1、21 1 11 1半角模型例題已知，正方形 ABCD 中，EAF 兩邊分別交線段 BC、DC 于點 E、F，且EAF45° 結論 1：BEDFEF結論 2：S S SABE ADF AEF結論 3：AHAD結論 4：CEF 的周長2 倍的正方形邊長2AB結論 5：當 BEDF 時，CEF 的面積最小結論 6：BM2DN2MN2結論 7：三角形相似，可由三角形相似的傳遞性得到結論 8：EA、FA 是CEF 的外角平分線結論 9：四點共圓結論 10 ANE 和AMF 是等腰直角三角形（可通過共圓得到） 結論 11：MN EF（可由相似得到）2結論 12：SAEF2SAMN（可由相似的性質

2、得到）結論 5 的證明：設正方形 ABCD 的邊長為 1則 S 1S S SAEF 1 231 x y (1x)(1y) 2 2 2 xy2 2所以當 xy 時，AEF 的面積最小結論 6 的證明：將ADN 順時針旋轉 90°使 AD 與 AB 重合DNBN易證AMNAMNMNMN在 RtBMN中，由勾股定理可得： BM2BN2MN2即 BM2DN2MN2結論 7 的所有相似三角形：AMNDFN AMNBME AMNBAN AMNDMA AMNAFE結論 8 的證明：因為AMNAFE32因為AMNBAN3424因為 ABCD1412結論 9 的證明：因為EANEBN45°A

3、、B、E、N 四點共圓（輔圓定理：共邊同側等頂角）同理可證 C、E、N、F 四點共圓A、M、F、D 四點共圓C、E、M、F 四點共圓*必會結論- 圖形研究正方形半角模型已知：正方形 ABCD， E、 F分別在邊 BC、 CD上，且ÐEAF =45°， AE、 AF分別交 BD于 H、 G，連 EF.一、全等關系（1）求證： DF +BE =EF 二、相似關系；DG2BH2HG2； AE 平分 ÐBEF ， AF 平分 ÐDFE .（2）求證： CE = 2 DG ； CF = 2 BH ； EF = 2 HG.（3）求證： AB 2 =BG ×

4、DH； AG 2 =BG ×HG；BE DF 1× =CE CF 2.三、垂直關系（4）求證： AG EG； AH FH； tan ÐHCF =AABB.（5)、和差關系求證： BG -DG = 2 BE； AD +DF = 2 DH； | BE -DF |= 2 | BH -DG |.1例 1、在正方形 ABCD 中，已知MAN45°，若 M、N 分別在邊 CB、DC 的延長線上移動，1. 試探究線段 MN、BM 、DN 之間的數量關系.2. 求證：AB=AH.例 2、在四邊形 ABCD 中，B+D180°，AB=AD，若 E、F 分別 在邊

5、 BC、CD 上，且滿足 EF=BE +DF.求證：EAF BAD2例 3、在ABC 中，AB=AC，BAC=2DAE=120°，若 BD=5， CE=8，求 DE 的長。例 4、請閱讀下列材料：已知：如圖 1 在 RtDABC 中，ÐBAC =90°，AB =AC ，點 D 、E 分別為線段 BC 上兩動點，若 究線段BD 、 DE 、 EC 三條線段之間的數量關系ÐDAE =45°探小明的思路是：把DAEC繞點A順時針旋轉90°，得到DABE¢，連結E¢D，使問題得到解決請你參考小明的思路探究并解決下列問題：（

6、1）猜想 BD 、 DE 、 EC 三條線段之間存在的數量關系式，并對你的猜想給予證明；（2）當動點E 在線段 BC 上，動點D運動在線段 CB 延長線上時，如圖 2，其它條件不變，中探究的結論是否發生改變？請說明你的猜想并給予證明AAB D圖1ECD B E圖2C11例 5、探究：（1） 如圖 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分別是 BC、CD 上的點，且EAF45°，試判斷 BE、DF 與 EF 三條線段之間的數量關系，直接寫出判斷結果： ；（2） 如圖 2，若把(1)問中的條件變為“在四邊形 ABCD 中，ABAD，BD180°，E、F 分別是邊 BC、CD 上的

7、點，且EAF=12BAD”，則（1）問中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；（3）在（2）問中，若將AE F 繞點 A 逆時針旋轉，當點分別 E、F 運動到 BC、CD 延長線上時， 如圖 3 所示，其它條件不變，則（1）問中的結論是否發生變化？若變化，請給出結論并予以證明.練習鞏固 1：如圖，在四邊形 ABCD 中，BD90°，ABAD，若 E、F 分別 在邊 BC、CD 上的點，且EAF BAD .2求證：EF=BE +DF.練習鞏固 2：如圖，在五邊形 ABCDE 中，ABBCCDDEEA， CAD BAE，求BAE 的度數2練習鞏固 3：已知：正方形

