1、摘要組群機(jī)器人系統(tǒng)的隊(duì)形控制是一個(gè)具有廣闊應(yīng)用前景和富有挑戰(zhàn)性的研究方向，作為一個(gè)具有廣闊應(yīng)用前景和富有挑戰(zhàn)性的研究方向，目前受到普遍重視。然而目前雖然有很多的隊(duì)形控制方法，但卻沒有通用且特有效的方法，針對(duì)這一問題，人們提出了許多的解決方法，其中基于人工力矩的隊(duì)形控制方法，作為一種最近提出的隊(duì)形控制方法，不但通用性強(qiáng)，控制靈活，而且具有穩(wěn)定性。本文的主要工作有：1） 定義 了感 覺障 礙 區(qū)間 、 無偏 障礙點(diǎn) 等 新概念 和一種 新的 人 工力矩 排斥矩，得到了求無偏障礙點(diǎn)感覺排斥線段方向角的定理和方法。2） 給出 了一 種新 的 系統(tǒng) 模 型 人才 市 場式組群機(jī)器人系統(tǒng) 模型，用來動(dòng)態(tài)確

2、定元素間leader, follower關(guān)系。3）將人工力矩法做了有效改進(jìn)，給出了改進(jìn)后各機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)模型。4）設(shè)計(jì)了一個(gè)多機(jī)器人系統(tǒng)的仿真平臺(tái)，并應(yīng)用該平臺(tái)對(duì)改進(jìn)后的人工力矩法作了仿真。理論和仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后的人工力矩法，控制更靈活，系統(tǒng)更穩(wěn)定，機(jī)器人的避障與容錯(cuò)能力也得到了顯著提高。關(guān)鍵詞： 群體機(jī)器人; 社會(huì)勢場 ; 形成控制 ;人工力矩法; 對(duì)行為的控制improvement of the artificial moment method for multi-robot formation control abstract for swarm-robot formation con

3、trol, a useful and challengeable subject, has attracted many attentions. many methods, such as the artificial moments method, have developed to solve the problem. although the artificial moments method is a general, flexible and stable method. the main contributions of this paper are the following：1

4、) many new conceptions such as sensing-obstacle region, non-deflection point, are defined. a new type of artificial moment: repulsion moment is given. theorems for calculating the direction angle of sensing repulsion segments are concluded. 2) a novel model: talent-market multi-robot model is given,

5、 which can determine leader-follower relations between elements of the system. 3) the articial moments method is improved, and motion controllers for robots are designed. 4） a simulation platform for multi-robot systems is designed, on which a simulation for the improved artificial moment method is

6、carried out.the theory and simulation results show that the improved artificial moment method is more flexible and stable. the ability of robots obstacle-avoidence is also enhanced. key words:robotics, formation control, artificial moments method, generalized quadratic, obstacle avoidence 目錄摘要abstra

7、ct 第 1 章緒論1 1.1 選題意義1 1.2 現(xiàn)有組群隊(duì)形控制方法簡介3 1.3 本章 小 結(jié)5 第 2 章基于人工力矩的多機(jī)器人隊(duì)形控制6 2.1 人工力矩法6 2.2 系統(tǒng)模型與相關(guān)定8 2.3 可行變化方向的計(jì)算 14 2.4 仿真 .17 2.5 本章 小 結(jié)22 第 3 章人工力矩法的改進(jìn)與應(yīng)用 23 3.1 感覺障礙區(qū)間、排斥矩及相關(guān)概念23 3.2 無偏障礙點(diǎn)感覺排斥線段方向角的計(jì)算26 3.3 人才市場式多機(jī)器人系統(tǒng)模型31 3.4 人工力矩法的改進(jìn) 36 結(jié)論與展望 41 致謝 42 參考文獻(xiàn) 43 附錄 a 外文原文45 附錄 b 中文翻譯46 第 1 章緒論1.1選

8、 題 意 義機(jī)器人作為人類20 世紀(jì)最偉大的發(fā)明之一，在短短的40 年內(nèi)發(fā)生了日新月異的變化。發(fā)展機(jī)器人技術(shù)已成為高技術(shù)領(lǐng)域中具有代表性的戰(zhàn)略目標(biāo)之一。機(jī)器人技術(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展，不但使傳統(tǒng)的工業(yè)生產(chǎn)面貌發(fā)生了根本性變化，而且將對(duì)人類社會(huì)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。隨著社會(huì)生產(chǎn)技術(shù)的飛速發(fā)展，機(jī)器人的應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)展。從自動(dòng)化生產(chǎn)線到海洋資源的探索，乃至太空作業(yè)等領(lǐng)域，機(jī)器人可謂是無處不在。就目前的機(jī)器人技術(shù)水平而言，單機(jī)器人在信息的獲取、處理及控制能力等方面都是有限的。對(duì)于復(fù)雜的工作任務(wù)及多變的工作環(huán)境，單機(jī)器人的能力尤顯不足。于是人們考慮由多個(gè)機(jī)器人組成的群體系統(tǒng)通過協(xié)調(diào)、協(xié)作來完成單機(jī)器人無法或難以完成

9、的工作。所謂隊(duì)形控制就是指多個(gè)移動(dòng)機(jī)器人在前進(jìn)的過程中, 保持某種隊(duì)形, 同時(shí)又要適應(yīng)環(huán)境( 例如障礙物) 約束的控制技術(shù)。群體機(jī)器人系統(tǒng)比單機(jī)器人系統(tǒng)具有更強(qiáng)的優(yōu)越性。體現(xiàn)在：能力倍增、提高效率、節(jié)約成本、操作簡便等等。本文基于穩(wěn)定性這一系統(tǒng)目標(biāo)，研究了組群機(jī)器人隊(duì)形控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。本文之所以選擇這一課題是因?yàn)閺?fù)雜組群機(jī)器人系統(tǒng)的隊(duì)形控制，是二十世紀(jì)九十年代以來一個(gè)備受重視的研究方向，是因?yàn)榻M群機(jī)器人之間形成并保持一定的隊(duì)形具有很多的優(yōu)點(diǎn)，如：1）能充分獲取當(dāng)前的環(huán)境信息，對(duì)于實(shí)現(xiàn)偵查、搜尋、排雷、安全巡邏等有利；2）在對(duì)抗性環(huán)境中能增強(qiáng)組群機(jī)器人系統(tǒng)抵抗外界進(jìn)攻的能力；3）在一些具體任務(wù)中

