1、2019-2020學年浙江省杭州市高級中學高二上學期期末數學試題一、單選題1已知直線在軸和軸上的截距相等，則的值是（ ）a1b-1c-2d2【答案】a【解析】試題分析：由題意得，直線的截距式方程為，所以，故選a【考點】直線的截距式方程的應用2邊長為的正方形，其水平放置的直觀圖的面積為（）ab1cd8【答案】c【解析】正方形的邊長為，故面積為8，而原圖和直觀圖面積之間的關系，故直觀圖的面積為8×= ，故選c3已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍為（ ）abcd【答案】b【解析】方程，化為表示焦點在軸上的橢圓，可得，解得，實數的取值范圍為，故選b.4若實數，滿足約束條件，則的最

2、大值等于（ ）a2b1c-2d-4【答案】a【解析】作出可行域，平移目標函數，找到取最大值的點，然后可求最大值.【詳解】根據題意作出可行域如圖：平移直線可得在點a處取到最大值，聯立可得,代入可得最大值為2，故選a.【點睛】本題主要考查線性規劃，作出可行域，平移目標函數，求出最值點是主要步驟，側重考查直觀想象和數學運算的核心素養.5與直線x+y+3=0平行，且它們之間的距離為的直線方程為（ ）axy+8=0或xy1=0bx+y+8=0或x+y1=0cx+y3=0或x+y+3=0dx+y3=0或x+y+9=0【答案】d【解析】試題分析：設所求直線方程為x+y+m=0，運用兩平行直線的距離公式，解關

3、于m的方程，即可得到所求方程解：設所求直線方程為x+y+m=0，則由兩平行直線的距離公式可得d=3，解得m=9或3則所求直線方程為x+y3=0或x+y+9=0，故選d【考點】兩條平行直線間的距離6已知雙曲線一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（ ）abcd【答案】a【解析】先求得漸近線的方程，利用兩條直線垂直斜率相乘等于列方程，結合求得雙曲線離心率.【詳解】由題可知雙曲線的漸近線方程為，則，即，又，所以.故選a.【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線以及離心率的求法，考查兩條有斜率的直線相互垂直時，斜率相乘等于，屬于基礎題.7一個正方體紙盒展開后如圖，在原正方體紙盒中有下列結論：abef；

4、ab與cm成60°的角；ef與mn是異面直線；mncd.其中正確的是()abcd【答案】d【解析】【詳解】將展開圖還原為正方體，由于efnd，而ndab，efab；顯然ab與cm平行；ef與mn是異面直線，mn與cd也是異面直線，故正確，錯誤.8過拋物線的焦點作直線交拋物線于，若，則的斜率是（ ）abcd【答案】c【解析】試題分析：由題意得，拋物線準線方程為，如圖所示，當直線的傾斜角為銳角時，分別作點作，垂足為，過點作交于點，則，因為，所以，在中，由，可得，因為軸，所以，此時；當直線的傾斜角為鈍角時，可得，故選c【考點】直線與拋物線的綜合應用9如圖，已知三棱錐，記二面角的平面角為，直

5、線與平面所成的角為，直線與所成的角為，則（ ）abcd【答案】a【解析】不妨設三棱錐d-abc是棱長為2的正四面體，取ab中點e，dc中點m，ac中點m，連結de、ce、mn、en，過d作doce，交ce于o，連結ao，則dec=，dao=，mne=，由此能求出結果【詳解】不妨設三棱錐d-abc是棱長為2的正四面體，取ab中點e，dc中點m，ac中點m，連結de、ce、mn、en，過d作doce，交ce于o，連結ao，則dec=，dao=，mne=， ， ， ，取bc中點e，連結de、ae，則debc，aebc，又deae=e，bc平面aed，bcad，=90°故選a【點睛】本題考查

6、二面角、線面角、異面直線所成角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題10已知是橢圓上的三個點，直線經過原點，直線經過橢圓右焦點，若，且，則橢圓的離心率是（ ）abcd【答案】b【解析】設橢圓的另一個焦點為e，令|cf|=m，|bf|=|ae|=4m， |af|=2a-4m，在直角三角形eac中，4m2+（2a-4m +m）2=（2a-m）2，化簡可得a=3m，在直角三角形eaf中，4m2+（2a-4m）2=（2c）2，即為5a2=9c2，可得e=故選b點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，

7、b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.二、填空題11邊長為2的等邊三角形繞其一邊所在的直線旋轉一周得到一個幾何體，該幾何體的體積是_，該幾何體的表面積是_【答案】，【解析】【詳解】試題分析：如圖所示，繞所在的直線旋轉一周，得到兩個相同的圓錐，因為等邊三角形的邊長為，所以圓錐的高為，底面半徑為，母線長為所以該幾何體的表面積為；該幾何體的體積為【考點】旋轉體的定義及表面積與體積的計算12已知點在曲線上，則的取值范圍是_，的最小值為_.【答案】； . 【解析】根據題意，得到曲線表示圓

8、的一半，畫出圖形，根據表示點與點連線的斜率，結合圖形即可得出結果；記是曲線上任意一點，令，根據圖像求出最小值，即可得出的最小值.【詳解】因為曲線可化為，表示圓的一半，畫出圖形如下：式子表示點與點連線的斜率，根據圖像可得：半圓上的點與點連線的斜率最小為，半圓上的點與點連線的斜率最大為；所以的取值范圍是；記是曲線上任意一點，令，則，所以表示直線在軸截距的倍，由圖像可得：當直線經過點時，該直線在軸截距最小，此時；又點在曲線上，所以的最小值等于.故答案為：；.【點睛】本題主要考查簡單的線性規劃問題，只需結合圖像，以及所求式子的幾何意義即可求解，屬于常考題型.13若是雙曲線的左，右焦點，點是雙曲線上一點

