1、2014年中考試題分類匯編銳角三角函數與特殊角一、選擇題1.（2014 年廣東汕尾，第7 題 4 分）在 rtabc 中， c=90 ，若 sina=，則 cosb的值是（）abcd分析：根據互余兩角的三角函數關系進行解答解： c=90 ， a+b=90 ， cosb=sina， sina=， cosb=故選 b點評：本題考查了互余兩角的三角函數關系，熟記關系式是解題的關鍵2.（2014?畢節地區，第15 題 3 分）如圖是以abc 的邊 ab 為直徑的半圓o，點 c 恰好在半圓上，過c 作 cd ab 交 ab 于 d已知 cosacd=，bc=4，則 ac 的長為（）a1bc3d考點 ：圓

2、周角定理；解直角三角形分析： x k b 1 . c o m由以 abc 的邊 ab 為直徑的半圓o，點 c 恰好在半圓上，過c作 cdab 交 ab 于 d易得 acd= b，又由 cosacd=，bc=4，即可求得答案解答：解： ab 為直徑， acb=90 ， acd+bcd=90 ，cd ab， bcd+b=90 ， b= acd，cos acd=，cos b=，tanb=，bc=4，tanb=，ac=故選 d來源 :z*xx*k.com 點評：此題考查了圓周角定理以及三角函數的性質此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用3(2014 年天津市，第2 題 3 分)cos60 的值等于（

3、）ab c d 考點：特殊角的三角函數值分析：根據特殊角的三角函數值解題即可解答：解： cos60 =故選 a點評：本題考查特殊角的三角函數值，準確掌握特殊角的函數值是解題關鍵4 （ 2014?四川自貢，第10 題 4 分）如圖，在半徑為1 的 o 中， aob=45 ，則 sinc 的值為（）a bcd考點 ：新_課_標第_一_網圓周角定理；勾股定理；銳角三角函數的定義專題 ： 壓 軸題分析：首 先過點 a 作 adob 于點 d，由在 rt aod 中， aob=45 ，可求得ad 與 od的長，繼而可得bd 的長，然后由勾股定理求得ab 的長，繼而可求得sinc 的值解答：解 ：過點 a

4、 作 adob 于點 d，在 rtaod 中， aob=45 ， od=ad=oa? cos45 = 1=，x kb 1 bd=ob od=1， ab=， ac 是 o 的直徑， abc=90 ，ac=2， sinc=故選 b點評：此 題考查了圓周角定理、三角函數以及勾股定理此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用5 （ 2014?浙江湖州，第6 題 3 分）如圖，已知rtabc 中， c=90 ，ac=4，tana=，則bc 的長是（）a2 b8c2d4分析：根據銳角三角函數定義得出tana=，代入求出即可解： tana=，ac=4， bc=2，故選 a點評：本題考查了銳角

5、三角函數定義的應用，注意：在rtacb 中，c=90 ， sina=， cosa=， tana=6 （ 2014浙江金華，第6 題 4 分）如圖，點a（ t，3）在第一象限，oa 與 x 軸所夾的銳角為3,tan2，則 t 的值是【】a1 b1.5 c2 d3 【答案】 c【解析】7. （2014?濱州，第 11 題 3 分）在 rtacb 中，c=90 ，ab=10， sina=，cosa=， tana=，則 bc 的長為（）a6b 新_課_標第_一_網7.5 c8d12.5 考點 ：解直角三角形分析：根據三角函數的定義來解決，由sina=，得到bc=解答：解： c=90 ab=10，sin

6、a=，bc=ab =10 =6故選 a點評：本題考查了解直角三角形和勾股定理的應用，注意： 在 rtacb中， c=90 ，則 sina=，cosa=， tana=8.（2014?揚州，第7 題， 3 分）如圖，已知aob=60 ，點 p 在邊 oa 上， op=12，點 m，n 在邊 ob 上， pm=pn，若 mn=2，則 om=（）a3b4c5d6（第 1 題圖）考點 ： 含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性質分析：過 p 作 pdob，交 ob 于點 d，在直角三角形pod 中，利用銳角三角函數定義求出 od 的長，再由pm=pn，利用三線合一得到d 為 mn 中點，根據mn 求

