1、精選優質文檔-傾情為你奉上高考數學（文）沖刺專題復習之平面向量一、知識點梳理（一）平面向量的概念及線性運算1向量的有關概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于1個單位的向量 (與共線的單位向量是) (4)平行向量（又叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規定零向量和任何向量平行（共線）。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！（因為有)

2、；三點共線共線；(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量，相等向量有傳遞性(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量2向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則 平行四邊形法則 (1) 交換律：abba. (2)結合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差三角形法則aba(b)（1）定義：加法：（1）向量加法的三角形法則：；其要求是：（）前一向量的終點與后一向量的起點的重合，（）由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點。（2）向量加法的平行四邊形法則：其要求是：（）把兩個向量的起點平移到同一點，再以這兩個已知向量為鄰邊作平行

3、四邊形，（）向量的和為這兩鄰邊所夾的對角線。 （3）由有向線段首尾順次相接所圍成的封閉圖形結果為。即：（）（三角形三邊的向量和） （）。一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量減法：，其要求是：（1）兩個向量的起點為同一點，（2）由后一個向量的終點指一向前向量(2)坐標運算：若a=（）,b=（）則ab=（）（3）幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則 以向量=、=為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量=+,=,=且有+3.向量的數乘運算及其幾何意義(1)定義：實數與向量a的積是一個向量，這種運算叫向量的數乘，記作a，它的長度與方向規定如下：|a|a

4、|； 當0時，a與a的方向相同；當0時，a與a的方向相反；當0時，a0.(2)運算律：設，是兩個實數，則 (a)()a；()aaa； (ab)ab.(3)若=（），則·=（）4共線向量定理(1) 向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數，使得b=(2) 若=（）,b=（）則b注意：(1)向量共線的充要條件中要注意“a0”，否則可能不存在，也可能有無數個(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合 （二） 平面向量的基本定理及其坐標

5、表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數1，2，使a1e12e2，其中不共線的向量e1，e2叫表示這一平面內所有向量的一組基底2平面向量坐標運算(1)向量加法、減法、數乘向量及向量的模設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標表示設a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，當且僅當x1

6、y2x2y10時，向量a，b共線注意：（1）向量坐標與點的坐標的區別：在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與a的坐標統一為(x，y)，但應注意其表示形式的區別，如點A(x，y)，向量a(x，y)當平面向量平行移動到時，向量不變，即(x，y)，但的起點O1和終點A1的坐標都發生了變化（2）誤區1)要區分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標中既有方向也有大小的信息2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2x2y10.（三）平面向量的數量

7、積1兩個向量的夾角已知兩個非零向量a和b(如圖)，作a，b，則AOB(0°180°)叫做向量a與b的夾角，當0°時，a與b同向；當180°時，a與b反向；如果a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作ab. 2兩個向量的數量積的定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則數量|a|b|cos 叫做a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b|a|b|cos ，其中bcos稱為向量b在方向上的投影。規定零向量與任一向量的數量積為0，即0·a0.3向量數量積的幾何意義數量積a·b等于a的長度|a|與b在a

8、的方向上的投影|b|cos 的數量積4向量數量積的性質設a、b都是非零向量，e是單位向量，為a與b(或e)的夾角則(1)e·aa·e|a|cos ； (2) b·b=0（，b為非零向量）；(3)當a與b同向時，a·b|a|·|b|，特別的，a·a|a|2或者=；當a與b反向時，a·b|a|b|；當為銳角時，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件（因a和b的夾角可能為0°）；當為鈍角時，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件（因a和b的夾角可能為180°）； (4)cos ；得 (5)|a·b|a

9、|b|.5向量數量積的運算律(1)a·bb·a； (2)a·b(a·b)a·(b)； (3)(ab)·ca·cb·c.提醒：（1）向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結合律，即，為什么？6平面向量數量積的坐標運算設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a與b的夾角為，則(1)a·bx1x2y1y2； (