10、，形成并保持一定隊(duì)形可使組群機(jī)器人系統(tǒng)更加有效地完成任務(wù)，縮短任務(wù)的執(zhí)行時(shí)間，提高系統(tǒng)的效率；穩(wěn)定性是該類系統(tǒng)設(shè)計(jì)的首要目標(biāo)。研究基于穩(wěn)定性的條件下，該類系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及分析技術(shù)，不但對(duì)一般復(fù)雜系統(tǒng)的設(shè)計(jì)有借鑒作用，還對(duì)飛行器或衛(wèi)星等的編隊(duì)有指導(dǎo)意義，因?yàn)轱w行器或衛(wèi)星也可以看作機(jī)器人。所以研究該類系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、分析技術(shù)，本身是非常有意義的。而穩(wěn)定性，則是該類系統(tǒng)設(shè)計(jì)必須首先達(dá)到的目標(biāo)。然而現(xiàn)在雖然有很多的隊(duì)形控制方法，但卻沒有一般且特有效的方法，一些方法甚至不能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，從而使得靈活的隊(duì)形控制難以實(shí)現(xiàn)，所以基于穩(wěn)定性這一系統(tǒng)目標(biāo)，本文對(duì)該課題也進(jìn)行了比較深入的研究，其核心工作是以穩(wěn)定性作為系

11、統(tǒng)設(shè)計(jì)的首要目標(biāo)，首先提出了一種新的隊(duì)形控制方法人工力矩法，據(jù)該方法而設(shè)計(jì)了一個(gè)離散的非線性的隊(duì)形控制系統(tǒng)。然后基于liapunov穩(wěn)定性的一般理論，通過變換，把原系統(tǒng)分解成三個(gè)子系統(tǒng)，通過構(gòu)造出各子系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)而證明了原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后定義了距離最優(yōu)對(duì)應(yīng)，給出了一種求距離最優(yōu)對(duì)應(yīng)的有效方法淘汰法，并據(jù)距離最優(yōu)對(duì)應(yīng)和淘汰法而給出了組群機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型，從而增加了隊(duì)形控制的靈活性和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文的成果在一定程度上將有利于非線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性理論、組群機(jī)器人隊(duì)形控制理論及相關(guān)理論的發(fā)展。1.2 現(xiàn)有組群隊(duì)形控制方法簡介自從20 世紀(jì)60 年代初，第一臺(tái)工業(yè)機(jī)器人發(fā)明以來，機(jī)器人的

12、發(fā)展已經(jīng)經(jīng)歷了近半個(gè)世紀(jì)，機(jī)器人技術(shù)也得到了巨大的發(fā)展。隨著人類對(duì)機(jī)器人要求的不斷提高，機(jī)器人生產(chǎn)線的出現(xiàn)和柔性制造系統(tǒng)的應(yīng)用，人們已經(jīng)不再局限于單個(gè)機(jī)器人，而對(duì)由多個(gè)機(jī)器人組成的系統(tǒng)越來越感興趣。而隊(duì)形 控 制 問 題 作 為組 群多 機(jī)器 人 系 統(tǒng)典 型性 和代 表性 的研 究問 題之 一和一 個(gè)具有廣闊應(yīng)用前景和富有挑戰(zhàn)性的研究方向，自二十世紀(jì)九十年代以來受到了眾多研究者的關(guān)注和重視，產(chǎn)生了多種控制方法，這些方法基本上可以劃分成如下幾類：1） leader-follower方法該方法的基本思想是將隊(duì)形控制問題轉(zhuǎn)化為follower跟蹤 leader 的位置和方向問題，優(yōu)點(diǎn)是隊(duì)形的運(yùn)動(dòng)完

13、全由leader 的軌跡確定，控制簡單，缺點(diǎn)是 leader 不容易得到follower的跟蹤誤差反饋，同時(shí)一個(gè)leader 的錯(cuò)誤，則可能導(dǎo)致整個(gè)任務(wù)失敗。2）基于行為的隊(duì)形控制方法該方法的基本思想是機(jī)器人的控制器是由一系列行為組成，每個(gè)行為有自己的目標(biāo)或任務(wù)，其輸入可以是機(jī)器人的傳感信息，也可以是系統(tǒng)中其他行為的輸出；其輸出或送到機(jī)器人的效應(yīng)器以控制機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)或作為其他行為的輸入，從而構(gòu)成了互相交互的行為網(wǎng)絡(luò)。該方法的優(yōu)點(diǎn)是并行性、分布性和實(shí)時(shí)性好；缺點(diǎn)是難以明確設(shè)計(jì)出能合成指定隊(duì)形的局部基本行為和局部控制規(guī)則，隊(duì)形控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性也得不到保證。3） virtual structure

14、法該方法的基本思想是將機(jī)器人團(tuán)隊(duì)的隊(duì)形看作是一個(gè)剛體的虛擬結(jié)構(gòu)，每個(gè)機(jī)器人是虛擬結(jié)構(gòu)上相對(duì)位置固定的一點(diǎn)。當(dāng)隊(duì)形移動(dòng)時(shí)，機(jī)器人跟蹤對(duì)應(yīng)剛體固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)即可。該方法的優(yōu)點(diǎn)是可以容易指定機(jī)器人群體的行為，并可以進(jìn)行隊(duì)形反饋，取得較高精度的軌跡跟蹤效果；缺點(diǎn)是當(dāng)前采用集中式控制，要求隊(duì)形按一個(gè)虛擬結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，缺乏靈活性和適應(yīng)性。4）基于圖論的隊(duì)形控制方法該方法的基本思想是首先利用圖上的節(jié)點(diǎn)表示機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)或動(dòng)力學(xué)特性，節(jié)點(diǎn)之間的邊表示機(jī)器人相互之間的約束；然后再利用圖論和控制理論知識(shí)對(duì)以圖形表示的隊(duì)形進(jìn)行穩(wěn)定性分析，進(jìn)而得到控制策略。該方法的優(yōu)點(diǎn)是利用圖能表示任意隊(duì)形，且有圖論成熟的形式化理論作為基

15、礎(chǔ)；缺點(diǎn)是主要限于仿真研究，實(shí)現(xiàn)比較困難。5）人工勢場法該方法的基本思想是借鑒物理學(xué)方面的概念，環(huán)境中的障礙物對(duì)機(jī)器人產(chǎn)生排斥力，目標(biāo)點(diǎn)對(duì)機(jī)器人產(chǎn)生吸引力，在合力的作用下，機(jī)器人沿最小化勢能的方向運(yùn)動(dòng)。該方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡單，便于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制；缺點(diǎn)是勢場函數(shù)的設(shè)計(jì)比較困難等。另外，還有其他一些類型的方法，如基于隊(duì)形向量的控制方法等，同時(shí)在機(jī)器人的隊(duì)形控制過程中，各種方法也往往是綜合運(yùn)用，限于篇幅，本文不再詳細(xì)介紹。1.3 本章小結(jié)本章主要是 為了講解選 題的意 義和 現(xiàn)有組群隊(duì) 形控制方法 簡介 ， 現(xiàn) 有 群組隊(duì)形的 控制方法主要 有 5 中 ，分 別為leader-follower方 法；