7、出 md 的長，由 odmd 即可求出om 的長解答：解 ：過 p 作 pdob，交 ob 于點 d，在 rtopd 中， cos60 =，op=12， od=6， pm=pn，pdmn，mn=2， md=nd=mn=1， om=odmd=61=5故選 c點評：此 題考查了含30 度直角三角形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握直角三角形的性質是解本題的關鍵二.填空題1. （ 2014?廣西賀州，第18 題 3 分）網格中的每個小正方形的邊長都是1， abc 每個頂點都在網格的交點處，則sina=考點：銳 角三角函數的定義；三角形的面積；勾股定理分析：根 據正弦是角的對邊比斜邊，可得答案解答：解

8、 ：如圖，作adbc 于 d，ceab 于 e，由勾股定理得ab=ac=2，bc=2， ad=3，由 bc?ad=ab?ce，即 ce=，sina=，故答案為：點評：本 題考查銳角三角函數的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊2. （ 2014?廣西玉林市、 防城港市， 第 16 題 3 分） 如圖，直線 mn 與 o 相切于點m， me=ef且 efmn，則 cose=考點：切 線的性質；等邊三角形的判定與性質；特殊角的三角函數值專題：計 算題分析：xkb1.c連結 om，om 的反向延長線交ef 與 c，由直線mn 與 o 相切于點 m，根

9、據切線的性質得ommf ，而 efmn，根據平行線的性質得到mcef，于是根據垂徑定om理有 ce=cf，再利用等腰三角形的判定得到me=mf ，易證得 mef 為等邊三角形，所以 e=60 ，然后根據特殊角的三角函數值求解解答：解 ：連結 om，om 的反向延長線交ef 與 c，如圖，直線 mn 與 o 相切于點m， om mf， efmn， mcef， ce=cf， me=mf，而 me=ef， me=ef=mf， mef 為等邊三角形， e=60 ， cose=cos60 =故答案為點評：本 題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑也考查了垂徑定理、等邊三角形的判定與性質和特殊角

10、的三角函數值3 （ 2014?溫州，第14 題 5 分）如圖，在abc 中， c=90 ，ac=2，bc=1，則 tana 的值是考點 ： 銳 角三角函數的定義分析：根據銳角三角函數的定義（tana=）求出即可解答：解： tana=，故答案為：點評：本 題考查了銳角三角函數定義的應用，注意：在rtacb 中， c=90 ，sina=，cosa=，tana=4. （2014?株洲，第 13 題，3 分）孔明同學在距某電視塔塔底水平距離500 米處，看塔頂的仰角為 20 （不考慮身高因素） ，則此塔高約為182米（結果保留整數，參考數據：sin20 0.3420，sin70 0.9397，tan2

11、0 0.3640，tan70 2.7475） （第 1 題圖）考點 ： 解 直角三角形的應用-仰角俯角問題分析：作 出圖形，可得ab=500 米， a=20 ，在 rtabc 中，利用三角函數即可求得bc的長度解答：解 ：在 rtabc 中，ab=500 米， bac=20 ，=tan20 ， bc=actan20 =5000.3640=182（米） 故答案為： 182點評：本 題考查了解直角三角形的應用，關鍵是根據仰角構造直角三角形，利用三角函數求解三.解答題1. （2014?湘潭，第 25 題）abc 為等邊三角形，邊長為a，dfab，efac，（1）求證： bdf cef；（2）若 a=

12、4，設 bf=m，四邊形 adfe 面積為 s，求出 s與 m 之間的函數關系，并探究當m為何值時s取最大值；（3）已知 a、 d、 f、e 四點共圓，已知tanedf =，求此圓直徑（第 1 題圖）考點 ： 相 似形綜合題；二次函數的最值；等邊三角形的性質；圓周角定理；解直角三角形分析：（ 1）只需找到兩組對應角相等即可（ 2）四邊形adfe 面積 s可以看成 adf 與 aef 的面積之和，借助三角函數用m 表示出 ad、df、ae、ef 的長，進而可以用含m 的代數式表示s，然后通過配方，轉化為二次函數的最值問題，就可以解決問題（ 3）易知 af 就是圓的直徑，利用圓周角定理將edf 轉