8、 ABCD 中， ÐMAN =45o，繞點 A 順時針旋轉，它的兩邊分別交 CB、DC（或它們的延111長線）于點 M、N（1） 如圖 1，當 ÐMAN 繞點 A 旋轉到 BM =DN 時，有 BM +DN =MN 當 ÐMAN 繞點 A 旋轉到 BM ¹DN 時，如圖 2，請問圖 1 中的結論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請 說明理由；（2） 當 ÐMAN 繞點 A 旋轉到如圖 3 的位置時，線段 BM，DN 和 MN 之間有怎樣的等量關系？請寫 出你的猜想，并證明ADA DA DNNBMCBMCM BCN練習鞏固 4A(1)

9、如圖，在四邊形 ABCD 中，ABAD，BD90°，E、F 分別是D邊 BC、CD 上的點，且EAF BAD2求證： EF =BE +FD ;FB EC(2) 如圖在四邊形 ABCD 中，ABAD，BD180°，E、F 分別是邊 BC、CD 上的點，且EAF BAD，(1)中的結論是否仍然成立？不2用證明ADFBEC(3) 如圖，在四邊形 ABCD 中，ABAD，BADC180°，E、F 分F別是邊 BC、CD 延長線上的點，且EAF BAD，(1)中的結論是否仍2然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，AD并證明BCE（4）如圖，將邊長為 4

10、cm 的正方形紙片 ABCD 沿 EF 折疊（點 E、F 分別在邊 AB、CD 上），使點 B 落在 AD 邊上的點 M 處，點 C 落在點 N 處， MN 與 CD 交于點 P，連接 EP（1）如圖，若 M 為 AD 邊的中點，1 AEM 的周長 cm；2 求證：EPAEDP；（2）隨著落點 M 在 AD 邊上取遍所有的位置（點 M 不與 A、D 重合）， PDM 的周長是否發生變化？請說明理由（5）.如圖 17，正方形 ABCD，E、F 分別為 BC、CD 邊上一點（1） 若EAF45º求證：EFBEDF（2） 若AEF 繞 A 點旋轉，保持EAF45º，問CEF 的周

11、長是否隨 AEF 位置的變化而變化？（3） 已知正方形 ABCD 的邊長為 1，如果CEF 的周長為 2求EAF 的度數練習鞏固 5、D FA圖 17CEB如圖，已知在正方形 ABCD 中， ÐMAN 45°，連接 BD 與 AM，AN 分別交于 E、F 兩點。 求證：（1）MNMBDN；（2） 點 A 到 MN 的距離等于正方形的邊長；（2） V CMN 的周長等于正方形 ABCD 邊長的 2 倍；S 2AB（4） W ABCD = ；S MNV CMN（5） 若 ÐMAB 20°，求 ÐAMN ；（6） 若 ÐMAB = a(0p

12、 a p 45o)，求ÐAMN；（7） EF2= EB2+ DF2；（8） V AEN 與 V AFM 是等腰三角形； S 1（9） V AEF = 。S 2V AMN練習鞏固 6、在等邊 DABC 的兩邊 AB ， AC 所在直線上分別有兩點M ，N ，D 為 DABC 外一點，且ÐMDN =60°，ÐBDC =120°， BD =CD ，探究：當點M ，N分別愛直線 AB ，AC 上移動時，BM ，BN ，MN之間的數量關系及DAMN的周長Q與等邊DABC的周長L的關系NMA ANMNABCBCBCMD圖D圖D圖（1）如圖，當點M ，N在邊

13、AB ，AC上，且DM =DN時，BM ，NC ，MN之間的數量關系式_；此時QL=_（2）如圖，當點M ，N 在邊 AB ，AC 上，且 DM ¹DN 時，猜想(1)問的兩個結論還成立嗎？寫出你 的猜想并加以證明；（3）如圖，當點M ，N 分別在邊 AB ，CA 的延長線上時，若 AN =x ，則 Q =_(用x ，L表示)練習鞏固 7、如圖所示，ABC 是邊長為 1 的等邊三角形，BDC 是頂角為 120°的等腰三角形，以 D 為頂 點作一個 60°的MDN，點 M，N 分別在 AB，AC 上，求AMN 的周長練習鞏固 8、如圖，在正方形 ABCD 中，BE=3，EF5，DF4，求BAEDCF 為多少度。 鞏固練習 9、如圖 1，RtABCRtEDF，ACBF90°，AE30°。EDF 繞著邊 AB 的中點 D 旋轉，DE，DF 分別