16、基于行 為的隊(duì)形控 制方法； virtual structure 法； 基于 圖論 的隊(duì)形控制 方法；人工 勢場法。第 2 章基于人工力矩的多機(jī)器人隊(duì)形控制2.1 人工力矩法設(shè)計(jì)一個(gè)隊(duì)形控制系統(tǒng)，穩(wěn)定性是系統(tǒng)設(shè)計(jì)必須首先要達(dá)到的目標(biāo)（以能否形成目標(biāo)隊(duì)形作為系統(tǒng)的穩(wěn)定性標(biāo)志）。又根據(jù)吸引線段式主- 從隊(duì)形圖和定義1.4 知：只有當(dāng)r中所有普通機(jī)器人所受的合力矩都達(dá)到最大值時(shí)，所有機(jī)器人的基本運(yùn)動(dòng)方向線的方向才都相同，各普通機(jī)器人才都恰位于其leader線段的終點(diǎn)上，機(jī)器人群r才具有指定隊(duì)形的吸引線段式主- 從隊(duì)形圖，即具有目標(biāo)隊(duì)形，所以為了保證整個(gè)隊(duì)形控制系統(tǒng)能穩(wěn)定地形成目標(biāo)隊(duì)形，各普通機(jī)器人，

17、須要沿著能使自身所受合力矩增大的位置和方向變化。這就是人工力矩法控制機(jī)器人隊(duì)形的基本原理。進(jìn)一步介紹該方法以前，在本章中先作如下三個(gè)假設(shè)。假設(shè) 1 r中每個(gè)普通機(jī)器人都有全方位感應(yīng)器，能感知它的leader和follower當(dāng)前時(shí)刻的位置，其中虛擬機(jī)器人也可被它的follower感知到；假設(shè)2 r中每個(gè)普通機(jī)器人都有基本的通信功能，由此能得到自己的leader(follower)線 段 的 長度 及 對(duì) 應(yīng) 的吸 引 角 ， 當(dāng) 前 時(shí) 刻自 己leader和follower們的基本運(yùn)動(dòng)方向線的方向和領(lǐng)隊(duì)r0運(yùn)動(dòng)步幅等信息，另外還有必需的數(shù)據(jù)處理和驅(qū)動(dòng)等功能；假設(shè) 3 環(huán)境為理想環(huán)境，即不存在

18、各種靜態(tài)、動(dòng)態(tài)障礙物；機(jī)器人在一個(gè)時(shí)間段( tk, tk+1 內(nèi)的變化是理想變化，即不會(huì)出現(xiàn)超出它的能力的變化要求，也不會(huì)在變化中與其他機(jī)器人碰撞。根據(jù)上述有關(guān)定義和假設(shè)，則人工力矩法可詳述如下。假設(shè)目標(biāo)隊(duì)形已 預(yù) 先 給定， 并 得到了 目 標(biāo) 隊(duì) 形的一 個(gè)吸引線段式主 - 從隊(duì)形圖。設(shè)time= tk| k=0，1， 為離散時(shí)間點(diǎn)集，則在一個(gè)時(shí)間段 ( tk ，tk+1 內(nèi)，任意機(jī)器人的基本運(yùn)動(dòng)方向線的方向都不改變，位置沿著一條直線勻速變化。在時(shí)刻tk向時(shí)間段 ( tk ，tk+1 過渡的瞬間，各機(jī)器人的基本運(yùn)動(dòng)方向線的方向和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)才可能變化。由于領(lǐng)隊(duì)r0的任務(wù)是引導(dǎo)普通機(jī)器人群的運(yùn)動(dòng)

19、，所以 r0在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)總沿著需要的方向、以需要的步幅運(yùn)動(dòng)，而不受其他機(jī)器人的影響。設(shè) s 0 表示 r0的基本運(yùn)動(dòng)步幅，0( k) 、s0( k) 為 r0的 pmdline 的方向角和基本運(yùn)動(dòng)步幅的變化量（由高層控制器決定），則r0運(yùn)動(dòng)控制器的數(shù)學(xué)模型為)1(sin)()()1()1(cos)()() 1()()(dgl)1(00000000000kksskykykksskxkxkkk（2.10 ）定義 2 （可行變化方向）設(shè) rj為任意普通機(jī)器人，它的leader為 ri，m （ m 0）個(gè) follower分別為1hr，2hr，mhr，同時(shí)假設(shè)p( k+1)=p( k) ，xpj(

20、k+1)= xpj( k) ， ypj( k+1)= ypj( k)( p=i ， h1， hm) ，)()()1()()()1()()(dgl)1(kykykykxkxkxkkkjjjjjjjjj（2.11 ）如果對(duì)任意小的正數(shù)0， 按 （2.11 ） 式求得 (j( k+1) ， xj( k+1) ， yj( k+1)t和按（ 2.9 ）式求得pj( k+1) 、 pj( k) 后，有pj( k+1) pj(k) ，則稱 (j( k) ，xj( k) ，yj( k)t為 rj的可行變化方向，為步長因子。根據(jù)人工力矩法的基本原理，普通機(jī)器人，為了保證整個(gè)隊(duì)形控制系統(tǒng)的 穩(wěn) 定 性 ， 首 先

21、應(yīng) 沿著 它的 可 行 變化 方向 變化 位置 和基 本運(yùn) 動(dòng)方 向線的 方向，以使自身所受的合力矩能不斷增大。在沿著可行變化方向運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，它還應(yīng)努力與系統(tǒng)保持速度匹配，所以對(duì)任意普通機(jī)器人rj，其運(yùn)動(dòng)控制器的數(shù)學(xué)模型為)()1(sin)()()1()()1(cos)()() 1()()(dgl)1(00kykksskykykxkksskxkxkkkjjjjjjjjjjj， （j =1, , n） （ 2.12 ）其中 (j( k) ，xj( k) ，yj( k)t、分別為rj的可行變化方向及步長因子。注 1.7 各個(gè)機(jī)器人在各自的隊(duì)形控制器的作用下，都完成了一個(gè)時(shí)間段的變化，則稱隊(duì)形行進(jìn)了

22、一步。重復(fù)上述過程，直到任務(wù)結(jié)束。2.2 系統(tǒng)模型與相關(guān)定義為了能方便地描 述 吸 引線段 式 主- 從隊(duì)形 圖，下面首先給出一 條有向線到另一條有向線的角的定義。定義 2.1一條有向線（射線、有向線段）繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與另一條 有 向 線 的 方 向相 同時(shí) 所轉(zhuǎn) 的 絕 對(duì)值 最小 的有 向角 稱為 該有 向線 到另一 條有向線的角；一條有向線到全局坐標(biāo)系x 軸的正半軸的角稱為該有向線的方向角。注 2.1規(guī)定一條有向線到另一條有向線的角，如果是沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)成的則為正角，沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)成的則為負(fù)角。注 2.2 設(shè)ij表示有向線li到 lj的角，則規(guī)定 -ij。設(shè)i為有向線li的方向角