13、化為 eaf在 afc 中，知道 tan eaf、 c、ac，通過解直角三角形就可求出af 長解答：解 ： （1） df ab，efac， x k b 1 . c o m bdf=cef=90 abc 為等邊三角形， b=c=60 bdf=cef， b=c， bdf cef（ 2） bdf =90 ， b=60 ， sin60 =，cos60 = bf=m， df=m，bd= ab=4， ad=4 sadf=ad ? df= （4） m=m2+m同理： saef=ae?ef= （4） （4m）=m2+2 s=sadf+saef=m2+m+2=（m24m8）=（m2）2+3其中 0m4 0，02

14、4，當 m=2 時， s取最大值，最大值為3 s與 m 之間的函數關系為：s （m2）2+3（其中 0m4） 當 m=2 時， s取到最大值，最大值為3（ 3）如圖 2， a、d、f、e 四點共圓， edf=eaf adf=aef=90 ， af 是此圓的直徑 tanedf =， taneaf= c=60 ，=tan60 =設 ec=x，則 ef=x，ea=2x ac=a， 2x+x=a x= ef=，ae= aef=90 ， af=此圓直徑長為點評：本 題考查了相似三角形的判定、二次函數的最值、三角函數、解直角三角形、圓周角定理、等邊三角形的性質等知識，綜合性強利用圓周角定理將條件中的圓周角

15、轉化到合適的位置是解決最后一小題的關鍵2. （2014?益陽，第 18 題， 8 分） “ 中國益陽 ” 網上消息，益陽市為了改善市區交通狀況，計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋如圖，新大橋的兩端位于a、b 兩點，小張為了測量a、b 之間的河寬，在垂直于新大橋ab 的直線型道路l 上測得如下數據：bad =76.1 ， bca=68.2 ，cd=82 米求 ab 的長（精確到0.1 米） 參考數據：sin76.1 0.97，cos76.1 0.24，tan76.1 4.0；sin68.2 0.93，cos68.2 0.37，tan68.2 2.5（第 2 題圖）考點 ： 解 直角三角形

16、的應用分析：設 ad=x 米，則 ac=（ x+82）米在 rtabc 中，根據三角函數得到ab=2.5（x+82） ，在 rtabd 中，根據三角函數得到ab=4x， 依此得到關于x 的方程，進一步即可求解解答：解 ：設 ad=x 米，則 ac=（x+82）米在 rtabc 中， tanbca=， ab=ac?tanbca=2.5（ x+82） 在 rtabd 中， tan bda=， ab=ad?tanbda=4x 2.5（x+82）=4x，解得 x= ab=4x=4546.7 答： ab 的長約為546.7 米點評：此 題考查了解直角三角形的應用，主要是三角函數的基本概念及運算，關鍵是用

17、數學知識解決實際問題3.（2014?株洲，第17 題， 4 分）計算：+（ 3）0tan45 考點 ： 實 數的運算；零指數冪；特殊角的三角函數值分析：原 式第一項利用平方根定義化簡，第二項利用零指數冪法則計算，最后一項利用特殊角的三角函數值計算即可得到結果解答：解 ：原式 =4+11=4點評：此 題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵4.（2014 年江蘇南京，第23 題）如圖，梯子斜靠在與地面垂直（垂足為o）的墻上，當梯子位于 ab 位置時，它與地面所成的角abo=60 ；當梯子底端向右滑動1m（即 bd=1m）到達 cd 位置時，它與地面所成的角cdo=5118，求梯子的長（

