1、2011年全國統一高考數學試卷（文科）（大綱版）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）設集合U=1，2，3，4，M=1，2，3，N=2，3，4，則U（MN）=（）A1，2B2，3C2，4D1，42（5分）函數y=（x0）的反函數為（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=4x2（x0）3（5分）設向量、滿足|=|=1，=，|+2|=（）A.BC、D.4（5分）若變量x、y滿足約束條件，則z=2x+3y的最小值為（）A17B14C5D35（5分）下面四個條件中，使ab成立的充分而不必要的條件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b36（5分）設Sn為等差數列

2、an的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=24，則k=（）A8B7C6D57（5分）設函數f（x）=cosx（0），將y=f（x）的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值等于（）AB3C6D98（5分）已知直二面角l，點A，ACl，C為垂足，點B，BDl，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則CD=（）A2BCD19（5分）4位同學每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有（）A12種B24種C30種D36種10（5分）設f（x）是周期為2的奇函數，當0x1時，f（x）=2x（1x），則=（）ABCD11（5分）設兩圓C1、C2都

3、和兩坐標軸相切，且都過點（4，1），則兩圓心的距離|C1C2|=（）A4BC8D12（5分）已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成60°二面角的平面截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為（）A7B9C11D13二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（1x）10的二項展開式中，x的系數與x9的系數之差為： 14（5分）已知a（，），tan=2，則cos= 15（5分）已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成的角的余弦值為 16（5分）已知F1、F2分別為雙曲線C：的左、右焦點，點AC，點M的坐標為（

4、2，0），AM為F1AF2的平分線，則|AF2|= 三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）設等比數列an的前n項和為Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn18（12分）ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c已知asinA+csinCasinC=bsinB，（）求B；（）若A=75°，b=2，求a，c19（12分）根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，設各車主購買保險相互獨立（）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；（）求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率20（

5、12分）如圖，四棱錐SABCD中，ABCD，BCCD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）證明：SD平面SAB；（）求AB與平面SBC所成的角的大小21（12分）已知函數f（x）=x3+3ax2+（36a）x+12a4（aR）（）證明：曲線y=f（x）在x=0處的切線過點（2，2）；（）若f（x）在x=x0處取得極小值，x0（1，3），求a的取值范圍22（12分）已知O為坐標原點，F為橢圓C：在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足（）證明：點P在C上；（）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上2011年全國統一高考數

6、學試卷（文科）（大綱版）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）設集合U=1，2，3，4，M=1，2，3，N=2，3，4，則U（MN）=（）A1，2B2，3C2，4D1，4【考點】1H：交、并、補集的混合運算菁優網版權所有【專題】11：計算題【分析】先根據交集的定義求出MN，再依據補集的定義求出U（MN）【解答】解：M=1，2，3，N=2，3，4，MN=2，3，則U（MN）=1，4，故選：D【點評】本題考查兩個集合的交集、補集的定義，以及求兩個集合的交集、補集的方法2（5分）函數y=（x0）的反函數為（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=

7、4x2（x0）【考點】4R：反函數菁優網版權所有【專題】11：計算題【分析】由原函數的解析式解出自變量x的解析式，再把x 和y交換位置，注明反函數的定義域（即原函數的值域）【解答】解：y=（x0），x=，y0，故反函數為y=（x0）故選：B【點評】本題考查函數與反函數的定義，求反函數的方法和步驟，注意反函數的定義域是原函數的值域3（5分）設向量、滿足|=|=1，=，|+2|=（）A.BC、D.【考點】91：向量的概念與向量的模；9O：平面向量數量積的性質及其運算菁優網版權所有【專題】11：計算題【分析】由|+2|=，代入已知可求【解答】解：|=|=1，=，|+2|=故選：B【點評】本題主要考查

8、了向量的數量積 性質的基本應用，屬于基礎試題4（5分）若變量x、y滿足約束條件，則z=2x+3y的最小值為（）A17B14C5D3【考點】7C：簡單線性規劃菁優網版權所有【專題】31：數形結合【分析】我們先畫出滿足約束條件的平面區域，然后求出平面區域內各個頂點的坐標，再將各個頂點的坐標代入目標函數，比較后即可得到目標函數的最值【解答】解：約束條件的平面區域如圖所示：由圖可知，當x=1，y=1時，目標函數z=2x+3y有最小值為5故選：C【點評】本題考查的知識點是線性規劃，其中畫出滿足約束條件的平面區域是解答本題的關鍵5（5分）下面四個條件中，使ab成立的充分而不必要的條件是（）Aab+1Bab