23、，j為有向線lj的方向角，函數(shù)dgl( x)=時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)|)(sign2|xxxxx (2.1) 則據(jù)定義2.1 有ij=dgl(i-j) (2.2) 定義 2.2設(shè)在一個(gè)2 維平面中，有一個(gè)虛擬機(jī)器人r0（可用機(jī)器人群圍捕的敵人、引導(dǎo)機(jī)器人群運(yùn)動(dòng)的光點(diǎn)等移動(dòng)物體、機(jī)器人群形成隊(duì)形的目標(biāo) 地 點(diǎn) 或 指 定 的 運(yùn) 動(dòng) 路 線等 擔(dān) 當(dāng) ， 具 體 由 外 界 控 制 者 指 定 ） 和n 個(gè) 節(jié) 點(diǎn)r1/， rn/。集合r/= r0，r1/， rn/ ， r/ 中任意元素rp/用其位置所在點(diǎn)來表示，并仍記為rp/； r/和其中元素rp/ 有如下特征：1） r0在 r/ 中沒有l(wèi)eader ，其

24、他元素在r/ 中都有且只有一個(gè)leader ，它則為leader的 follower；整個(gè)集合r/，如果依照leader 、follower 關(guān)系對(duì)其中元素進(jìn)行劃分，則是一棵以r0為根的樹 ; 2） rp/有且只 有一條以 它所在位 置 為端點(diǎn) 的射線，稱為基本 運(yùn)動(dòng)方向線( 簡稱為pmdline) ，記為op/；3）如果 rp/有一個(gè)follower（leader） ，則對(duì)應(yīng)它的follower(leader)，rp/有一條以它所在位置為起點(diǎn)，具有給定長度且到op/的角（此角稱為吸引角）也為給定值的有向線段，稱為主（從）吸引線段。 如果 rp/有 m個(gè) follower，則對(duì)應(yīng)每個(gè)follo

25、wer，它都有一條主吸引線段，所以共有m條主吸引線段。設(shè)r/中所有元素的主吸引線段組成的集合為ls，則ls中任意兩條線段，如果不考慮它們的端點(diǎn)（起點(diǎn)與終點(diǎn)），則沒有公共點(diǎn)。設(shè)ri/是rj/ 的 leader ，aij/是ri/ 對(duì)應(yīng)rj/ 的主吸引線段，則稱aij/是rj/的 leader線段；同時(shí)設(shè)ij是 aij/的吸引角，線段bji/是 rj/ 對(duì)應(yīng) ri / 的從吸引線段，ji是 bji/的吸引角，則 |aij/ |=| bji/ | ，|ij-ji|=4）在任意時(shí)刻，r/ 中所有元素的pmdline 的方向都相同；除r0外，所有元素都恰位于其leader線段的終點(diǎn)上。那么 r/ 中的所

26、有元素在該平面內(nèi)形成的圖即為一個(gè)吸引線段式主- 從隊(duì)形圖 ( 簡稱為alfgraph) 。如在圖1 中，集合 r/= r0r1/, r2/, r3/, r4/ 中的元素形成的alfgraph如圖2.1 （a1）所示；其中節(jié)點(diǎn)r2/的完整模型如圖2.1 （a2）所示，它的pmdline 為 o2/，從吸引線段為b21/，其終點(diǎn)為b21/；它有兩條主吸引線段，分別為 a23/、a24/，對(duì)應(yīng)的吸引角分別是23、24，終點(diǎn)分別是a23/、a24/。（ a1） alfgraph （a2）r2/的模型圖圖 1 alfgraph 圖及其中節(jié)點(diǎn)r2/的模型根據(jù)定義2.2 ，則本章的組群機(jī)器人系統(tǒng)模型可描述如

27、下：設(shè)在該平面中，除了集合r/ 外，還有一個(gè)集合r= r0，r1， rn ，其中 r1， rn都為普通機(jī)器人，r0即為r/中虛擬機(jī)器人，并稱為領(lǐng)隊(duì)；r 中元素都用一個(gè)圓來表示，圓心為該元素的位置；r 中元素除都有且只有一條pmdline 外（可在普通機(jī)器人上，裝一根指針類的物體，以指示該機(jī)器人的pmdline 的方向，通常情況下，r0的 pmdline 的方向?yàn)槠溥\(yùn)動(dòng)方向），還有如下特征：1） 、r 中每個(gè)元素在r/中都有一個(gè)節(jié)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，且是一一對(duì)應(yīng)（ r0看作與自身對(duì)應(yīng)）；2） 、設(shè) ri與 ri / 對(duì)應(yīng)，那么r i不但有與ri /相同數(shù)目的主（從）吸引線段，且ri與 ri /的主（從）

28、吸引線段一一對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)主（從）吸引線段的長度、吸引角分別相等；3） 、同時(shí)設(shè)rj與 rj /對(duì)應(yīng)、 ri/的 follower是 rj/，則 ri的 follower是 rj,ri是rj的 leader ；再設(shè)rj/的 leader線段為aij /，aij 是ri所有且與aij / 對(duì)應(yīng)的主吸引線段，則 aij是 ri對(duì)應(yīng) rj的主吸引線段，同時(shí)稱aij為 rj的 leader線段，rj的對(duì)應(yīng)ri的從吸引線段bji稱為ri的 follower線段。注 2.3 因?yàn)轭I(lǐng)隊(duì)的作用特殊，其微小的擾動(dòng)可能引起隊(duì)形較大的擾動(dòng)，所以在吸引線段 式主 - 從隊(duì)形 圖 中，領(lǐng) 隊(duì)是由行 為不受擾動(dòng)影 響的虛擬機(jī)

29、器人擔(dān)當(dāng)。注 2.4 一個(gè)吸引線段式主- 從隊(duì)形圖唯一地確定了一個(gè)機(jī)器人隊(duì)形，而任意一個(gè)機(jī)器人隊(duì)形都可用一個(gè)吸引線段式主- 從隊(duì)形圖來表示，但不唯一，選擇時(shí)以方便實(shí)際應(yīng)用為標(biāo)準(zhǔn)。定義 2.3 設(shè)機(jī)器人rj與節(jié)點(diǎn)rj /對(duì)應(yīng)，則rj /稱為 rj的隊(duì)形位置。根據(jù)定義和吸引線段式主- 從隊(duì)形圖的定義知：雖然一個(gè)吸引線段式主-從隊(duì)形圖的位置 和方 向隨 著 r0的位 置及其 基本運(yùn)動(dòng)方向線的 方向的變化而變化，但其基本形狀卻是固定不變的，由r0和各個(gè)節(jié)點(diǎn)的模型及它們之間的leader 、follower關(guān)系唯一確定，所以它不但能表示隊(duì)形運(yùn)動(dòng)方向不變的隊(duì)形，而且能表示隊(duì)形運(yùn)動(dòng)方向隨時(shí)間變化的隊(duì)形。另外

