1、2014年遼寧省高考數學試卷（文科）一、選擇題（共12小題，每小題5分）1（5分）已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，則集合U（AB）=（）Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x12（5分）設復數z滿足（z2i）（2i）=5，則z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i3（5分）已知a=，b=log2，c=log，則（）AabcBacbCcbaDcab4（5分）已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（）A若m，n，則mnB若m，n，則mnC若m，mn，則nD若m，mn，則n5（5分）設，是非零向量，已知命題p：若=0，=0，則=0；命題q：若，則，則下列命題中真命

2、題是（）ApqBpqC（p）（q）Dp（q）6（5分）若將一個質點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，則質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是（）ABCD7（5分）某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A8B8C8D828（5分）已知點A（2，3）在拋物線C：y2=2px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為（）AB1CD9（5分）設等差數列an的公差為d，若數列2為遞減數列，則（）Ad0Bd0Ca1d0Da1d010（5分）已知f（x）為偶函數，當x0時，f（x）=，則不等式f（x1）的解集為（）A，B，C，D，11（5分）將函數的圖象向右平移個單位長度，

3、所得圖象對應的函數（）A在區間，上單調遞增B在區間，上單調遞減C在區間，上單調遞減D在區間，上單調遞增12（5分）當x2，1時，不等式ax3x2+4x+30恒成立，則實數a的取值范圍是（）A5，3B6，C6，2D4，3二、填空題（共4小題，每小題5分）13（5分）執行如圖的程序框圖，若輸入n=3，則輸出T= 14（5分）已知x，y滿足約束條件，則目標函數z=3x+4y的最大值為 15（5分）已知橢圓C：+=1，點M與C的焦點不重合，若M關于C的焦點的對稱點分別為A、B，線段MN的中點在C上，則|AN|+|BN|= 16（5分）對于c0，當非零實數a，b滿足4a22ab+b2c=0且使|2a+b

4、|最大時，+的最小值為 三、解答題17（12分）在ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（BC）的值18（12分）某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調查，調查結果如表所示：喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生602080北方學生101020合計7030100（）根據表中數據，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；（）已知在被調查的北方學生中有5名數學系的學生，其中2名喜歡甜品，現在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率附：X2= P（x2

5、k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.63519（12分）如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2ABC=DBC=120°，E、F、G分別為AC、DC、AD的中點（）求證：EF平面BCG；（）求三棱錐DBCG的體積附：錐體的體積公式V=Sh，其中S為底面面積，h為高20（12分）圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P（如圖）（）求點P的坐標；（）焦點在x軸上的橢圓C過點P，且與直線l：y=x+交于A、B兩點，若PAB的面積為2，求C的標準方程21（12分）已知函數f（x）=（xcosx）2

6、sinx2，g（x）=（x）+1證明：（）存在唯一x0（0，），使f（x0）=0；（）存在唯一x1（，），使g（x1）=0，且對（）中的x0，有x0+x1四、選考題，請考生在22-24三題中任選一題作答，多做則按所做的第一題給分選修4-1：幾何證明選講22（10分）如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG=PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F（）求證：AB為圓的直徑；（）若AC=BD，求證：AB=ED選修4-4：坐標系與參數方程23將圓x2+y2=1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的2倍，得曲線C（）寫出C的參數方程；（）設直線l：2x+y2

7、=0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程選修4-5：不等式選講24設函數f（x）=2|x1|+x1，g（x）=16x28x+1記f（x）1的解集為M，g（x）4的解集為N（）求M；（）當xMN時，證明：x2f（x）+xf（x）22014年遼寧省高考數學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分）1（5分）已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，則集合U（AB）=（）Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x1【分析】先求AB，再根據補集的定義求CU（AB）【解答】解：AB=x|x1或

8、x0，CU（AB）=x|0x1，故選：D【點評】本題考查了集合的并集、補集運算，利用數軸進行數集的交、并、補運算是常用方法2（5分）設復數z滿足（z2i）（2i）=5，則z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i【分析】把給出的等式兩邊同時乘以，然后利用復數代數形式的除法運算化簡，則z可求【解答】解：由（z2i）（2i）=5，得：，z=2+3i故選：A【點評】本題考查了復數代數形式的除法運算，是基礎的計算題3（5分）已知a=，b=log2，c=log，則（）AabcBacbCcbaDcab【分析】利用指數式的運算性質得到0a1，由對數的運算性質得到b0，c1，則答案可求【解答】解：0a=20

9、=1，b=log2log21=0，c=log=log23log22=1，cab故選：D【點評】本題考查指數的運算性質和對數的運算性質，在涉及比較兩個數的大小關系時，有時借助于0、1這樣的特殊值能起到事半功倍的效果，是基礎題4（5分）已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（）A若m，n，則mnB若m，n，則mnC若m，mn，則nD若m，mn，則n【分析】A運用線面平行的性質，結合線線的位置關系，即可判斷；B運用線面垂直的性質，即可判斷；C運用線面垂直的性質，結合線線垂直和線面平行的位置即可判斷；D運用線面平行的性質和線面垂直的判定，即可判斷【解答】解：A若m，n，則m，n相交或平

