1、第二節函數的單調性與最值最新考綱1.理解函數的單調性、最大值、最小值及其幾何意義.2.會運用基本初等函數的圖象分析函數的性質1函數的單調性(1)單調函數的定義增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為i，如果對于定義域i內某個區間d上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數f(x)在區間d上是增函數當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數f(x)在區間d上是減函數圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調區間的定義如果函數yf(x)在區間d上是增函數或減函數，那么就說函數yf(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區

2、間d叫做yf(x)的單調區間2函數的最值前提設函數yf(x)的定義域為i，如果存在實數m滿足條件對于任意的xi，都有f(x)m；存在x0i，使得f(x0)m對于任意的xi，都有f(x)m；存在x0i，使得f(x0)m結論m為yf(x)的最大值m為yf(x)的最小值1函數單調性的結論(1)對x1，x2d(x1x2)，0f(x)在d上是增函數；0f(x)在d上是減函數(2)對勾函數yx(a0)的增區間為(，和，)，減區間為，0)和(0，(3)在區間d上，兩個增函數的和仍是增函數，兩個減函數的和仍是減函數(4)函數f(g(x)的單調性與函數yf(u)和ug(x)的單調性的關系是“同增異減”2函數最值

3、存在的2個結論(1)閉區間上的連續函數一定存在最大值和最小值(2)開區間上的“單峰”函數一定存在最大(小)值一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數y的單調遞減區間是(，0)(0，)()(2)若定義在r上的函數f(x)有f(1)f(3)，則函數f(x)在r上為增函數()(3)函數yf(x)在1，)上是增函數，則函數的單調遞增區間是1，)()(4)閉區間上的單調函數，其最值一定在區間端點取到()答案(1)×(2)×(3)×(4)二、教材改編1函數yx26x10在區間(2,4)上()a遞減b遞增c先遞減后遞增 d先遞增后遞減c因為函數yx26x

4、10的圖象為拋物線，且開口向上，對稱軸為直線x3，所以函數yx26x10在(2,3)上為減函數，在(3,4)上為增函數2下列函數中，在區間(0,1)上是增函數的是()ay|x| by3xcy dyx24ay3x在r上遞減，y在(0，)上遞減，yx24在(0，)上遞減，故選a.3若函數y(2k1)xb在r上是減函數，則k的取值范圍是_因為函數y(2k1)xb在r上是減函數，所以2k10，即k.4已知函數f(x)，x2,6，則f(x)的最大值為_，最小值為_2易知函數f(x)在x2,6上為減函數，故f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).考點1確定函數的單調性(區間)確定函數單調性的4種

5、方法(1)定義法利用定義判斷(2)導數法適用于初等函數、復合函數等可以求導的函數(3)圖象法由圖象確定函數的單調區間需注意兩點：一是單調區間必須是函數定義域的子集；二是圖象不連續的單調區間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“”連接(4)性質法利用函數單調性的性質，尤其是利用復合函數“同增異減”的原則時，需先確定簡單函數的單調性求函數的單調區間(1)函數f(x)|x23x2|的單調遞增區間是()a. b.和2，)c(，1和 d.和2，)(2)函數y的單調遞增區間為_，單調遞減區間為_(1)b(2)2，)(，3(1)y|x23x2|如圖所示，函數的單調遞增區間是和2，)；單調遞減區間是(，1和

6、.故選b.(2)令ux2x6，則y可以看作是由y與ux2x6復合而成的函數令ux2x60，得x3或x2.易知ux2x6在(，3上是減函數，在2，)上是增函數，而y在0，)上是增函數，所以y的單調減區間為(，3，單調增區間為2，)(1)求復合函數的單調區間的步驟一般為：確定函數的定義域；求簡單函數的單調區間；求復合函數的單調區間，其依據是“同增異減”(2)求函數的單調區間，應先求定義域，在定義域內求單調區間含參函數的單調性一題多解判斷并證明函數f(x)ax2(其中1a3)在x1,2上的單調性解法一：(定義法)設1x1x22，則f(x2)f(x1)ax(x2x1)，由1x1x22，得x2x10,2

7、x1x24，1x1x24，1.又1a3，所以2a(x1x2)12，得a(x1x2)0，從而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故當a(1,3)時，f(x)在1,2上單調遞增法二：(導數法)因為f(x)2ax，因為1x2，1x38，又1a3，所以2ax310，所以f(x)0，所以函數f(x)ax2(其中1a3)在1,2上是增函數定義法證明函數單調性的一般步驟：任取x1，x2d，且x1x2；作差f(x1)f(x2)；變形(通常是因式分解和配方)；定號(即判斷f(x1)f(x2)的正負)；下結論(即指出函數f(x)在給定的區間d上的單調性)1.函數f(x)|x2|x的單調遞減區間是()a

8、1,2 b1,0c(0,2 d2，)a由題意得，f(x)當x2時，2，)是函數f(x)的單調遞增區間；當x2時，(，1是函數f(x)的單調遞增區間，1,2是函數f(x)的單調遞減區間2判斷并證明函數f(x)(a0)在(1,1)上的單調性解法一：(定義法)設1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x21，所以x2x10，x110，x210，故當a0時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數f(x)在(1,1)上遞減；當a0時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數f(x)在(1,1)上遞增法二：(導數法)f(x)，所以當a0時，f(x)0，當a

