1、 第08講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 【學科素養(yǎng)】數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析【課標解讀】1. 理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算，會用換底公式.2理解對數(shù)函數(shù)的概念，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應用.3.了解對數(shù)函數(shù)的變化特征. 【備考策略】1.對數(shù)運算的運算；2.對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用，如比較函數(shù)值的大小；3.圖象過定點；4.底數(shù)分類討論問題.【核心知識】知識點一 對數(shù)的概念如果axn(a>0，且a1)，那么x叫做以a為底n的對數(shù)，記作xlogan，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，n叫做真數(shù).知識點二 對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：alogann；logaabb(

2、a>0，且a1).(2)對數(shù)的運算法則如果a>0且a1，m>0，n>0，那么loga(mn)logamlogan；logalogamlogan；logamnnlogam(nr)；logammnlogam(m，nr，且m0).(3)換底公式：logbn(a，b均大于零且不等于1).知識點三 對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，)值域：r當x1時，y0，即過定點(1，0)當x>1時，y>0；當0<x

3、<1時，y<0當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)知識點四 反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線yx對稱.【特別提醒】1.換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logab；(2)logambnlogab.其中a>0，且a1，b>0，且b1，m，nr.2.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.3.對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，函數(shù)圖象只在第一、四象限

4、.【高頻考點】高頻考點一對數(shù)的化簡與求值例1【2020·全國卷】已知55<84，134<85設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則aa<b<cbb<a<ccb<c<adc<a<b【答案】a【解析】由題意可知、，；由，得，由，得，可得；由，得，由，得，可得.綜上所述，.【方法技巧】1.在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算.3

5、.abnblogan(a>0，且a1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應注意互化.【舉一反三】(2021·杭州市七校聯(lián)考)計算：若alog43，則2a2a_【答案】【解析】因為alog43log223log23log2，所以2a2a2log22log22log2.【變式探究】(2021·北京二中高三月考)在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/l，記作h)和氫氧根離子的物質(zhì)的量的濃度(單位mol/l，記作oh)的乘積等于常數(shù)1014.已知ph值的定義為phlgh，健康人體血液的ph值保持在7.357.45之間，那么健康人體血液中

6、的可以為(參考數(shù)據(jù)： lg 20.30，lg 30.48)()a b c d【答案】c【解析】由題設(shè)有1014h2.又107.45h107.35 ，所以100.91014h2100.7.所以0.9lg1014h20.7.又lg 0.3，lg 0.48，lg 0.78，lg 1，只有l(wèi)g 在范圍之中故選c高頻考點二 對數(shù)函數(shù)圖象及其應用例2.(2019·浙江卷)在同一直角坐標系中，函數(shù)y，yloga(x)(a0，且a1)的圖象可能是()abc d【答案】d【解析】對于函數(shù)yloga(x)，當y0時，有x1，得x，即yloga(x)的圖象恒過定點(，0)，排除選項a、c；函數(shù)y與ylog

7、a(x)在各自定義域上單調(diào)性相反，排除選項b，故選d。【方法技巧】(1)識別對數(shù)函數(shù)圖象時，要注意底數(shù)a以1為分界：當a1時，是增函數(shù)；當0a1時，是減函數(shù)注意對數(shù)函數(shù)圖象恒過定點(1,0)，且以y軸為漸近線(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解【變式探究】（2021·湖北武漢模擬）已知函數(shù)f (x)關(guān)于x的方程f (x)xa0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是_【答案】(1，)【解析】問題等價于函數(shù)yf (x)與yxa的圖象有且只有一個交點，結(jié)合圖象可知a>1.高頻考點三 比較對數(shù)值的大小例3【2020·全國卷】若2x2y

8、<3x3y，則aln(yx+1)>0bln(yx+1)<0cln|xy|>0dln|xy|<0【答案】a【解析】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，則a正確，b錯誤；與的大小不確定，故cd無法確定.故選：a【舉一反三】【2019·天津卷】已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()abcd【答案】a【解析】因為alog52log5，blog0.50.2log0.50.51，c0.50.2，0.50.21，所以acb，故選a。【方法技巧】（1）若對數(shù)值同底數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較（2）若對數(shù)值同

9、真數(shù)，利用圖象法或轉(zhuǎn)化為同底數(shù)進行比較（3）若底數(shù)、真數(shù)均不同，引入中間量進行比較【變式探究】【2019·全國卷】已知，則（ ）abcd【答案】b【解析】即則故選b高頻考點四 解簡單的對數(shù)不等式例4.（2021·山東菏澤模擬）設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)>f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是()a(1，0)(0，1) b(，1)(1，)c(1，0)(1，) d(，1)(0，1)【解析】由題意，得或解得a>1或1<a<0.故選c.【答案】c【方法技巧】解決此類問題時應注意兩點：(1)真數(shù)大于0；(2)底數(shù)a的值【變式探究】（2021·廣東湛江一中模擬）

10、 若loga(a21)loga2a0，則a的取值范圍是_【答案】(，1)【解析】由題意得a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，同時2a1，所以a.綜上，a(，1)高頻考點五 對數(shù)函數(shù)的綜合應用例5.（2021·河北衡水中學模擬）若函數(shù)f (x)log2(x2ax3a)在區(qū)間(，2上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()a(，4) b(4,4c(，4)2，)d4,4)【答案】d【解析】由題意得x2ax3a>0在區(qū)間(，2上恒成立，且函數(shù)yx2ax3a在(，2上單調(diào)遞減，則2且(2)2(2)a3a>0，解得4a<4.所以實數(shù)a的取值范

11、圍是4,4)故選d【方法技巧】解決此類問題有以下三個步驟：(1)求出函數(shù)的定義域；(2)判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系，當?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨一個字母)時，若涉及其單調(diào)性，就必須對底數(shù)進行分類討論；(3)判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運用復合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性【變式探究】（2021·湖南長郡中學模擬）已知函數(shù)f(x)loga(3ax).(1)當x0，2時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由。【解析】(1)a>0且a1，設(shè)t(x)3ax，則t(x)3ax為減函數(shù)，x0，2時，t(x)的最小值為32a，當x0，2時，f(x)恒有意義，即x0，2時，3ax>0恒成立.32a