10、行或異面，故A錯；B若m，n，則mn，故B正確；C若m，mn，則n或n，故C錯；D若m，mn，則n或n或n，故D錯故選：B【點評】本題考查空間直線與平面的位置關系，考查直線與平面的平行、垂直的判斷與性質，記熟這些定理是迅速解題的關鍵，注意觀察空間的直線與平面的模型5（5分）設，是非零向量，已知命題p：若=0，=0，則=0；命題q：若，則，則下列命題中真命題是（）ApqBpqC（p）（q）Dp（q）【分析】根據向量的有關概念和性質分別判斷p，q的真假，利用復合命題之間的關系即可得到結論【解答】解：若=0，=0，則=，即（）=0，則=0不一定成立，故命題p為假命題，若，則平行，故命題q為真命題，則

11、pq，為真命題，pq，（p）（q），p（q）都為假命題，故選：A【點評】本題主要考查復合命題之間的判斷，利用向量的有關概念和性質分別判斷p，q的真假是解決本題的關鍵6（5分）若將一個質點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，則質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是（）ABCD【分析】利用幾何槪型的概率公式，求出對應的圖形的面積，利用面積比即可得到結論【解答】解：AB=2，BC=1，長方體的ABCD的面積S=1×2=2，圓的半徑r=1，半圓的面積S=，則由幾何槪型的概率公式可得質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是，故選：B【點評】本題主要考查幾何槪型的概率的計算，求

12、出對應的圖形的面積是解決本題的關鍵，比較基礎7（5分）某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A8B8C8D82【分析】幾何體是正方體切去兩個圓柱，根據三視圖判斷正方體的棱長及切去的圓柱的底面半徑和高，把數據代入正方體與圓柱的體積公式計算【解答】解：由三視圖知：幾何體是正方體切去兩個圓柱，正方體的棱長為2，切去的圓柱的底面半徑為1，高為2，幾何體的體積V=232×××12×2=8故選：C【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據三視圖判斷幾何體的形狀及數據所對應的幾何量是解題的關鍵8（5分）已知點A（2，3）在拋物線C：y2=2px的準線上，記

13、C的焦點為F，則直線AF的斜率為（）AB1CD【分析】利用點A（2，3）在拋物線C：y2=2px的準線上，確定焦點F的坐標，即可求出直線AF的斜率【解答】解：點A（2，3）在拋物線C：y2=2px的準線上，=2，F（2，0），直線AF的斜率為=故選：C【點評】本題考查拋物線的性質，考查直線斜率的計算，考查學生的計算能力，屬于基礎題9（5分）設等差數列an的公差為d，若數列2為遞減數列，則（）Ad0Bd0Ca1d0Da1d0【分析】由數列遞減可得1，由指數函數的性質和等差數列的通項公式化簡可得【解答】解：數列2為遞減數列，1，即1，1，a1（an+1an）=a1d0故選：D【點評】本題考查等差數

14、列的性質和指數函數的性質，屬中檔題10（5分）已知f（x）為偶函數，當x0時，f（x）=，則不等式f（x1）的解集為（）A，B，C，D，【分析】先求出當x0時，不等式f（x）的解，然后利用函數的奇偶性求出整個定義域上f（x）的解，即可得到結論【解答】解：當x0，由f（x）=，即cosx=，則x=，即x=，當x時，由f（x）=，得2x1=，解得x=，則當x0時，不等式f（x）的解為x，（如圖）則由f（x）為偶函數，當x0時，不等式f（x）的解為x，即不等式f（x）的解為x或x，則由x1或x1，解得x或x，即不等式f（x1）的解集為x|x或x，故選：A【點評】本題主要考查不等式的解法，利用分段函數

15、的不等式求出x0時，不等式f（x）的解是解決本題的關鍵11（5分）將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數（）A在區間，上單調遞增B在區間，上單調遞減C在區間，上單調遞減D在區間，上單調遞增【分析】直接由函數的圖象平移得到平移后的圖象所對應的函數解析式，然后利用復合函數的單調性的求法求出函數的增區間，取k=0即可得到函數在區間，上單調遞增，則答案可求【解答】解：把函數y=3sin（2x+）的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象所對應的函數解析式為：y=3sin2（x）+即y=3sin（2x）當函數遞增時，由，得取k=0，得所得圖象對應的函數在區間，上單調遞增故選：A【點評】本題考查了函

