1、太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫 電場是物質存在的一種方式，由帶電體所激電場是物質存在的一種方式，由帶電體所激發發. .電場是矢量場電場是矢量場, ,為了籠統描畫電場引入電力線為了籠統描畫電場引入電力線. .規定：規定：AEBEBA太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫EdSdNE太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫 矢量場的宏觀特征表現為：矢量場矢量場的宏觀特征表現為：矢量場“源源 及及“旋旋，它是矢量固有性質的反映。，

2、它是矢量固有性質的反映。 2 2假設矢量場的環流處處為零，那么稱該矢量假設矢量場的環流處處為零，那么稱該矢量場無旋，反之該矢量場有旋。場無旋，反之該矢量場有旋。 靜電場是矢量場，經過討論靜電場的通量和靜電場是矢量場，經過討論靜電場的通量和環流得到靜電場的性質環流得到靜電場的性質. .在高等數學中，可以得到矢量場普通性的結論：在高等數學中，可以得到矢量場普通性的結論：1 1假設矢量場的通量處處為零假設矢量場的通量處處為零, , 那么稱該矢量那么稱該矢量場無源，反之該矢量場有源。場無源，反之該矢量場有源。太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫二二 電場強度通量電場強度通量定義：經

3、過某面積定義：經過某面積S S的電通量等于經過的電通量等于經過S S的電場線的電場線的條數。的條數。(1)(1)均勻電場，均勻電場， S S是平面，是平面，且與電場線垂直且與電場線垂直ES e電通量電通量ES(2)(2)均勻電場，均勻電場， S S是平面，是平面，與電場線不垂直與電場線不垂直ESncoseES SEe電通量電通量太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫(3) S(3) S是恣意曲面，是恣意曲面，E E是非均勻電場把是非均勻電場把S S分成分成無限多無限多dSdSESdE經過經過dSdS的通量的通量SEdde經過整個曲面的電通量經過整個曲面的電通量sSEdcosd

4、eesSEde對于閉合曲面，規定閉合面的法線指向面外。對于閉合曲面，規定閉合面的法線指向面外。 SSSESEdcosde太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫E0d,2e220d,2e11 為封鎖曲面為封鎖曲面S電場線穿出處電場線穿出處 電場線穿入處電場線穿入處 經過閉合曲面的電通量為穿過整個閉合面的電場經過閉合曲面的電通量為穿過整個閉合面的電場線的凈根數。線的凈根數。SSEdcose1dS11E2dS22E太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫三、高斯定理三、高斯定理 高斯定理是靜電場的一個重要定理，反映電高斯定理是靜電場的一個重要定理，反映電通量和場源電

5、荷之間的關系通量和場源電荷之間的關系. . 在真空中在真空中, ,經過任一閉合曲面的電場強度通量經過任一閉合曲面的電場強度通量, ,等于該曲面所包圍的一切電荷的代數和除以等于該曲面所包圍的一切電荷的代數和除以 . .0niiSqSE10e1d1 1高斯面上的高斯面上的 與那些電荷有關與那些電荷有關 ？ Es2 2哪些電荷對閉合曲面哪些電荷對閉合曲面 的的 有奉獻有奉獻 ？e請思索：請思索：太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫r+q四四 高斯定理的證明高斯定理的證明SdrrqSdESSe02041Srqd4S2022044rrq0qSdE高高斯斯證明方法：證明方法： 從特殊到

6、普通從特殊到普通1 點電荷q 被恣意球面包圍 設設q 0q 0，場具有球對稱性，場具有球對稱性 太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫2 2 點電荷點電荷q q被恣意曲面包圍被恣意曲面包圍 ssq推行到任不測形的閉合曲面推行到任不測形的閉合曲面s s。經過包圍經過包圍q q的恣意閉合的恣意閉合曲面的電場強度通量曲面的電場強度通量也都等于也都等于q /q /0.0.s電場線不會中斷，電場線不會中斷， 經過經過S S面的電通量與經過球面面的電通量與經過球面 電通量是一樣的。電通量是一樣的。太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫 點電荷點電荷q q在閉合曲面在閉合

7、曲面S S外時，電場線從一側穿入外時，電場線從一側穿入S S面，從另一側穿出面，從另一側穿出S S 面，從閉合面穿出的電場面，從閉合面穿出的電場線的凈數目等于零。線的凈數目等于零。0dsESE3 閉合曲面不包圍點電荷閉合曲面不包圍點電荷 sq1s2s太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫設帶電體系由設帶電體系由n個點電荷組成個點電荷組成 ，其中，其中 k個在閉合面個在閉合面內，內，n-k個在閉合面外。個在閉合面外。4 多個點電荷被恣意閉合曲面包圍多個點電荷被恣意閉合曲面包圍太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫 kiiknnEqqqq SESESE SEEE

8、SE10210212110.01ddddd由場強疊加原理，經過閉合面的總通量為由場強疊加原理，經過閉合面的總通量為高斯定理成立的根底是：靜電場的庫侖定律高斯定理成立的根底是：靜電場的庫侖定律niiSqSE10e1d太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫2 q0 ，E0，電力線穿出閉合曲面，正電荷，電力線穿出閉合曲面，正電荷為靜電場的源頭。為靜電場的源頭。1 q0，ERrR為為半徑的球面半徑的球面S S作為高斯面。作為高斯面。rRESSEErSESESE24ddcosdo經過高斯面的電通量經過高斯面的電通量Pr太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫o因因p p