18、參考數據： sin51180.780，cos51180.625，tan51181.248）（第 4 題圖）考點： 解直角三角形的應用分析： 設梯子的長為xm在 rtabo 中，根據三角函數得到ob，在 rtcdo 中，根據三角函數得到od，再根據bd=odob，得到關于x 的方程，解方程即可求解解答： 設梯子的長為xm在 rtabo 中， cosabo=， ob=ab?cosabo=x?cos60 =x在 rtcdo 中， cos cdo=， od=cd?coscdo=x?cos51180.625xbd=odob， 0.625xx=1，解得 x=8故梯子的長是8 米點評： 此題考查了解直角三角

19、形的應用，主要是三角函數的基本概念及運算，關鍵把實際問題轉化為數學問題加以計算5. （2014?泰州，16題， 3分） 如圖，正方向 abcd 的邊長為 3cm， e為 cd 邊上一點， dae=30 ，m 為 ae 的中點， 過點 m 作直線分別與ad、bc 相交于點p、q若 pq=ae，則 ap 等于1或 2cm（第 5 題圖）考點 ： 全 等三角形的判定與性質；正方形的性質；解直角三角形分析：根 據題意畫出圖形，過p 作 pnbc，交 bc 于點 n，由 abcd 為正方形，得到ad=dc=pn，在直角三角形ade 中，利用銳角三角函數定義求出de 的長，進而利用勾股定理求出ae 的長，

20、 根據 m 為 ae 中點求出am 的長，利用 hl 得到三角形ade與三角形pqn 全等，利用全等三角形對應邊，對應角相等得到de=nq， dae= npq=30 ，再由 pn 與 dc 平行， 得到 pfa=dea=60 ，進而得到pm 垂直于 ae，在直角三角形apm 中，根據am 的長，利用銳角三角函數定義求出ap 的長，再利用對稱性確定出ap的長即可解答：解 ：根據題意畫出圖形，過p 作 pnbc，交 bc 于點 n，四邊形abcd 為正方形， ad=dc=pn，在 rtade 中， dae=30 ，ad=3cm， tan30 =，即 de=cm，根據勾股定理得：ae=2cm， m

21、為 ae 的中點， am=ae=cm，在 rtade 和 rtpnq 中， rtadertpnq（hl） ， de=nq， dae=npq=30 ， pndc， pfa= dea=60 ， pmf=90 ，即 pmaf，在 rtamp 中， map =30 ，cos30 =， ap=2cm；由對稱性得到ap= dp=adap=3 2=1cm，綜上， ap 等于 1cm 或 2cm故答案為： 1 或 2點評：此 題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵6. （2014?泰州，第 22 題， 10 分）圖、分別是某種型號跑步機的實物圖與示意圖，已知

22、踏板 cd 長為 1.6m，cd 與地面 de 的夾角 cde 為 12 ，支架 ac 長為 0.8m， acd 為80 ，求跑步機手柄的一端a 的高度 h（精確到0.1m） （參考數據： sin12 =cos780.21，sin68 =cos220.93，tan682.48）（第 6 題圖）考點 ： 解 直角三角形的應用分析：過 c 點作 fgab于 f， 交 de 于 g 在 rtacf 中， 根據三角函數可求cf， 在 rtcdg中，根據三角函數可求cg，再根據fg=fc+cg 即可求解解答：解 ：過 c 點作 fg ab 于 f，交 de 于 g cd 與地面 de 的夾角 cde 為

23、 12 ， acd 為 80 ， acf=90 +12 80 =22 ， caf=68 ，在 rtacf 中， cf=ac?sincaf0.744 m，在 rtcdg 中， cg=cd?sincde0.336 m， fg=fc+cg1.1 m故跑步機手柄的一端a 的高度約為1.1m點評：此 題考查了解直角三角形的應用，主要是三角函數的基本概念及運算，關鍵是用數學知識解決實際問題7. （ 2014?福建泉州，第26 題 14 分）如圖，直線y=x+3 與 x，y 軸分別交于點a，b，與反比例函數的圖象交于點p（2，1） （1）求該反比例函數的關系式；（2）設 pcy 軸于點 c，點 a 關于 y