30、為了方便，在此對(duì)后文中的有關(guān)符號(hào)作如下規(guī)定：ri是 r 中元素，rj是 r中普通機(jī)器人， 如果 ri是 rj的 leader(follower)， 則 ri對(duì)應(yīng) rj的主 ( 從 )吸引線段的終點(diǎn)為aij（bij） ，在全局坐標(biāo)系中，( xij( k), yij( k) 表示點(diǎn)aij（bij）在 tk時(shí)刻的實(shí)際位置坐標(biāo)，i( k) 、( xi( k), yi( k) 、 （xi( k) ，yi( k) ）分別表示ri在 tk時(shí)刻 pmdline 的方向角、實(shí)際位置和隊(duì)形位置的坐標(biāo)。定義2.4 （主吸引矩、從吸引矩）設(shè)1、2、3、 、 d 都為正常數(shù)，且12都遠(yuǎn)小于2，32，、1，函數(shù) agl(

31、x)=xd2（ 2.4 ） apow(x)=時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)2|22|)cos(|22)cos(112211xxxxxx（ 2.5 ）bpow( x)=時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)且當(dāng)時(shí)當(dāng)|)(|)2(|)(|2|)(|2(2|)(|)(cos(|2333222222xsignxxsignxxsignxxsignxxxsignxx（ 2.6 ）則 1 ）設(shè) ri是 rj的 leader ，apij( k)=apowji(k)+apowagl(xj( k)- xij( k)+apowagl(yj( k)- yij( k) (2.7) 則 apij( k) 稱為 tk時(shí)刻 ri對(duì) rj的主吸引矩。2）設(shè) rh是 rj的

32、 follower，bphj( k)=bpowjh(k)+bpowagl(xj( k)- xhj( k)+bpowagl(yj( k)- yhj( k) (2.8) 則 bphj( k) 稱為 tk時(shí)刻 rh對(duì) rj的從吸引矩。注 2.5 函數(shù) y1= apow( x) 、y2= bpow( x) 的圖象如圖2.2 所示。圖 2 函數(shù) y1=apow( x) 、 y2= bpow( x) 的圖象主吸引矩和從吸 引矩都 為 人工力 矩 。設(shè)rj為任 意普通機(jī)器人，則 它在tk時(shí)刻受到的主吸引矩和所有從吸引矩的和為rj在 tk時(shí)刻受到的合力矩，記作 pj( k) 。設(shè) rj的 leader為 ri

33、，m （ m 0）個(gè) follower分別為1hr，2hr，mhr，則據(jù)（ 1.7 ） 、 （1.8 ）式得 pj(k)= apij (k)+)(1kpbjshms（2.9 ）規(guī)定當(dāng)m =0 時(shí)，)(1kpbjshms=0，即當(dāng)m =0 時(shí)， pj( k)= apij ( k) 。2.3 可行變化方向的計(jì)算據(jù)（ 1.12 ）式知，運(yùn)用人工力矩法控制機(jī)器人隊(duì)形，需要確定各普通機(jī)器人的可行變化方向。根據(jù)文6 定義1.4知， rj可找到很多的可行變化方向， 但如 果 要 使機(jī) 器人 群 能 以盡可 能快 的 速 度形 成需 要 的隊(duì) 形 ， 則 需對(duì)rj的可行變化方向進(jìn)行優(yōu)化，以使pj( k+1)-

34、 pj( k) 的值盡可能大。設(shè) f ( x, y, z ) 是以 x、 y、 z 為自變量的函數(shù)，根據(jù)梯度的性質(zhì)知：f ( x, y,z) 沿 著 關(guān) 于 自 變 量x 、 y 、 z的 梯 度 方 向 變 化 ， 則 可 在 變 化 量222)()()(zyx相同 的情 況 下 ， f ( x+ x, y+ y, z + z)- f ( x, y, z ) 的值最大。對(duì)于rj可行變化方向的優(yōu)化，自然也可利用梯度的這一性質(zhì)，但問題是函數(shù)pj( k) 應(yīng)該把什么作為它的自變量？如果以j( k) 、xj( k) 、 yj( k) 作為 pj( k) 的自變量， 則可在變化量222)()()(ky

35、kxkjjj相同的情況下， pj( k+1)- pj( k) 的值最大。但這樣有一個(gè)顯然的問題，即j( k) 是無量綱的，而 xj( k) 、 yj( k) 是有量綱的。 設(shè)1j( k)=0.1 ，1xj( k)=0.1米，1yj( k)=0.2米; 2j( k)=0.1 ，2xj( k)=10 厘米，2yj( k)=20 厘米，顯然兩次的變化量相同，212121)()()(kykxkjjj222222)()()(kykxkjjj；如果設(shè)xj( k)=aglxj( k) ，yj( k)=aglyj( k) ，把j( tk) 、xj( k) 、yj( k) 作為pj( k) 的自變量，則不會(huì)出現(xiàn)

36、這類問題，所以本章把pj( k) 看成是關(guān)于自變量j( k) 、 xj( k) 、yj( k) 的函數(shù)。設(shè)y 表示 y 的梯度，則據(jù)（ 2.9 ）式得：pj( k)=apij( k)+)(1kpbjshms (2.13) 設(shè)函數(shù) ader(x)= 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)2|)sign(2|)(sin|111xxxxxx，（2.14 ）bder( x)=其他情況時(shí)當(dāng)時(shí)且當(dāng)0|)sign(|2)sign(2|)sign(|)sign(sin(32222xxxxxxxx (2.15) 則得apij( k)=)()(aderagl()()()()(aderagl()()()()(aderdgl()()(kyky

37、kykapkxkxkxkapkkkkapijjjijijjjijijjij (2.16) jshbp( k)=)()(bderagl()()()()(bderagl()()()()(bderdgl()()(kykykykbpkxkxkxkbpkkkkbpjshjjjshjshjjjshshjjjsh, （s=1, , m ） (2.17) 據(jù)（ 1.13 ） 、 （1.16 ） 、 （1.17 ）式得pj( k) 關(guān)于變量j(k) 、xj( k) 、yj( k)的梯度方向?yàn)閜j( k)=)()()()()()(kykpkxkpkkpjjjjjj=)()(agl(bder)()(aderagl(

38、)()(agl(bder)()(aderagl()()(dgl()()(aderdgl(111kykykykykxkxkxkxkkbderkkjshjmsijjjshjmsijjshjmsij (2.18) 根據(jù)定義2.4的假設(shè)，令rj在時(shí)間段 ( tk, tk+1 內(nèi)沿著方向pj( k) 變化，則得)()1()()1()()1(kykykxkxkkjjjjjj=)()(agl(bder)()(aderagl()()(agl(bder)()(aderagl()()(bderdgl()()(aderdgl(111kykykykykxkxkxkxkkkkjshjmsijjjshjmsijjshjm