16、數圖象的平移，考查了復合函數單調性的求法，復合函數的單調性滿足“同增異減”原則，是中檔題12（5分）當x2，1時，不等式ax3x2+4x+30恒成立，則實數a的取值范圍是（）A5，3B6，C6，2D4，3【分析】分x=0，0x1，2x0三種情況進行討論，分離出參數a后轉化為函數求最值即可，利用導數即可求得函數最值，注意最后要對a取交集【解答】解：當x=0時，不等式ax3x2+4x+30對任意aR恒成立；當0x1時，ax3x2+4x+30可化為a，令f（x）=，則f（x）=（*），當0x1時，f（x）0，f（x）在（0，1上單調遞增，f（x）max=f（1）=6，a6；當2x0時，ax3x2+4

17、x+30可化為a，由（*）式可知，當2x1時，f（x）0，f（x）單調遞減，當1x0時，f（x）0，f（x）單調遞增，f（x）min=f（1）=2，a2；綜上所述，實數a的取值范圍是6a2，即實數a的取值范圍是6，2故選：C【點評】本題考查利用導數研究函數的最值，考查轉化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對參數范圍取交集；若按照參數討論則取并集二、填空題（共4小題，每小題5分）13（5分）執行如圖的程序框圖，若輸入n=3，則輸出T=20【分析】算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+i）的值，根據條件確定跳出循環的i值，計算輸出的T值【解答】解：由程序框圖知：

18、算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+i）的值，當輸入n=3時，跳出循環的i值為4，輸出T=1+3+6+10=20故答案為：20【點評】本題考查了當型循環結構的程序框圖，根據框圖的流程判斷算法的功能是解題的關鍵14（5分）已知x，y滿足約束條件，則目標函數z=3x+4y的最大值為18【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求出最優解的坐標，代入目標函數得答案【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得，C（2，3）化目標函數z=3x+4y為直線方程的斜截式，得：由圖可知，當直線過點C時，直線在y軸上的截距最大，即z

19、最大zmax=3×2+4×3=18故答案為：18【點評】本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題15（5分）已知橢圓C：+=1，點M與C的焦點不重合，若M關于C的焦點的對稱點分別為A、B，線段MN的中點在C上，則|AN|+|BN|=12【分析】畫出圖形，利用中點坐標以及橢圓的定義，即可求出|AN|+|BN|的值【解答】解：如圖：MN的中點為Q，易得，Q在橢圓C上，|QF1|+|QF2|=2a=6，|AN|+|BN|=12故答案為：12【點評】本題考查橢圓的定義，橢圓的基本性質的應用，是對基本知識的考查16（5分）對于c0，當非零實數a，b滿足4a22

20、ab+b2c=0且使|2a+b|最大時，+的最小值為1【分析】首先把：4a22ab+b2c=0，轉化為=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分別用b表示a，c，在代入到+得到關于b的二次函數，求出最小值即可【解答】解：4a22ab+b2c=0，=由柯西不等式得，2（a）+×22=|2a+b|2故當|2a+b|最大時，有，c=b2+=當b=2時，取得最小值為1故答案為：1【點評】本題考查了柯西不等式，以及二次函數的最值問題，屬于難題三、解答題17（12分）在ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（BC）的值【

21、分析】（）利用平面向量的數量積運算法則化簡=2，將cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出關系式，將b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，聯立即可求出ac的值；（）由cosB的值，利用同角三角函數間基本關系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，進而求出cosC的值，原式利用兩角和與差的余弦函數公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值【解答】解：（）=2，cosB=，cacosB=2，即ac=6，b=3，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即9=a2+c24，a2+c2=13，聯立得：a=3，c=2；（）在ABC中，sinB=，由正弦定

22、理=得：sinC=sinB=×=，a=bc，C為銳角，cosC=，則cos（BC）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=【點評】此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數量積運算，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵18（12分）某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調查，調查結果如表所示：喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生602080北方學生101020合計7030100（）根據表中數據，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；（）已知在被調查的北方學生中有5名數學系的學生，其中

23、2名喜歡甜品，現在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率附：X2= P（x2k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【分析】（）根據表中數據，利用公式，即可得出結論；（）利用古典概型概率公式，即可求解【解答】解：（）由題意，X2=4.7623.841，有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；（）從這5名學生中隨機抽取3人，共有=10種情況，有2名喜歡甜品，有=3種情況，至多有1人喜歡甜品的概率【點評】本題考查獨立性檢驗的應用，考查古典概型及其概率計算公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題19（12分）如圖，ABC和BCD所

24、在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2ABC=DBC=120°，E、F、G分別為AC、DC、AD的中點（）求證：EF平面BCG；（）求三棱錐DBCG的體積附：錐體的體積公式V=Sh，其中S為底面面積，h為高【分析】（）先證明AD平面BGC，利用EFAD，可得EF平面BCG；（）在平面ABC內，作AOCB，交CB的延長線于O，G到平面BCD的距離h是AO長度的一半，利用VDBCG=VGBCD=，即可求三棱錐DBCG的體積【解答】（）證明：AB=BC=BD=2ABC=DBC=120°，ABCDBC，AC=DC，G為AD的中點，CGAD同理BGAD，CGBG=G，AD平面BGC，

