1、基礎題組練1已知 a(2，1，3)，b(1，2，3)，c(7，6，)，若 a，b，c 三向量共面，則()a9b9c3d3解析：選 b由題意知 cxayb，即(7，6，)x(2，1，3)y(1，2，3)，所以2xy7，x2y6，3x3y，解得9.2(多選)有下列四個命題，其中不正確的命題有()a已知 a，b，c，d 是空間任意四點，則abbccdda0b若兩個非零向量ab與cd滿足abcd0，則abcdc分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量d對于空間的任意一點 o 和不共線的三點 a，b，c，若opxoayobzoc(x，y，zr)，則 p，a，b，c 四點共

2、面解析：選 acd對于 a，已知 a，b，c，d 是空間任意四點，則abbccdda0，錯誤；對于 b，若兩個非零向量ab與cd滿足abcd0，則abcd，正確；對于 c，分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線， 則這兩個向量可以是共面向量， 不正確；對于 d，對于空間的任意一點 o 和不共線的三點 a，b，c，若opxoayobzoc(x，y，zr)，僅當 xyz1 時，p，a，b，c 四點共面，故錯誤3在空間四邊形 abcd 中，abcdacdbadbc()a1b0c1d不確定解析：選 b如圖，令aba，acb，adc，則abcdacdbadbca(cb)b(ac)c(ba)aca

3、bbabccbca0.4.如圖，在大小為 45的二面角 aefd 中，四邊形 abfe，四邊形 cdef 都是邊長為1 的正方形，則 b，d 兩點間的距離是()a 3b 2c1d 3 2解析： 選 d 因為bdbffeed， 所以|bd|2|bf|2|fe|2|ed|22bffe2feed2bfed111 23 2，所以|bd| 3 2.5已知 a(1，0，0)，b(0，1，1)，o 為坐標原點，oaob與ob的夾角為 120，則的值為()a66b66c66d 6解析：選 coaob(1，)，cos 120122 212，得66.經檢驗66不合題意，舍去，所以66.6.如圖所示，在長方體 ab

4、cda1b1c1d1中，o 為 ac 的中點用ab， ad，aa1表示oc1，則oc1_解析：因為oc12ac12(abad)，所以oc1occc112(abad)aa112ab12adaa1.答案：12ab12adaa17.已知 pa 垂直于正方形 abcd 所在的平面，m，n 分別是 cd，pc 的中點，并且 paad1.在如圖所示的空間直角坐標系中，則 mn_解析：連接 pd，因為 m，n 分別為 cd，pc 的中點，所以 mn12pd，又 p(0，0，1)，d(0，1，0)，所以 pd 02(1)212 2，所以 mn22.答案：228.如圖所示， 已知空間四邊形 oabc， oboc

5、， 且aobaoc3， 則 cos oa， bc的值為_解析：設oaa，obb，occ，由已知條件得a，ba，c3，且|b|c|，oabca(cb)acab12|a|c|12|a|b|0，所以oabc，所以 cosoa， bc0.答案：09.如圖所示，在直三棱柱 abca1b1c1中，平面 aa1c1c 和平面 aa1b1b 都是正方形且互相垂直，m 為 aa1的中點，n 為 bc1的中點求證：(1)mn平面 a1b1c1；(2)平面 mbc1平面 bb1c1c；證明：由題意知，aa1，ab，ac 兩兩垂直，則以 a 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設 aa12，則 a(0，0，0)，

6、a1(2，0，0)，b(0，2，0)，b1(2，2，0)，c(0，0，2)，c1(2，0，2)，m(1，0，0)，n(1，1，1)(1)因為 aa1a1b1，aa1a1c1，且 a1b1a1c1a1，所以 aa1平面 a1b1c1.因為mn(0，1，1)，aa1(2，0，0)，所以mnaa10，即 mnaa1.因為 mn平面 a1b1c1，故 mn平面 a1b1c1.(2)設平面 mbc1與平面 bb1c1c 的法向量分別為 n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)因為mb(1，2，0)，mc1(1，0，2)，所以n1mb0，n1mc10 x12y10，x12z10，令 x12，則

7、n1(2，1，1)同理可得 n2(0，1，1)因為 n1n22011(1)10，所以平面 mbc1平面 bb1c1c.10.如圖，在底面是矩形的四棱錐 pabcd 中，pa底面 abcd，e，f 分別是 pc，pd的中點，paab1，bc2.求證：(1)ef平面 pab；(2)平面 pad平面 pdc.證明：以 a 為原點，ab 所在直線為 x 軸，ad 所在直線為 y 軸，ap 所在直線為 z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 axyz，則 a(0，0，0)，b(1，0，0)，c(1，2，0)，d(0，2，0)，p(0，0，1)，所以 e12，1，12 ，f0，1，12 ，ef12，0，0，