39、sij其中為步長因子。整理后得)()1()()1()()1(kykykxkxkkjjjjjj=)()(agl(bder)()(aderagl(2)()(agl(bder)()(aderagl(2)()(bderdgl()()(aderdgl(111kykykykydkxkxkxkxdkkkkjshjmsijjjshjmsijjshjmsij即優(yōu)化后普通機(jī)器人rj的可行變化方向?yàn)?()()(kykxkjjj=)()(agl(bder)()(aderagl(2)()(agl(bder)()(aderagl(2)()(bderdgl()()(aderdgl(111kykykykydkxkxkxkxd

40、kkkkjshjmsijjjshjmsijjshjmsij (2.19) 得到 可 行變化 方 向后 ，進(jìn) 一步 需要 確 定步 長因 子， 對(duì)此通 常 采用 直接給定的方法確定，但給定的須滿足(1+ m ) 1 （2.20 ）其中 m為 follower數(shù)最多的一個(gè)機(jī)器人的follower數(shù)。2.4 仿真為檢驗(yàn)人工力矩法的效果，我們運(yùn)用matlab仿真形成了人字形隊(duì)形和實(shí)現(xiàn)了長方形隊(duì)形順時(shí)針轉(zhuǎn)/2，其運(yùn)動(dòng)軌跡和結(jié)果分別如圖2.4-2.6 所示。圖 2.4 是人字形隊(duì)形形成過程圖，其目標(biāo)隊(duì)形的吸引線段式主-從隊(duì)形圖如圖2.3 所示，其中a01=1，01= ；a12=2，12=17/18；a23

41、=2，23=5 /6；a25=2，25= - 5 /6；a34=3，34=3/4；a56=3，56= -3/4。參數(shù) d=1.2 ， =0.2 ，=0.3，1= /90，2= /90，3=3.23 ， s =0.25 ，0(k)=s0(k) 0。各機(jī)器人的初始位置和基本運(yùn)動(dòng)方向線的方向都如圖所示，其中小的圓點(diǎn)表示各機(jī)器人的初始位置，帶箭頭的射線表示各機(jī)器人的基本運(yùn)動(dòng)方向線。圖 3 目 標(biāo)“人”字 形 隊(duì)形的alfgraph （ a1）運(yùn)動(dòng)4 步 后的隊(duì)形狀 態(tài)（ a2）運(yùn) 動(dòng) 10 步后 的隊(duì)形狀態(tài)（ a3） 運(yùn)動(dòng)15 步 后的隊(duì) 形狀 態(tài)（ a4） 運(yùn)動(dòng)28 步 后的 隊(duì)形狀 態(tài)圖 4 人

42、字形隊(duì)形形 成 過程圖圖 2.5、圖 2.6 是行距為3，列距為2 的長方形隊(duì)形順時(shí)針轉(zhuǎn)/2 的過程圖， r0的基本運(yùn)動(dòng)方向線的方向角每步轉(zhuǎn)/90，變化45 步后不再變化。兩次參數(shù)值相同的參數(shù)有d=1.2 ， =0.19 ，1= /90，2= /60，3=3.22 ，s =0.22 ，s0(k)0。不同的是在圖2.5 中，參數(shù)=0，即各機(jī)器人只受主吸引矩的作用；而在圖2.6 中，參數(shù)=0.3，即各機(jī)器人不但要受主吸引矩的作用，還要受從吸引矩的作用（如果一個(gè)普通機(jī)器人有follower ） 。各 機(jī) 器 人 的 初 始 位 置 和 基 本 運(yùn)動(dòng) 方向 線的 方向 是一 個(gè)排 列 好 的 長 方

43、形隊(duì)形。（ b1 ） 運(yùn)動(dòng)30 步 后的 隊(duì)形狀態(tài)（ b2） 運(yùn)動(dòng)50 步后 的隊(duì) 形狀 態(tài)（ b3） 運(yùn)動(dòng)60 步 后的 隊(duì)形狀態(tài)（ b4） 運(yùn)動(dòng)80 步 后的 隊(duì)形狀 態(tài)圖 5 長方 形隊(duì) 形順 時(shí)針 轉(zhuǎn)/2 的過程圖 (=0)（ c1） 運(yùn)動(dòng)30 步 后的隊(duì)形狀 態(tài)（ c2）運(yùn)動(dòng)50 步后的隊(duì)形狀態(tài)（ c3 ）運(yùn)動(dòng)60 步后 的隊(duì)形狀態(tài)（ c4）運(yùn)動(dòng)80 步后的隊(duì)形狀態(tài)圖 6 長方 形隊(duì) 形順 時(shí)針 轉(zhuǎn)/2 的過程圖 (=0.3) 從圖 2.4 到圖2.6 可以看出，運(yùn)用人工力矩法，可精確地得到任意的機(jī)器人隊(duì)形；同時(shí)從圖2.5 和圖 2.6 可以看出，加上從吸引矩后，各普通機(jī)器人在跟隨其

44、leader 運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，還能照顧其follower ，從而能在一定程度上防止一個(gè)機(jī)器人與其follower靠得太近或離得太遠(yuǎn)，有利于保持隊(duì)形的整體和諧。2.5 本章小 結(jié)本章對(duì)基于人工力矩控制機(jī)器人隊(duì)形的方法作了比較詳細(xì)的介紹。首先介紹了機(jī)器人的基本運(yùn)動(dòng)方向線等概念，根據(jù)這些概念，得到了一種新的隊(duì)形表示模型：吸 引線 段式主 - 從 隊(duì)形圖 ，同時(shí)還 定義了兩種人 工力矩：主吸引矩和從吸引矩，其中主吸引矩用來表示leader對(duì) follower的作用大小，而從吸引矩則用來表示follower對(duì) leader的作用大小。 以上述概念為基礎(chǔ)，本章介紹了一種新的多機(jī)器人隊(duì)形控制方法：人工力矩法，及

45、據(jù)人工力矩法而設(shè)計(jì)的離散的非線性的隊(duì)形控制系統(tǒng)。為了加快收斂速度，又對(duì)隊(duì)形控制器系統(tǒng)中普通機(jī)器人的可行變化方向進(jìn)行了優(yōu)化。然后通過變換，把原隊(duì)形控制系統(tǒng)分解成三個(gè)子系統(tǒng)，通過分別構(gòu)造各個(gè)子系統(tǒng)的liapunov函數(shù)，并利用離散系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性定理，證明了優(yōu)化可行變化方向后的隊(duì)形控制系統(tǒng)具有穩(wěn)定性。第 3 章人工力矩法的改進(jìn)與應(yīng)用3.1 感覺障礙區(qū)間、排斥矩及相關(guān)概念為敘述方便，先將后文中的有關(guān)符號(hào)規(guī)定如下：1） ab表示以點(diǎn)a 為起點(diǎn)，點(diǎn)b 為終點(diǎn)的有向線段；2）1、2、3（123）分別表示機(jī)器人的位置安全距離（rj到一物體的距離如果小于1，則rj會(huì)感到安全受到威脅）、方向安全距離（如果