10、2)|a|； (3)cosa，b； (4)aba·b0x1x2y1y20.7若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，則|a|(平面內兩點間的距離公式)注意：(1)若a，b，c是實數，則abacbc(a0)；但對于向量就沒有這樣的性質，即若向量a，b，c若滿足a·ba·c(a0)，則不一定有bc，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量(2)數量積運算不適合結合律，即(a·b)ca(b·c)，這是由于(a·b)c表示一個與c共線的向量，a(b·c)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(a·

11、b)c與a(b·c)不一定相等(3)向量夾角的概念要領會，比如正三角形ABC中，與的夾角應為120°，而不是60°.（三）平面向量的應用 1向量在平面幾何中的應用平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題(1)證明線段平行或點共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)證明垂直問題，常用數量積的運算性質：aba·b0x1x2y1y20.(3)求夾角問題，利用夾角公式 cos (為a與b的夾角)2平面向量在物理中的應用(1)由于物理學中的力、

12、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決(2)物理學中的功是一個標量，這是力F與位移s的數量積即WF·s|F|s|cos (為F與s的夾角)一個手段實現平面向量與三角函數、平面向量與解析幾何之間的轉化的主要手段是向量的坐標運算兩條主線(1)向量兼具代數的抽象與嚴謹和幾何的直觀與形象，向量本身是一個數形結合的產物，在利用向量解決問題時，要注意數與形的結合、代數與幾何的結合、形象思維與邏輯思維的結合(2)要注意變換思維方式，能從不同角度看問題，要善于應用向量的有關性質解題 6.主要思想與方法：本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，

13、用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數、數列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。歸納總結：1、平面向量的坐標運算若a=（x1,y1），b=（x2,y2）則a+b=（x1+ x2, y1+y2），a-b=（x1-x2, y1-y2），若=（x,y），R，則=（x, y）， 坐標向量的大小|=x2+y2兩向量平行（共線）的充要條件：若=（x1,y1），=（x2,y2），0若A（x1,y1），B（x2,y2），則=（x2-x1,

14、 y2-y1）距離公式：|=（x1-x2）2+(y2-y1)2若=(x1,y1),=(x2,y2),則=（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2。向量垂直的充要條件：設=(x1,y1),=(x2,y2)，則.特別地向量夾角公式的坐標表示：兩個向量=(x1,y1),=(x2,y2)，、的夾角為，則cos= 2、向量中一些常用的結論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2），特別地：當同向或有；當反向或有；當不共線(這些和實數比較類似).（3）在中：若，則其重心的坐標為；為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；的內心；（3

15、）若P分有向線段所成的比為，點為平面內的任一點，則，特別地為的中點；（4）向量中三終點共線存在實數使得且. 二、考點、題型及方法考點1 平面向量的線性運算與坐標運算（模長、平行、垂直、夾角、投影等問題）1、（上海）已知向量，若，則等于( ) （A）. （B）. （C）. （D）解析：由題意得2-（-3）3=0，所以=。2、（湖南卷文）在中，AB=3，AC=2，BC=，則 ( )A B C D【解析】由余弦定理得所以選.3、（浙江卷文）已知向量，若向量滿足，則 （ D ）A B C D 4、（江西卷文）已知向量， ，若 則= 答案： 【解析】因為所以.5、(江蘇)已知e1，e2是夾角為的兩個單位

16、向量，ae12e2，bke1e2，若a·b0，則實數k的值為_解析由題意知：a·b(e12e2)·(ke1e2)0，即kee1e22ke1e22e0，即kcos 2kcos20，化簡可求得k. 6、（浙江卷）已知，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是 （A）1 （B）2 （C） （D）解析：本小題主要考查向量的數量積及向量模的相關運算問題。展開則的最大值是;或者利用數形結合, ，對應的點A,B在圓上,對應的點C在圓上即可. 7、(廣東)若向量a，b，c滿足ab且ac，則c·(a2b)()A4 B3 C2 D0解析由ab及ac，得bc