8、pb(1，0，1)，pd(0，2，1)，ap(0，0，1)，ad(0，2，0)，dc(1，0，0)，ab(1，0，0)(1)因為ef12ab，所以efab，即 efab.又 ab平面 pab，ef/ 平面 pab，所以 ef平面 pab.(2)因為apdc(0，0，1)(1，0，0)0，所以apdc，addc，即 apdc，addc.又 apada，所以 dc平面 pad.所以平面 pad平面 pdc.綜合題組練1已知空間任意一點 o 和不共線的三點 a，b，c，若opxoayobzoc(x，y，zr)，則“x2，y3，z2”是“p，a，b，c 四點共面”的()a必要不充分條件b充分不必要條件

9、c充要條件d既不充分也不必要條件解析：選 b當 x2，y3，z2 時，即op2oa3ob2oc.則apao2oa3(abao)2(acao)，即ap3ab2ac，根據共面向量定理知，p，a，b，c 四點共面；反之，當 p，a，b，c 四點共面時，根據共面向量定理，設apmabnac(m，nr)，即opoam(oboa)n(ocoa)， 即op(1mn)oamobnoc， 即 x1mn，ym，zn，這組數顯然不止 2，3，2.故“x2，y3，z2”是“p，a，b，c 四點共面”的充分不必要條件2.如圖，正方形 abcd 與矩形 acef 所在平面互相垂直，ab 2，af1，m 在 ef 上，且

10、am平面 bde，則 m 點的坐標為()a(1，1，1)b23，23，1c22，22，1d24，24，1解析：選 c設 m 點的坐標為(x，y，1)，因為 acbdo，所以 o22，22，0，又e(0，0，1)，a( 2，2，0)，所以oe22，22，1，am(x 2，y 2，1)，因為 am平面 bde，所以oeam，所以x 222，y 222，x22，y22，所以 m 點的坐標為22，22，1.3 在正三棱柱 abca1b1c1中， 側棱長為 2， 底面邊長為 1， m 為 bc 的中點， c1nnc，且 ab1mn，則的值為_解析：如圖所示，取 b1c1的中點 p，連接 mp，以mc，

11、ma，mp的方向為 x，y，z 軸正方向建立空間直角坐標系，因為底面邊長為 1， 側棱長為 2， 則 a0，32，0， b1(12， 0， 2)， c12，0，0， c112，0，2，m(0，0，0)，設 n12，0，t，因為c1nnc，所以 n12，0，21 ，所以ab112，32，2，mn12，0，21 .又因為 ab1mn，所以ab1mn0.所以14410，所以15.答案：154.如圖，四面體 abcd 中，e，f 分別為 ab，dc 上的點，且 aebe，cf2df，設daa，dbb，dcc.(1)以a，b，c為基底表示fe，則fe_；(2)若adbbdcadc60，且|da|4，|d

12、b|3，|dc|3，則|fe|_解析：(1)如圖所示，連接 de.因為fefdde，fddf13dc，de12(dadb)，所以fe13c12a12b.(2)|fe|212a12b13c214a214b219c212ab13ac13bc144214321932124312134312133312274.所以|fe|3 32.答案：13c12a12b3 325在四棱錐 pabcd 中，pd底面 abcd，底面 abcd 為正方形，pddc，e，f分別是 ab，pb 的中點(1)求證：efcd；(2)在平面 pad 內是否存在一點 g，使 gf平面 pcb？若存在，求出點 g 坐標；若不存在，試說

13、明理由解： (1)證明：由題意知，da，dc，dp 兩兩垂直如圖，以 da，dc，dp 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標系，設 ada，則 d(0，0，0)，a(a，0，0)，b(a，a，0)，c(0，a，0)，ea，a2，0，p(0，0，a)，fa2，a2，a2 .efa2，0，a2 ，dc(0，a，0)因為efdc0，所以efdc，從而得 efcd.(2)存在理由如下：假設存在滿足條件的點 g，設 g(x，0，z)，則fgxa2，a2，za2 ，若使 gf平面 pcb，則由fgcbxa2，a2，za2 (a，0，0)axa2 0，得 xa2；由fgcpxa2，a2，z

14、a2 (0，a，a)a22aza2 0，得 z0.所以 g 點坐標為a2，0，0，故存在滿足條件的點 g，且點 g 為 ad 的中點6如圖，棱柱 abcda1b1c1d1的所有棱長都等于 2，abc 和a1ac 均為 60，平面aa1c1c平面 abcd.(1)求證：bdaa1；(2)在直線 cc1上是否存在點 p，使 bp平面 da1c1，若存在，求出點 p 的位置，若不存在，請說明理由解：(1)證明：設 bd 與 ac 交于點 o，則 bdac，連接 a1o，在aa1o 中，aa12，ao1，a1ao60，所以 a1o2aa21ao22aa1aocos 603，所以 ao2a1o2aa21，所以 a1oao.由于平面 aa1c1c平面 abcd， 且平面 aa1c1c平面 abcdac， a1o平面 aa1c1c，所以 a1o平面 abcd.以 ob，oc，oa1所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則 a(0，1，0)，b( 3，0，0)，c(0，1，0)，d( 3，0，0)，a1(0，0， 3)，c1(0，2， 3)由于bd(2 3，0，0)，aa1(0，1， 3)，aa1bd0(2 3)10 300，所以bdaa1，即 bdaa1.(2)存在理由如下：假設在