9、0時，f(x)0，即當a0時，f(x)在(1,1)上為單調減函數，當a0時，f(x)在(1,1)上為單調增函數考點2函數的最值求函數最值的5種常用方法及其思路(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值(2)圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值(4)導數法：先求導，然后求出在給定區間上的極值，最后結合端點值，求出最值(5)換元法：對比較復雜的函數可通過換元轉化為熟悉的函數，再用相應的方法求最值(1)若函數f(x)的最小值為f(0)，則實數a的取值范圍是()a1,2 b1,0c

10、1,2 d0,2(2)函數f(x)xlog2(x2)在區間1,1上的最大值為_(3)函數yx(x0)的最大值為_(1)d(2)3(3)(1)當x0時，f(x)xa2a，當且僅當x，即x1時，等號成立故當x1時取得最小值2a，f(x)的最小值為f(0)，當x0時，f(x)(xa)2單調遞減，故a0，此時的最小值為f(0)a2，故2aa2，得1a2.又a0，得0a2.故選d.(2)f(x)xlog2(x2)在區間1,1上單調遞減，f(x)maxf(1)3log213.(3)令t，則t0，所以ytt22，當t，即x時，ymax.逆向問題若函數f(x)b(a0)在上的值域為，則a_，b_.1f(x)b

11、(a0)在上是增函數，f(x)minf，f(x)maxf(2)2.即解得a1，b.(1)求函數的最值時，應先確定函數的定義域如本例(3)(2)求分段函數的最值時，應先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數的最大值，最小的作為分段函數的最小值如本例(1)(3)若函數f(x)在區間a，b上單調，則必在區間的端點處取得最值如本例(2)；若函數f(x)在區間a，b上不單調，則最小值為函數f(x)在該區間內的極小值和區間端點值中最小的值，最大值為函數f(x)在該區間內的極大值和區間端點值中最大的值1.函數f(x)的值域為_(，44，)當x0時，f(x)x4，當且僅當x2時取等號；當x0時，x4

12、，即f(x)x4，當且僅當x2時取等號，所以函數f(x)的值域為(，44，)2對于任意實數a，b，定義mina，b設函數f(x)x3，g(x)log2x，則函數h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_1法一：(圖象法)在同一坐標系中，作函數f(x)，g(x)圖象，依題意，h(x)的圖象如圖所示易知點a(2,1)為圖象的最高點，因此h(x)的最大值為h(2)1.法二：(單調性法)依題意，h(x)當0x2時，h(x)log2 x是增函數，當x2時，h(x)3x是減函數，所以h(x)在x2時取得最大值h(2)1.考點3函數單調性的應用比較大小比較函數值大小的解題思路比較函數值的大小時，若自變量的

13、值不在同一個單調區間內，要利用其函數性質，轉化到同一個單調區間內進行比較，對于選擇題、填空題能數形結合的盡量用圖象法求解已知函數f(x)的圖象向左平移1個單位后關于y軸對稱，當x2x11時，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，設af，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關系為()acab bcbacacb dbacd根據已知可得函數f(x)的圖象關于直線x1對稱，且在(1，)上是減函數所以aff，f(2)f(2.5)f(3)，所以bac.本例先由f(x2)f(x1)(x2x1)0得出f(x)在(1，)上是減函數，然后借助對稱性，化變量，2,3于同一單調區間，并借助單調性比較大小解不

14、等式求解含“f”的函數不等式的解題思路先利用函數的相關性質將不等式轉化為f(g(x)f(h(x)的形式，再根據函數的單調性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)h(x)此時要特別注意函數的定義域定義在2,2上的函數f(x)滿足(x1x2)·f(x1)f(x2)0，x1x2，且f(a2a)f(2a2)，則實數a的取值范圍為()a1,2) b0,2)c0,1) d1,1)c因為函數f(x)滿足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，所以函數在2,2上單調遞增，所以22a2a2a2，解得0a1，故選c.本例在求解時，應注意隱含條件為a2a2,2，2a22,2教師備選

15、例題f(x)是定義在(0，)上的單調增函數，滿足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，則不等式f(x)f(x8)2的解集為_(8,9因為211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2可得fx(x8)f(9)，f(x)是定義在(0，)上的增函數，所以有解得8<x9.根據函數的單調性求參數利用單調性求參數的范圍(或值)的方法(1)視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參數(2)需注意若函數在區間a，b上是單調的，則該函數在此區間的任意子集上也是單調的(1)(2019·鄭州模擬)函數y在(1，)上單調遞增，則a的取值范圍是()a

16、a3 ba3ca3 da3(2)已知f(x)滿足對任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范圍是()a(1,2) b.c. d.(1)c(2)c(1)y11，由題意知得a3.所以a的取值范圍是a3.(2)由已知條件得f(x)為增函數，所以解得a2，所以a的取值范圍是.故選c.分段函數的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值如本例(2)1.若函數f(x)2|xa|3在區間1，)上不單調，則a的取值范圍是()a1，) b(1，)c(，1) d(，1b因為函數f(x)2|xa|3且函數f(x)2|xa|3在區間1，)上不單調，所以a1.所以a的取值范圍是(1，)故選b.2設函數f(x)若函數yf(x)在區間(a，a1)上單調遞增，則實數a的取值范圍是()a(，1 b1,4c4，) d(，14，)d作出函數