9、點在球面外點在球面外00qqiERrrrqE 4020假設假設p p 點在球面內時，高斯面包含的電荷量點在球面內時，高斯面包含的電荷量qRrrRqrqi33333343434Pr太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫RrrRqrE 4030RrrrqRrrRqrE 4 4020030qRrqrEiE303024rROERR太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫解：由對稱性，恣意場點解：由對稱性，恣意場點p p的場強的場強 的方向垂直于的方向垂直于帶電平面。帶電平面。E例例3 3 求無限大均勻帶電平面外的電場分布，設電求無限大均勻帶電平面外的電場分布，設電荷面

10、密度為荷面密度為。+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + SEESS平面兩側距平面等遠點平面兩側距平面等遠點處的場強大小一樣。處的場強大小一樣。作一個圓柱形閉合

11、面。作一個圓柱形閉合面。側側右右左左SESESESEsEdddd太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫 2 0E02SEsEsEsEEEE無限大均勻帶正負電平面的場強無限大均勻帶正負電平面的場強太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫 兩個無限大均勻帶電平板，帶電量為等量異兩個無限大均勻帶電平板，帶電量為等量異號，其場強的分布情況號，其場強的分布情況 0E0E0E 2 0E 2 0E太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫例例4 4 無限長均勻帶電直線的電場強度無限長均勻帶電直線的電場強度下底）上底）柱面）(dd dsssSESESE選取閉合的

12、柱形高斯面選取閉合的柱形高斯面 無限長均勻帶電直線，單位長度上的電荷，即無限長均勻帶電直線，單位長度上的電荷，即電荷線密度為電荷線密度為 ，求距直線為，求距直線為 處的電場強度處的電場強度. .r對稱性分析：軸對稱對稱性分析：軸對稱解解hSSEd柱面）(dsSEnenene+ + + + + +oxyzE+ +r太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫0hrE0 20 2hrhE 柱面）(ddsSSESE+oxyzhneE+r太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫解：電荷分布是軸對稱的，電場解：電荷分布是軸對稱的，電場分布亦是軸線對稱的。分布亦是軸線對稱的。過

13、過p p點作同軸閉合圓柱面點作同軸閉合圓柱面S S，其高為其高為h h。002 d dddrhESESESESE下下底底側側上上底底rPh例例5 求均勻帶電長直圓柱體電場的空間分布。求均勻帶電長直圓柱體電場的空間分布。p點在圓柱體外點在圓柱體外rR00hqirE02太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫p點在圓柱體內點在圓柱體內rRhrhRhqi220010202rRrEEROrR02Phr202RrhrhE2太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫例例5 5 有一個半徑為有一個半徑為R R 的球體，球內部帶電，的球體，球內部帶電，電荷體密度的表達式為電荷體密

14、度的表達式為 4( )qrrR( )0r (rR) (rR) (rR) (rR)求求(1) (1) 球體總帶電量球體總帶電量Q Q解：在球內取半徑為解：在球內取半徑為r r，厚度為，厚度為drdr的薄球殼，該的薄球殼，該殼內包含的電量殼內包含的電量drrRqdrrRqrdVdq342444太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫球體總帶電量球體總帶電量dqQqdrrRqR0344(2) (2) 球內、外部空間的場強分布函數。球內、外部空間的場強分布函數。場強分布具有球對稱性，高斯面為球面。場強分布具有球對稱性，高斯面為球面。經過高斯面的電通量經過高斯面的電通量24 rE0iqE

15、太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫當場點在球面外時當場點在球面外時qqiRrrrqE10210 4當場點在球面內時當場點在球面內時qdqi42403424rRqdrrRqrRrrRqrE204022 424 rE42401rRq太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫例例6 6 一厚度為一厚度為d d的無限大均勻帶電平板，電荷的無限大均勻帶電平板，電荷體密度為體密度為。試求板內外的場強分布，并畫出。試求板內外的場強分布，并畫出場強隨坐標的變化曲線。場強隨坐標的變化曲線。 dxo解：電荷分布有面對稱解：電荷分布有面對稱性，平板兩側到中心面性，平板兩側到中心面

16、間隔一樣的各點，場強間隔一樣的各點，場強大小相等。方向與平板大小相等。方向與平板垂直。垂直。高斯面取作圓柱面，其軸與高斯面取作圓柱面，其軸與平板垂直。平板垂直。太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫x2dxo設圓柱底面面積設圓柱底面面積s s，到中心平面的間隔到中心平面的間隔均為均為x經過高斯面的電通量經過高斯面的電通量sEE20iq()iqsd2dx 當當 時時02dE 太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫x2dxo2dx 當當 時時)2(xsqi0 xE x2d2d太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫 只需當電荷所激發的電場具有球對

17、稱、均勻面對只需當電荷所激發的電場具有球對稱、均勻面對稱、均勻軸對稱時，才干過該點作出適當的高斯，并稱、均勻軸對稱時，才干過該點作出適當的高斯，并按高斯定理求出場強。按高斯定理求出場強。高斯面的選?。寒旊妶鼍哂懈叨鹊膶ΨQ性時，根據詳高斯面的選取：當電場具有高度的對稱性時，根據詳細的對稱性特點，找出適宜的閉合面細的對稱性特點，找出適宜的閉合面. .1 1 使電場強度都垂直于這個閉合曲面，而且大小使電場強度都垂直于這個閉合曲面，而且大小處處相等；處處相等； 2 2 使閉合曲面上一部分場強處處與該面平行使閉合曲面上一部分場強處處與該面平行, ,因因此經過該面的此經過該面的E E通量為零通量為零 。太原理工大學物理系李孟春編寫太原理工大學物理系李孟春編寫小結高斯定例解題步驟：小結高斯定例解題步驟：1 1分析電場能否具有對稱性。分析電場能否具有對稱性。2 2取適宜的高斯面取適宜的高斯面( (封鎖面封鎖面) )，即取在，即取在E E相相等的曲面上。等的曲面上。3 3E E相等的面不構成閉合面時，另