9、1Ca2b2Da3b3【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件菁優網版權所有【專題】5L：簡易邏輯【分析】利用不等式的性質得到ab+1ab；反之，通過舉反例判斷出ab推不出ab+1；利用條件的定義判斷出選項【解答】解：ab+1ab；反之，例如a=2，b=1滿足ab，但a=b+1即ab推不出ab+1，故ab+1是ab成立的充分而不必要的條件故選：A【點評】本題考查不等式的性質、考查通過舉反例說明某命題不成立是常用方法6（5分）設Sn為等差數列an的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=24，則k=（）A8B7C6D5【考點】85：等差數列的前n項和菁優網版權所有【專題】11：計算題【

10、分析】先由等差數列前n項和公式求得Sk+2，Sk，將Sk+2Sk=24轉化為關于k的方程求解【解答】解：根據題意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2Sk+2Sk=24轉化為：（k+2）2k2=24k=5故選：D【點評】本題主要考查等差數列的前n項和公式及其應用，同時還考查了方程思想，屬中檔題7（5分）設函數f（x）=cosx（0），將y=f（x）的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值等于（）AB3C6D9【考點】HK：由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式菁優網版權所有【專題】56：三角函數的求值【分析】函數圖象平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，說明函數平

11、移整數個周期，容易得到結果【解答】解：f（x）的周期T=，函數圖象平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，說明函數平移整數個周期，所以，kZ令k=1，可得=6故選：C【點評】本題是基礎題，考查三角函數的圖象的平移，三角函數的周期定義的理解，考查技術能力，常考題型8（5分）已知直二面角l，點A，ACl，C為垂足，點B，BDl，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則CD=（）A2BCD1【考點】MK：點、線、面間的距離計算菁優網版權所有【專題】11：計算題【分析】根據線面垂直的判定與性質，可得ACCB，ACB為直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；進而在RtBCD中，由勾股定理可得CD的值，即

12、可得答案【解答】解：根據題意，直二面角l，點A，ACl，可得AC面，則ACCB，ACB為Rt，且AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在RtBCD中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故選：C【點評】本題考查兩點間距離的計算，計算時，一般要把空間圖形轉化為平面圖形，進而構造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理計算求解9（5分）4位同學每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有（）A12種B24種C30種D36種【考點】D3：計數原理的應用菁優網版權所有【專題】11：計算題【分析】本題是一個分步計數問題，恰有2人選修課程甲，共有C42種結果，余下的兩

13、個人各有兩種選法，共有2×2種結果，根據分步計數原理得到結果【解答】解：由題意知本題是一個分步計數問題，恰有2人選修課程甲，共有C42=6種結果，余下的兩個人各有兩種選法，共有2×2=4種結果，根據分步計數原理知共有6×4=24種結果故選：B【點評】本題考查分步計數問題，解題時注意本題需要分步來解，觀察做完這件事一共有幾步，每一步包括幾種方法，這樣看清楚把結果數相乘得到結果10（5分）設f（x）是周期為2的奇函數，當0x1時，f（x）=2x（1x），則=（）ABCD【考點】3I：奇函數、偶函數；3Q：函數的周期性菁優網版權所有【專題】11：計算題【分析】由題意得

14、=f（ ）=f（），代入已知條件進行運算【解答】解：f（x）是周期為2的奇函數，當0x1時，f（x）=2x（1x），=f（ ）=f（）=2× （1 ）=，故選：A【點評】本題考查函數的周期性和奇偶性的應用，以及求函數的值11（5分）設兩圓C1、C2都和兩坐標軸相切，且都過點（4，1），則兩圓心的距離|C1C2|=（）A4BC8D【考點】J1：圓的標準方程菁優網版權所有【專題】5B：直線與圓【分析】圓在第一象限內，設圓心的坐標為（a，a），（b，b），利用條件可得a和b分別為x210x+17=0 的兩個實數根，再利用韋達定理求得兩圓心的距離|C1C2|=的值【解答】解：兩圓C1、C2都

