1、 基礎題組練 1 (2020 河南豫南九校聯考)設定義在(0， )上的函數 f(x)的導函數 f(x)滿足 xf(x)1，則( ) af(2)f(1)ln 2 bf(2)f(1)1 df(2)f(1)1f(x)1x(ln x)， 即 f(x)(ln x)0.令 f(x)f(x)ln x，則 f(x)在(0，)上單調遞增，故 f(2)ln 2f(1)ln 1，即 f(2)f(1)ln 2. 2若 0 x1x2ln x2ln x1 be x2e x1x1e x2 dx2e x1x1e x2 解析：選 c令 f(x)exx， 則 f(x)xexexx2ex（x1）x2. 當 0 x1 時，f(x)0

2、， 即 f(x)在(0，1)上單調遞減，因為 0 x1x21， 所以 f(x2)f(x1)，即e x2x2x1e x2，故選 c 3已知函數 f(x)aexln x1.(e2.718 28是自然對數的底數) (1)設 x2 是函數 f(x)的極值點，求實數 a 的值，并求 f(x)的單調區間； (2)證明：當 a1e時，f(x)0. 解：(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)aex1x. 由題設知，f(2)0，所以 a12e2. 從而 f(x)12e2exln x1，f(x)12e2ex1x. 當 0 x2 時，f(x)2 時，f(x)0. 所以 f(x)在(0，2)上單調遞減，在(2，)

3、上單調遞增 (2)證明：當 a1e時，f(x)exeln x1. 設 g(x)exeln x1，則 g(x)exe1x. 當 0 x1 時，g(x)1 時，g(x)0.所以 x1 是 g(x)的最小值點故當 x0時，g(x)g(1)0. 因此，當 a1e時，f(x)0. 4(2020 武漢調研)已知函數 f(x)ln xax，ar. (1)討論函數 f(x)的單調性； (2)當 a0 時，證明：f(x)2a1a. 解：(1)f(x)1xax2xax2(x0) 當 a0 時，f(x)0，f(x)在(0，)上單調遞增 當 a0 時，若 xa，則 f(x)0，函數 f(x)在(a，)上單調遞增； 若

4、 0 xa，則 f(x)0 時，f(x)minf(a)ln a1. 要證 f(x)2a1a，只需證 ln a12a1a， 即證 ln a1a10. 令函數 g(a)ln a1a1，則 g(a)1a1a2a1a2(a0)， 當 0a1 時，g(a)1 時，g(a)0， 所以 g(a)在(0，1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增， 所以 g(a)ming(1)0. 所以 ln a1a10 恒成立， 所以 f(x)2a1a. 5(2020 福州模擬)已知函數 f(x)eln xax(ar) (1)討論 f(x)的單調性； (2)當 ae 時，證明：xf(x)ex2ex0. 解：(1)f(x)exa(

5、x0) 若 a0，則 f(x)0，f(x)在(0，)上單調遞增； 若 a0，則當 0 x0，當 xea時，f(x)0，所以只需證 f(x)exx2e，當 ae 時，由(1)知，f(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減， 所以 f(x)maxf(1)e. 記 g(x)exx2e(x0)， 則 g(x)（x1）exx2， 所以當 0 x1 時，g(x)1 時，g(x)0，g(x)單調遞增， 所以 g(x)ming(1)e. 綜上，當 x0 時，f(x)g(x)，即 f(x)exx2e， 即 xf(x)ex2ex0. 6已知函數 f(x)ln xex(r) (1)若函數 f(x)是單調函

6、數，求 的取值范圍； (2)求證：當 0 x11x2x1. 解：(1)函數 f(x)的定義域為(0，)， 因為 f(x)ln xex， 所以 f(x)xexxexx， 因為函數 f(x)是單調函數， 所以 f(x)0 或 f(x)0 在(0，)上恒成立， 當函數 f(x)是單調遞減函數時，f(x)0， 所以xexx0，即 xex0，xexxex. 令 (x)xex，則 (x)x1ex， 當 0 x1 時，(x)1 時，(x)0， 則 (x)在(0，1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增， 所以當 x0 時，(x)min(1)1e，所以 1e. 當函數 f(x)是單調遞增函數時，f(x)0， 所以xexx0，即 xex0，xexxex， 由得 (x)xex在(0，1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增，又 (0)0，x 時，(x)0，所以 0. 綜上， 的取值范圍為，1e0，) (2)證明：由(1)可知，當 1e時， f(x)1eln xex在(0，)上單調遞減， 因為 0 x1f(x2)， 即1eln x1ex11eln x2ex2， 所以 e1x2e1x1ln x1ln x2. 要證 e1x2e1x11x2x1， 只需證 ln x1ln x21x2x1