17、，則c·(a2b)c·a2c·b0.故選D. 答案D8、（全國卷）已知向量，則（ ）A. B. C. D. 解：。故選C9、（遼寧卷）平面向量a與b的夾角為， 則 （A） (B) (C) 4 (D)12【解析】由已知|a|2,|a2b|2a24a·b4b244×2×1×cos60°412 選B10、(新課標全國)已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題：p1：|ab|1； p2：|ab|1； p3：|ab|1；p4：|ab|1.其中的真命題是()Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4解析由|

18、ab|1，得22cos 1，cos ，0.由|ab|1，得22cos 1，cos ，.p1，p4正確答案A11、(全國文)設向量a，b滿足|a|b|1，a·b，則|a2b|()A. B. C. D.解析依題意得(a2b)2a24b24a·b54×3，則|a2b|，故選B. 12、(湖北文)已知向量a(1,2)，b(1，1)，則2ab與ab的夾角等于()A B. C. D.解析2ab(3,3)，ab(0,3)，則cos2ab，ab，故夾角為，選C.13、（寧夏）若，且，則與的夾角是（ ）A B C DB14、若向量=，=，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍是_. 錯誤分

19、析：只由的夾角為鈍角得到而忽視了不是夾角為鈍角的充要條件,因為的夾角為時也有從而擴大的范圍,導致錯誤. 正確解法: ，的夾角為鈍角, 解得或 (1) 又由共線且反向可得 (2) 由(1),(2)得的范圍是答案: .訓練1 設平面向量=(2，1)，=(，1)，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）A、 B、C、 D、錯因：忽視使用時，其中包含了兩向量反向的情況，正解：A訓練2 已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）；15.（浙江卷文）已知是平面內的單位向量，若向量滿足，則的取值范圍是 16、17、(舍負). 18.（陜西卷文）關于平面向量有下列三個命題：若，則若，則非零向量和滿足

20、，則與的夾角為其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）解：，向量與垂直構成等邊三角形，與的夾角應為所以真命題只有。考點2 向量的數乘的幾何意義1.（江西卷文）如圖，正六邊形中，有下列四個命題：ABCD其中真命題的代號是 （寫出所有真命題的代號）【解析】, 對取的中點,則, 對設,則,而,錯又,對真命題的代號是2、（遼寧卷）已知O，A，B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足，則 ABCD解析：本小題主要考查平面向量的基本定理。依題答案：A3、在中，若點滿足，則=（ ）A. B. C. D. 【解法一】 4.(山東卷)設P是ABC所在平面內的一點，則（）A. B. C. D.【解析】:因為

21、，所以點P為線段AC的中點，所以應該選B。答案：B。【命題立意】:本題考查了向量的加法運算和平行四邊形法則，5、（湖北文）設，在上的投影為，在軸上的投影為2，且，則為（ ）ABCD訓練（1）已知，求在方向上的投影（2）已知，求在方向上的投影6、（安徽文）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，或=+，其中，R ，則+= _。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】設、則 , ,代入條件得【答案】4/3 7.（天津卷）如圖，在平行四邊形中，則 .解析：令，則所以.8、（安徽）在四面體中，為的中點，為的中點，則 （用表示） 9、（湖北）5已知和點M滿足.若存在實數m使得成立

22、，則m=A2 B3 C4 D510、（湖南）在中，=90°AC=4，則等于A、-16 B、-8 C、8 D、1611、（四川文）（6）設點是線段的中點，點在直線外， ，則（A）8 （B）4 （C）2 （D）1解析：由16，得|BC|44而故2答案：C12 若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為_（答：2）考點3 平面向量的綜合運用1、平面向量與線性規劃(福建卷)已知O是坐標原點，點A(1,1)若點M(x，y)為平面區域上的一個動點，則·的取值范圍是()A1,0 B0,1 C0,2 D1,22、平面向量與函數例題 (北京)若a，b是非零向量，且ab，|a|b|，則函數f(x)(xab)·(xba)是()A一次函數且是奇函數 B一次函數但不是奇函數 C二次函數且是偶函數 D二次函數但不是偶函數3、平面向量與三角函數例題1 (安徽卷)ABC的面積是30，內角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，cos A.(1)求·； (2)若cb1，求a的值 先求sin A，再利用面積公式求b