15、和兩坐標軸相切，且都過點（4，1），故圓在第一象限內，設兩個圓的圓心的坐標分別為（a，a），（b，b），由于兩圓都過點（4，1），則有=|a|，|=|b|，故a和b分別為（x4）2+（x1）2=x2 的兩個實數根，即a和b分別為x210x+17=0 的兩個實數根，a+b=10，ab=17，（ab）2=（a+b）24ab=32，兩圓心的距離|C1C2|=8，故選：C【點評】本題考查直線和圓相切的性質，兩點間的距離公式、韋達定理的應用，屬于基礎題12（5分）已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成60°二面角的平面截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為（）A7B9

16、C11D13【考點】MJ：二面角的平面角及求法菁優網版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】先求出圓M的半徑，然后根據勾股定理求出求出OM的長，找出二面角的平面角，從而求出ON的長，最后利用垂徑定理即可求出圓N的半徑，從而求出面積【解答】解：圓M的面積為4圓M的半徑為2根據勾股定理可知OM=過圓心M且與成60°二面角的平面截該球面得圓NOMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=圓N的半徑為則圓的面積為13故選：D【點評】本題主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知識，同時考查空間想象能力，分析問題解決問題的能力，屬于基礎題二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分2

17、0分）13（5分）（1x）10的二項展開式中，x的系數與x9的系數之差為：0【考點】DA：二項式定理菁優網版權所有【專題】11：計算題【分析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數分別取1；9求出展開式的x的系數與x9的系數；求出兩個系數的差【解答】解：展開式的通項為Tr+1=（1）rC10rxr所以展開式的x的系數10x9的系數10x的系數與x9的系數之差為（10）（10）=0故答案為：0【點評】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題14（5分）已知a（，），tan=2，則cos=【考點】GG：同角三角函數間的基本關系菁優網版權所有【專題】11：計算題【分析

18、】先利用的范圍確定cos的范圍，進而利用同腳三角函數的基本關系，求得cos的值【解答】解：a（，），cos0cos=故答案為：【點評】本題主要考查了同角三角函數基本關系的應用解題的關鍵是利用那個角的范圍確定三角函數符號15（5分）已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成的角的余弦值為【考點】LM：異面直線及其所成的角菁優網版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題；31：數形結合；35：轉化思想【分析】根據題意知ADBC，DAE就是異面直線AE與BC所成角，解三角形即可求得結果【解答】解：連接DE，設AD=2易知ADBC，DAE就是異面直線AE與BC所

19、成角，在RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3 cosDAE=，故答案為：【點評】此題是個基礎題考查異面直線所成角問題，求解方法一般是平移法，轉化為平面角問題來解決，體現了數形結合和轉化的思想16（5分）已知F1、F2分別為雙曲線C：的左、右焦點，點AC，點M的坐標為（2，0），AM為F1AF2的平分線，則|AF2|=6【考點】KC：雙曲線的性質菁優網版權所有【專題】16：壓軸題【分析】利用雙曲線的方程求出雙曲線的參數值；利用內角平分線定理得到兩條焦半徑的關系，再利用雙曲線的定義得到兩條焦半徑的另一條關系，聯立求出焦半徑【解答】解：不妨設A在雙曲線的右支上AM為F1AF2的平分線=又

20、|AF1|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案為6【點評】本題考查內角平分線定理；考查雙曲線的定義：解有關焦半徑問題常用雙曲線的定義三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）設等比數列an的前n項和為Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn【考點】88：等比數列的通項公式；89：等比數列的前n項和菁優網版權所有【專題】54：等差數列與等比數列【分析】設出等比數列的公比為q，然后根據等比數列的通項公式化簡已知得兩等式，得到關于首項與公比的二元一次方程組，求出方程組的解即可得到首項和公比的值，根據首項和公比寫出相應的通項公式及前n項和的公式即可【解答】解：設an的公比為q，

21、由題意得：，解得：或，當a1=3，q=2時：an=3×2n1，Sn=3×（2n1）；當a1=2，q=3時：an=2×3n1，Sn=3n1【點評】此題考查學生靈活運用等比數列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，是一道基礎題18（12分）ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c已知asinA+csinCasinC=bsinB，（）求B；（）若A=75°，b=2，求a，c【考點】HU：解三角形菁優網版權所有【專題】11：計算題【分析】（）利用正弦定理把題設等式中的角的正弦轉換成邊的關系，代入余弦定理中求得cosB的值，進而求得B（）利用兩角和公式先求得si