46、rj到一物體的距離小于2且不是背著該物體運(yùn)動(dòng)，則即使到該物體的距離大于1，rj也會(huì)感到安全受到威脅）、識(shí)別距離（如果一物體到rj的距離大于3，則不能被rj發(fā)現(xiàn)）。定義 3.1 設(shè) m為障礙物邊緣曲線上的一個(gè)點(diǎn)（后文同），如果m到 rj的距離小于1（2）且與rj的連線段不經(jīng)過任何物體內(nèi)部，則m為rj的位置（方向）障礙點(diǎn)；設(shè)以m為起點(diǎn)，過rj且長度等于1（2）的有向線段的終點(diǎn)為e，則稱以rj為起點(diǎn)，以e 為終點(diǎn)的有向線段為m的位置（方向）排斥線段， e 為吸引點(diǎn)。如在圖1 中，點(diǎn) d 既是 rj的位置障礙點(diǎn)，又是rj的方向障礙點(diǎn)，它的位置排斥線段為1erj，對(duì)應(yīng)的吸引點(diǎn)為e1，方向排斥線段是2er

47、j，對(duì)應(yīng)的吸引點(diǎn)是e2；點(diǎn)b1是 rj的方向障礙點(diǎn)，但不是位置障礙點(diǎn)；而點(diǎn)a，雖然到rj的距離小于2，但它與rj的連線段經(jīng)過障礙物的內(nèi)部，所以不是rj的方向障礙點(diǎn)。圖 1 障礙點(diǎn)、感覺障礙點(diǎn)和感覺障礙區(qū)間注 3.1 1 ）位置障礙點(diǎn)和方向障礙點(diǎn)統(tǒng)稱為障礙點(diǎn)；2）如果一個(gè)點(diǎn)是位置障礙點(diǎn)，則一定是方向障礙點(diǎn)，但反過來不成立。定義 3.2 設(shè) b1，b2 是障礙物邊緣曲線上的一個(gè)閉區(qū)間，如果該區(qū)間滿足下述條件，則 b1，b2 為 rj的障礙區(qū)間。1） b1、b2是 rj的方向障礙點(diǎn)；2） b1，b2 內(nèi)的其他點(diǎn)，如果與rj的連線段不經(jīng)過障礙物的內(nèi)部，則是rj的方向障礙點(diǎn)，且其中至少有一點(diǎn)是rj的位置

48、障礙點(diǎn)；3）對(duì)任意的區(qū)間 c1， c2 b1，b2 ， c1， c2 內(nèi)的點(diǎn)不同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件。如在圖2.1 中，區(qū)間 b1，b2 是 rj的障礙區(qū)間，而區(qū)間 b1，m 、 b1，a不是 rj的障礙區(qū)間。注 3.2為方便，后文總假設(shè) b1，b2 是 rj的感覺障礙區(qū)間。定義3.3 設(shè) d 為 b1， b2 內(nèi)的方向障礙點(diǎn)，將 b1， b2 內(nèi)所有方向障礙點(diǎn)的方向排斥線段，按照向量求和的法則相加，如果和向量的方向與d的方向排斥線段的方向相同，則d的方向排斥線段為 b1， b2 的方向線段。結(jié)論3.1 設(shè) d 的方向排斥線段所在的直線為l1，直線l2與 l1交于 rj且 l2 l1，則 d 的

49、方向排斥線段是 b1， b2 方向線段的充要條件是 b1， b2內(nèi)所有方向障礙點(diǎn)的方向排斥線段沿l2方向的分量的和為零（如在圖1 中，點(diǎn) d的感覺排斥線段2re 沿 l2方向的分量為/2re） 。定義 3.4設(shè) p1、p2為 b1，b2 邊緣曲線c 上距 rj最近的點(diǎn)，他們的位置排斥線段的長度為pd， b1，p1） 、 （p2，b2 內(nèi)的點(diǎn)到rj的距離都大于pd, ，則稱以rj為起點(diǎn)，方向與 p1，p2 的方向線段的方向相同，長度等于（1- pd）的有向線段為 b1， b2 的位置線段。結(jié)論 3.2如果區(qū)間 p1， p2 退化成一個(gè)點(diǎn)p， 則 p的位置排斥線段為 b1，b2 的位置線段； 如果

50、曲線c關(guān)于 b1， b2 的位置線段所在的直線對(duì)稱，則 b1，b2 的方向線段與位置線段的方向相同。定義 3.5設(shè)表示 b1，b2 ，j( k) 、xj ( k) 、yj ( k) 分別為rj在 tk時(shí)刻基本運(yùn)動(dòng)方向線的方向角及所在位置的橫、縱坐標(biāo)；m j ( k) 為 tk時(shí)刻的無偏障礙點(diǎn)的感覺排斥線段的方向角；xn j ( k) 、yn j ( k) 為 tk時(shí)刻中距rj最近點(diǎn)n的排斥線段的吸引點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)；d、都為正常數(shù)，函數(shù) agl(x)=xd（ 3.1 ）rp j ( k) = -2(dgl(j( k)j( k)2+(agl(xj( k)- xnjk)2+(agl(yj( k)-

51、ynj(k)2（ 3.2 ）則稱 rp j ( k) 為 tk時(shí)刻感覺障礙區(qū)間對(duì) rj的排斥矩。根據(jù)排斥矩的定義，結(jié)合第 2 章定義的主吸引矩、從吸引矩，則知道在rj的活動(dòng)空間里，共存在三種人工力矩。rj在 tk時(shí)刻受到的主吸引矩、所有從吸引矩、所有排斥矩的和為rj在 tk時(shí)刻受到的合力矩，記作pj( k) 。設(shè) rj的 leader為 ri，m （ m 0）個(gè) follower分別為1hr、2hr、mhr，l ( l 0）個(gè)感覺障礙區(qū)間分別為1、2、l ，tk時(shí)刻 ri對(duì) rj的主吸引矩為 apij( k) ， rh對(duì) rj的從吸引矩為bphj( k) ，則 pj( k)= apij ( k

52、)+)(1kpbjshms+)(1kprjsls（ 3.3 ）3.2 無偏障礙點(diǎn)感覺排斥線段方向角的計(jì)算定理3.1 設(shè) b1，b2 邊緣曲線c上的每一點(diǎn)都是rj的感覺障礙點(diǎn)，d是 c上任意一點(diǎn)，d到 rj的距離為r ，d的感覺排斥線段的方向角為，點(diǎn) m為 b1，b2 無偏障礙點(diǎn)，m的感覺排斥線段的方向角設(shè)為m j，則cjmdsr)sin()(2=0 (3.4) 證明如圖 1， 設(shè) c上任意點(diǎn)d的感覺排斥線段為2re ， 作 re通過點(diǎn)d 且|re|=2，則 |2re |= |（ re- rd） | 根據(jù)結(jié)論2.1 ，如果規(guī)定l2向右的方向?yàn)檎较颍ㄒ?guī)定左方向?yàn)檎较蚩梢缘玫筋愃平Y(jié)果），則2re

