只需 a213a42a213a40.因為 4240 成立， 所以 pq成立故選 a.4 已知數列an滿足 an1a2nnan1， nn， 且 a12， 則 a2_，a3_，a4_，猜想 an_345n1易得 a23，a34，a45，故猜想 ann1.3考點 1綜合法的應用掌握綜合法證明問題的思路(1)綜合法是“由因導果”的證明方法，它是一種從已知到未知

4、(從題設到結論)的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發，經過一系列中間推理，最后導出所要求證結論的真實性(2)綜合法的邏輯依據是三段論式的演繹推理設 a，b，c 均為正數，且 abc1.證明：(1)abbcac13；(2)a2bb2cc2a1.證明(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得 a2b2c2abbcca，由題設得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1，所以 3(abbcca)1，即 abbcca13.(2)因為 a，b，c 均為正數，a2bb2a，b2cc2b，c2aa2c，故a2bb2cc2a(abc)2(abc)，即a2

5、bb2cc2aabc，所以a2bb2cc2a1.母題探究本例的條件不變，證明 a2b2c213.證明因為 abc1，4所以 1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac，因為 2aba2b2，2bcb2c2，2aca2c2，所以 2ab2bc2ac2(a2b2c2)，所以 1a2b2c22(a2b2c2)，即 a2b2c213.(1)不等式的證明常借助基本不等式， 注意其使用的前提條件“一正、二定、三相等”；(2) 應用重要不等式 a2b22ab 放縮時要注意待證不等式的方向性在abc 中，角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，已知 sin asin bsin bsin ccos 2b1.

6、(1)求證：a，b，c 成等差數列；(2)若 c23，求證：5a3b.證明(1)由已知得 sin asin bsin bsin c2sin2b，因為 sin b0，所以 sin asin c2sin b，由正弦定理，得 ac2b，即 a，b，c 成等差數列(2)由 c23，c2ba 及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有 5ab3b20，即 5a3b.考點 2分析法的應用分析法證明問題的思路及適用范圍利用分析法證明問題，先從結論入手，由此逐步推出保證此結論成立的充分條件；當已知條件與結論之間的聯系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對

7、值的等式或不等式，常考慮用分析法已知abc 的三個內角 a，b，c 成等差數列，a，b，c 的對邊分別為 a，b，c.求證：1ab1bc3abc.5證明要證1ab1bc3abc，即證abcababcbc3，也就是cababc1，只需證 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證 c2a2acb2，又abc 三內角 a，b，c 成等差數列，故 b60，由余弦定理，得 b2c2a22accos 60，即 b2c2a2ac，故 c2a2acb2成立于是原等式成立(1)用分析法證明時，要注意書寫格式的規范性，常常用“要證(欲證)”“即證”“只需證”等，逐步分析，直到一個明顯成立的結論(2)證明較復雜的

8、問題時，可以采用兩頭湊的辦法，如本例中，通過分析法找出與結論等價(或充分)的中間結論“c2a2acb2” ，然后通過綜合法證明這個中間結論，從而使原命題得證若 a，b(1，)，證明 ab 1ab.證明要證 ab 1ab，只需證( ab)2( 1ab)2，只需證 ab1ab0，即證(a1)(1b)0.因為 a1，b1，所以 a10，1b0，即(a1)(1b)0 成立，所以原不等式成立考點 3反證法的應用用反證法證明問題的步驟(1)反設：假定所要證的結論不成立，而設結論的反面成立(否定結論)(2)歸謬：將“反設”作為條件，由此出發經過正確的推理，導出矛盾，矛盾可以是與已知條件、定義、公理、定理及明

9、顯的事實矛盾或自相矛盾(推導矛盾)6(3)立論：因為推理正確，所以產生矛盾的原因在于“反設”的謬誤既然原命題結論的反面不成立，從而肯定了原命題成立(命題成立)設 a0，b0，且 ab1a1b.證明：(1)ab2；(2)a2a2 與 b2b0，b0，得 ab1.(1)由基本不等式及 ab1，有 ab2 ab2，即 ab2.(2)假設 a2a2 與 b2b2 同時成立，則由 a2a0，得 0a1；同理，0b1，從而 ab1，這與 ab1 矛盾故 a2a2 與 b2b0 且 b1，b，r 均為常數)的圖象上(1)求 r 的值；(2)當 b2 時，記 bn2(log2an1)(nn*)，證明：對任意的

10、 nn*，不等式b11b1b21b2bn1bn n1成立解(1)由題意得，snbnr，當 n2 時，sn1bn1r.所以 ansnsn1bn1(b1)由于 b0，且 b1，所以 n2 時，數列an是以 b 為公比的等比數列又 a1s1br，a2b(b1)，所以a2a1b，即b（b1）brb，解得 r1.(2)證明：由(1)及 b2 知 an2n1.因此 bn2n(nn*)，所證不等式為2124142n12n n1.10當 n1 時，左式32，右式 2，左式右式，所以結論成立假設 nk(k1，kn*)時結論成立，即2124142k12k k1，則當 nk1 時，2124142k12k2k32（k

11、1） k12k32（k1）2k32 k1，要證當 nk1 時結論成立，只需證2k32 k1 k2，即證2k32 （k1） （k2），由基本不等式得2k32（k1）（k2）2 （k1） （k2）成立，故2k32 k1 k2成立，所以當 nk1 時，結論成立由可知，nn*時，不等式b11b1b21b2bn1bn n1成立已知 f(n)11231331431n3，g(n)3212n2，nn*.(1)當 n1，2，3 時，試比較 f(n)與 g(n)的大小關系；(2)猜想 f(n)與 g(n)的大小關系，并給出證明解(1)當 n1 時，f(1)1，g(1)1，所以 f(1)g(1)；當 n2 時，f(2)98，g(2)118，所以 f(2)g(2)；當 n3 時，f(3)251216，g(3)312216，11所以 f(3)g(3)(2)由(1)猜想，f(n)g(n)，用數學歸納法證明當 n1，2，3 時，