22、nA的值，進而利用正弦定理分別求得a和c【解答】解：（）由正弦定理得a2+c2ac=b2，由余弦定理可得b2=a2+c22accosB，故cosB=，B=45°（）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=故a=b×=1+c=b×=2×=【點評】本題主要考查了解三角形問題考查了對正弦定理和余弦定理的靈活運用19（12分）根據以往統計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，設各車主購買保險相互獨立（）求該地

23、1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；（）求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率【考點】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二項分布與n次獨立重復試驗的模型菁優網版權所有【專題】5I：概率與統計【分析】（I）設該車主購買乙種保險的概率為P，由相互獨立事件概率公式可得P（10.5）=0.3，解可得p，先求出該車主甲、乙兩種保險都不購買的概率，由對立事件的概率性質計算可得答案（II）該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買，是一個n次獨立重復試驗恰好發生k次的概率，根據上一問的結果得到該地的一位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率，代入公式得到結果【解答】解：（I

24、）設該車主購買乙種保險的概率為p，根據題意可得p×（10.5）=0.3，解可得p=0.6，該車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為（10.5）（10.6）=0.2，由對立事件的概率該車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率10.2=0.8（II）每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為0.2，則該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率P=C31×0.2×0.82=0.384【點評】本題考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次獨立重復試驗恰好發生k次的概率，考查對立事件的概率公式，是一個綜合題目20（12分）如圖，四棱錐SABCD中，ABCD，BCCD，側

25、面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）證明：SD平面SAB；（）求AB與平面SBC所成的角的大小【考點】LW：直線與平面垂直；MI：直線與平面所成的角菁優網版權所有【專題】11：計算題；14：證明題【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，即證明SD垂直于面SAB中兩條相交的直線SA，SB；在證明SD與SA，SB的過程中運用勾股定理即可（）求AB與平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，當為銳角時，所求的角即為它的余角；當為鈍角時，所求的角為【解答】（）證明：在直角梯形ABCD中，ABCD，BCCD，AB=BC=2，CD=1AD=側面SAB為等邊三角形，AB=2SA=2

26、SD=1AD2=SA2+SD2SDSA同理：SDSBSASB=S，SA，SB面SABSD平面SAB（）建立如圖所示的空間坐標系則A（2，1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，則由四棱錐SABCD中，ABCD，BCCD，側面SAB為等邊三角形知，M點一定在x軸上，又AB=BC=2，CD=SD=1可解得MD=，從而解得SM=，故可得S（，0，）則設平面SBC的一個法向量為則，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一個法向量為=（0，1）又=（0，2，0）cos，=，=arccos即AB與平面SBC所成的角的大小為arcsin【點評】本題考查了直線與平面垂直的判定，直

27、線與平面所成的角以及空間向量的基本知識，屬于中檔題21（12分）已知函數f（x）=x3+3ax2+（36a）x+12a4（aR）（）證明：曲線y=f（x）在x=0處的切線過點（2，2）；（）若f（x）在x=x0處取得極小值，x0（1，3），求a的取值范圍【考點】6E：利用導數研究函數的最值；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程菁優網版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】（）求出函數f（x）在x=0處的導數和f（0）的值，結合直線方程的點斜式方程，可求切線方程；（）f（x）在x=x0處取得最小值必是函數的極小值，可以先通過討論導數的零點存在性，得出函數有極小值的a的大致取值范圍，然后通過極小值對應的x0（1，3），解關于a的不等式，從而得出取值范圍【解答】解：（）f（x）=3x2+6ax+36a由f（0）=12a4，f（0）=36a，可得曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y=（36a）x+12a4，當x=2時，y=2（36a）+12a4=2，可得點（2，2）在切線上曲線y=f（x）在x=0的切線過點（2，2）（）由f（x）=0得 x2+2ax+12a=0（1）方程（1）的根的判別式當時，函數f（x）沒有極小值當或時，由f（x）=0得故x0=x2，由題設可知（i）當時，不等式沒有實數解；（ii）當時，不等式化為