53、 沿 l2方向的分量/2re= |2re |sin(m j -)=|(re- rd)| sin(m j -) =(2- r )sin(m -)= -(2- r)sin(-m j) 用分點(diǎn)b1=d0d1 dn=b2將曲線c分成 n 等分， 每段的長度設(shè)為，i、ri分別為分點(diǎn)di的感覺排斥線段的方向角及到rj的距離， e2i是 di的感覺排斥線段的吸引點(diǎn)。則 b1，b2 內(nèi)所有點(diǎn)的感覺排斥線段沿l2方向的分量的和為limn|02niiresin(mj -i)=limnnijmiir02)sin()(，因?yàn)辄c(diǎn)m為 b1， b2 的無偏障礙點(diǎn)，所以根據(jù)結(jié)論3.1 得：limn|02niiresin(m

54、j -i) =limnnijmiir02)sin()(=0 limnnijmiir12)sin()(=0limnnijmiir12)sin()(=0 cjmdsr)sin()(2=0，所以命題成立，證畢。根據(jù)定理3.1 ，得到以下推論：推論 3.1設(shè) c1、 cm是 c 上 m段互不相交的曲線段且它們上面的每一點(diǎn)都是rj的感覺障礙點(diǎn)，除c1、 cm外， c上其他點(diǎn)都不是rj的感覺障礙點(diǎn)，則)sin()(12micjmidsr=0 （3.5 ）定理 3.2設(shè) b1，b2 的邊緣曲線c上的每一點(diǎn)都是rj的感覺障礙點(diǎn)，c的方程為 f ( x, y) =0 （3.6 ）b1、b2的感覺排斥線段的方向角

55、分別為1、2；c上任意點(diǎn)d的感覺排斥線段的方向角為，到 rj的距離為r ，且當(dāng)d 沿著曲線c 由 b1運(yùn)動(dòng)到b2時(shí)，是由1連續(xù)運(yùn)動(dòng)到2；m為 b1，b2 的無偏障礙點(diǎn)，它的感覺排斥線段的方向角為mj；設(shè)（ x，y）為點(diǎn)d的坐標(biāo)，ddyyddxx，則1）當(dāng)21222)cos()(dyxr=0 時(shí)，mj = （/2 ） ；2）當(dāng)21222)cos()(dyxr0 時(shí)mj =arctan(2121222222)cos()()sin()(dyxrdyxr) 或mj=arctan(2121222222)cos()()sin()(dyxrdyxr)。證明設(shè) r j的坐標(biāo)為（x0，y0） ，據(jù)題設(shè)有)sin

56、()sin()cos()cos(0000ryryyrxrxx（3.7 ）將（ 3.7 ）代入（ 3.6 ）得f(x0 - rcos(), y0-rsin()=0 (3.8) 據(jù)（ 3.8 ）可求得r 為關(guān)于的函數(shù)，不失一般，設(shè)r =g() ；將 r =g()代入（ 7）得x、 y 也是關(guān)于的函數(shù)，所以將曲線積分轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元函數(shù)積分得cjmdsr)sin()(2=21222)sin()(dyxrjm（ 3.9 ）因?yàn)?m為 b1， b2 的無偏障礙點(diǎn)，所以據(jù)定理3.1 21222)sin()(dyxrjm=0cos(mj)21222)sin()(dyxr-sin(mj)21222)cos()

57、(dyxr=0 21212121210)cos()(0)sin()()cos(0)cos()()cos()()sin()()tan(222222222222222時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)dyxrdyxrdyxrdyxrdyxrjmjm(3.10) 據(jù)（ 3.10 ）和有向線段方向角的定義求得mj 即得結(jié)論，所以命題成立，證畢。據(jù)定理3.2 ，得推論3.2 。推論 3.2如果當(dāng)d沿著曲線c 由點(diǎn) b1運(yùn)動(dòng)到b2，不是由1連續(xù)運(yùn)動(dòng)到2，而其他條件都滿足定理2 的要求，設(shè)函數(shù)dgl( x)=時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)|)(sign2|xxxxx（3.11 ）3=1+dgl(2-1) (3.12) 則 1）當(dāng)31222)cos()(d

58、yxr=0 時(shí)，m j =/2 ；2）當(dāng)31222)cos()(dyxr0 時(shí)m j =arctan(3131222222)cos()()sin()(dyxrdyxr) 或m j =arctan(3131222222)cos()()sin()(dyxrdyxr)根據(jù)定理3.2 ，得到求m j近似值的數(shù)值計(jì)算方法如下：一 、 用 分 點(diǎn)1=01n=2將 區(qū)間 1，2 分 成n 等分 ； 設(shè) 函 數(shù)h()=(2 r )sin()22yx， g()=(2 r )cos()22yx， 函數(shù) h() 、g() 在點(diǎn)i（0i n）的值分別記為hi、gi。二、對(duì)給定的i（ i =0，1， n）1） 據(jù) （

59、3.8 ） 式 可 求 得ri， 同 時(shí) 利 用 隱 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 方 法 求 得iiddrr；2）據(jù)（ 3.7 ）式有iiiiiiiiiiiirrddyyrrddxx)sin()cos()cos()sin(（3.13 ）將 ri和ir 代入（ 3.13 ）即得ix 、iy 。3）將i、ri、ix 、iy 代入相應(yīng)的函數(shù)求出hi、gi。三、運(yùn)用求定積分近似值的梯度法12，得1) 2122)sin()(dyxrn)(12( h0+hn)/2+11niih ；2）2122)cos()(dyxrn)(12( g0+gn)/2+11niig ；四、據(jù)定理3.2 得：1）如果 ( g0+gn)/2

60、+11niig =0，則m j = （/2 ） ；2）如果 ( g0+gn)/2+11niig0，則m j =arctan(1101102/ )(2/)(niinniinggghhh) 或m j =arctan(1101102/ )(2/)(niinniinggghhh)。注 2.3 1)感覺障礙點(diǎn)的感覺排斥線段的方向角等于以該點(diǎn)為起點(diǎn)，以rj為終點(diǎn)的有向線 段的方 向角； 2） 實(shí)際問 題中，為簡化計(jì)算，可用分段的直線段來代替曲線段c 。3.3 人才市場式多機(jī)器人系統(tǒng)模型介紹人才市場式多機(jī)器人系統(tǒng)模型以前，先做如下假設(shè)：假設(shè)1 r 中機(jī)器人都有基本的通信功能，由此能得到吸引線段式主 -從隊(duì)形