25、EFAD，EF平面BCG；（）解：在平面ABC內，作AOCB，交CB的延長線于O，ABC和BCD所在平面互相垂直，AO平面BCD，G為AD的中點，G到平面BCD的距離h是AO長度的一半在AOB中，AO=ABsin60°=，VDBCG=VGBCD=×=【點評】本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，正確轉換底面是關鍵20（12分）圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P（如圖）（）求點P的坐標；（）焦點在x軸上的橢圓C過點P，且與直線l：y=x+交于A、B兩點，若PAB的面積為2，求C的標準方程【分析】（）設切點P的坐標為（

26、x0，y0），求得圓的切線方程，根據切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形的面積S=再利用基本不等式求得S取得最小值，求得點P的坐標（）設橢圓的標準方程為 +=1，ab0，則 +=1把直線方程和橢圓的方程聯立方程組，轉化為關于x的一元二次方程，利用韋達定理、弦長公式求出弦長AB以及點P到直線的距離d，再由PAB的面積為S=ABd=2，求出a2、b2的值，從而得到所求橢圓的方程【解答】解：（）設切點P的坐標為（x0，y0），且x00，y00則切線的斜率為，故切線方程為 yy0=（xx0），即x0x+y0y=4此時，切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形的面積S=再根據 +=42x0y0，可得

27、當且僅當x0=y0=時，x0y0取得最大值為2，即S取得最小值為=4，故此時，點P的坐標為（，）（）設橢圓的標準方程為 +=1，ab0，橢圓C過點P，+=1由 求得b2x2+4x+62b2=0，x1+x2=，x1x2=由 y1=x1+，y2=x2+，可得AB=|x2x1|=由于點P（，）到直線l：y=x+的距離d=，PAB的面積為S=ABd=2，可得 b49b2+18=0，解得 b2=3，或 b2=6，當b2=6 時，由+=1求得a2=3，不滿足題意；當b2=3時，由+=1求得a2=6，滿足題意，故所求的橢圓的標準方程為 +=1【點評】本題主要考查直線和圓相切的性質，直線和圓錐曲線的位置關系，

28、點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于難題21（12分）已知函數f（x）=（xcosx）2sinx2，g（x）=（x）+1證明：（）存在唯一x0（0，），使f（x0）=0；（）存在唯一x1（，），使g（x1）=0，且對（）中的x0，有x0+x1【分析】（）導數法可判f（x）在（0，）上為增函數，又可判函數有零點，故必唯一；（）化簡可得g（x）=（x）+1，換元法，令t=x，記u（t）=g（t）=t+1，t0，由導數法可得函數的零點，可得不等式【解答】解：（）當x（0，）時，f（x）=+sinx2cosx0，f（x）在（0，）上為增函數，又f（0）=20，f（）=40，存在唯一x0（0，），使

29、f（x0）=0；（）當x，時，化簡可得g（x）=（x）+1=（x）+1，令t=x，記u（t）=g（t）=t+1，t0，求導數可得u（t）=，由（）得，當t（0，x0）時，u（t）0，當t（x0，）時，u（t）0，函數u（t）在（x0，）上為增函數，由u（）=0知，當tx0，）時，u（t）0，函數u（t）在x0，）上無零點；函數u（t）在（0，x0）上為減函數，由u（0）=1及u（x0）0知存在唯一t0（0，x0），使u（t0）=0，于是存在唯一t0（0，），使u（t0）=0，設x1=t0（，），則g（x1）=g（t0）=u（t0）=0，存在唯一x1（，），使g（x1）=0，x1=t0，t0x0

30、，x0+x1【點評】本題考查零點的判定定理，涉及導數法證明函數的單調性，屬中檔題四、選考題，請考生在22-24三題中任選一題作答，多做則按所做的第一題給分選修4-1：幾何證明選講22（10分）如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG=PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F（）求證：AB為圓的直徑；（）若AC=BD，求證：AB=ED【分析】（）證明AB為圓的直徑，只需證明BDA=90°；（）證明RtBDARtACB，再證明DCE為直角，即可證明AB=ED【解答】證明：（）PG=PD，PDG=PGD，PD為切線，PDA=DBA，PGD=EGA，DBA=EGA，DBA+BAD=EGA+BAD，BDA=PFA，AFEP，PFA=90°BDA=90°，AB為圓的直徑；（）連接BC，DC，則AB為圓的直徑，BDA=ACB=90°，在RtBDA與RtACB中，AB=BA，AC=BD，RtBDARtACB，DAB=CBA，DCB=DAB，DCB