24、 軸的對稱點為a ；求 a bc 的周長和sinba c 的值；對大于1 的常數 m，求 x 軸上的點m 的坐標，使得sinbmc=考點：反 比例函數綜合題； 待定系數法求反比例函數解析式；勾股定理； 矩形的判定與性質；垂徑定理；直線與圓的位置關系；銳角三角函數的定義專題：壓 軸題；探究型分析：（ 1）設反比例函數的關系式y=，然后把點p 的坐標（ 2，1）代入即可（ 2）先求出直線y=x+3 與 x、y 軸交點坐標，然后運用勾股定理即可求出a bc的周長；過點 c 作 cdab， 垂足為 d， 運用面積法可以求出cd 長， 從而求出 sinbac的值由于 bc=2，sin bmc=，因此點m

25、 在以 bc 為弦，半徑為m 的 e 上，因而點m 應是 e 與 x 軸的交點然后對e 與 x 軸的位置關系進行討論，只需運用矩形的判定與性質、勾股定理等知識就可求出滿足要求的點m 的坐標解答：解： （1）設反比例函數的關系式y=點 p（2， 1）在反比例函數y=的圖象上， k=2 1=2反比例函數的關系式y=（ 2）過點c 作 cdab，垂足為d，如圖 1 所示當 x=0 時， y=0+3=3，則點 b 的坐標為（ 0， 3） ob=3當 y=0 時， 0= x+3，解得 x=3，則點 a 的坐標為（ 3， 0） ，oa=3點 a 關于 y 軸的對稱點為a ， oa= oa=3 pcy 軸，

26、點 p（2，1） ， oc=1，pc=2 bc=2 aob=90 ，oa= ob=3，oc=1， a b=3，a c= a bc 的周長為3+2 sabc=bc?a o=ab?cd， bc? ao=ab? cd 2 3=3 cd cd= cda b， sinba c= a bc 的周長為3+2，sinba c 的值為當 1m2 時，作經過點b、c 且半徑為m 的 e，連接 ce 并延長，交 e 于點 p，連接 bp，過點 e 作 egob，垂足為g，過點 e 作 ehx 軸，垂足為h，如圖 2所示 cp 是 e 的直徑， pbc=90 sinbpc= sinbmc=， bmc=bpc點 m 在

27、 e 上點 m 在 x 軸上 x k b 1 . c o m 點 m 是 e 與 x 軸的交點 egbc， bg=gc=1 og=2 eho=goh=oge=90 ，四邊形ogeh 是矩形 eh=og=2，eg=oh 1m2， ehec e 與 x 軸相離 x 軸上不存在點m，使得 sinbmc=當 m=2 時， eh=ec e 與 x 軸相切切點在x 軸的正半軸上時，如圖2所示點 m 與點 h 重合 egog，gc=1，ec=m， eg= om=oh=eg=點 m 的坐標為（，0） 切點在x 軸的負半軸上時，同理可得：點m 的坐標為（， 0） 當 m2 時， ehec e 與 x 軸相交交點

28、在x 軸的正半軸上時，設交點為m、m ，連接 em，如圖 2所示 ehm=90 ，em=m，eh=2， mh= ehmm ， mh=mh mh egc=90 ，gc=1，ec=m， eg= oh=eg= om=ohmh=， om= oh+hm=+， m（，0） 、m （+， 0） 交點在x 軸的負半軸上時，同理可得： m（+，0） 、m（，0） 綜上所述：當1m2 時，滿足要求的點m 不存在；當 m=2 時，滿足要求的點m 的坐標為（，0）和（，0） ；當 m2 時，滿足要求的點m 的坐標為（，0） 、（+， 0） 、（+，0） 、 （， 0） 點評：本 題考查了用待定系數法求反比例函數的關系式、勾股定理、三角函數的定義、矩形的判定與性質、直線與圓的位置關系、垂徑定理等知識，考查了用面積法求三角形的高，考查了通過構造輔助圓解決問題，綜