9、，若，則_，的面積_.【答案】 【解析】根據雙曲線的概念得到若，則，因為，而當p點落在軸上時才會有，故舍掉最終因為三角形 是直角三角形，故 故答案為(1). (2). .14設p、a、b、c是一個球面上的四個點，pa、pb、pc兩兩垂直，且，則該球的體積為_.【答案】【解析】將三棱錐補成長方體，從而得到外接球的球心為長方體的中心，再利用長方體的體對角線的平方等于三條棱的平方和，即可求得球的半徑，從而得到球的體積.【詳解】p、a、b、c是一個球面上的四個點，pa、pb、pc兩兩垂直，將三棱錐補成長方體，則三棱錐的外接球的球心與長方體的球心為同一個，都是長方體體對角線的中點，設球的半徑為，.故答案

10、為：.【點睛】本題考查三棱錐與球的切接問題、球的體積計算，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意補形法的應用.15如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，分別為的中點，則直線與平面所成角的正切值為_；異面直線與所成角的余弦值是_【答案】，【解析】【詳解】試題分析：由兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，所以，其中平面的一個法向量為，所以與平面所成角的正弦值為，所以；又向量與所成角的余弦值為，又，所以異面直線與所成角的余弦值是【考點】空間向量的運算及空間角的求解16定長是3的線段ab的兩端點在拋物線上移動，m是線段ab的中點，則m到y軸距離的最小值是_

11、.【答案】【解析】由拋物線定義可求得，根據可求得的最小值，由所求距離為可確定所求距離的最小值.【詳解】設，由拋物線方程知焦點，準線方程為：由拋物線定義知：，（當且僅當三點共線時取等號）即，解得：中點到軸距離為，故所求最小值為故答案為：【點睛】本題考查直線與拋物線綜合應用中的距離最值問題的求解，關鍵是能夠熟練應用拋物線的定義得到的長，根據三角形兩邊之和大于第三邊可確定三點共線時取最小值.17如圖，在正方體中，是中點，在上，且，點是側面（包括邊界）上一動點，且平面，則的取值范圍是_.【答案】【解析】先作出平面平面，結合題意，得到點的軌跡是線段，分別求出點與點，點重合時，的值，即可得出結果.【詳解】

12、作出平面平面，則，因為平面，所以點的軌跡是線段，因此，當點運動到點處時，取得最小值，此時；當點運動到點處時，取得最大值，此時；所以的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查由線面平行求角的問題，熟記線面平行的性質即可，屬于常考題型.三、解答題18已知直線與直線的交點為（1）直線過點，且點和點到直線的距離相等，求直線的方程；（2）直線過點且與正半軸交于兩點，的面積為4，求直線的方程【答案】（1）或；（2）【解析】【詳解】試題分析：首先解方程組得到交點的坐標，由點和點到直線的距離相等可知直線ab與直線平行或過ab中點，由此可求得直線方程；（2）設出直線的截距式方程，由點的坐標和三角形面積可求得

13、關于截距的方程組，解方程組求得截距值，從而得到直線方程試題解析：（1）直線與直線聯立方程可得交點；點和點到直線的距離相等，所以或直線過ab中點，所以直線方程為或（2）由題可知，直線的橫、縱截距存在，且，則，又過點，的面積為4，解得，故方程為，即【考點】直線方程19如圖，在三棱錐中，平面，.（1）求證：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）根據題中條件，證明，再由線面垂直的判定定理，即可證明結論成立；（2）在平面內作于，過點作于，連結，根據線面垂直的判定定理與性質定理，得到，推出即為二面角，再由題中數據，即可求解.【詳解】（1）因為平面，所以，因為，所以；又，所

14、以，即；又，且平面，平面，所以平面；（2）因為平面，所以平面平面，在平面內作于，則平面，所以；過點作于，連結，因為，且平面，平面，所以平面，因此，則即為二面角，在中，在中，所以，從而二面角的大小為.【點睛】本題主要考查證明線面垂直，求二面角的大小，熟記線面垂直的判定定理與性質定理，以及二面角的幾何求法即可，屬于常考題型.20已知圓的半徑為3，圓心在軸正半軸上，直線與圓相切.（1）求圓的標準方程；（2）過點的直線與圓交于不同的兩點，而且滿足，求直線的方程.【答案】(1) （x2）2+y2=9 (2) xy3=0，17x7y21=0，x=0【解析】試題分析：（1）可設圓心坐標為，由直線與圓相切，知

15、圓心m到切線的距離等于半徑，可求得，從而得圓的標準方程；（2）注意分類討論，當直線斜率不存在時，代入求出a、b兩點坐標，檢驗是否符合題意；當直線斜率存在時，設斜率為，得直線方程為，代入圓的方程，由韋達定理得，代入已知等式可求得的值，從而得直線方程試題解析：（i）設圓心為m（a，0）（a0），直線3x4y+9=0與圓m相切=3解得a=2，或a=8（舍去），所以圓的方程為：（x2）2+y2=9 （ii）當直線l的斜率不存在時，直線l：x=0，與圓m交于a（0，），b（0，），此時+=x1x2=0，所以x=0符合題意 當直線l的斜率存在時，設直線l：y=kx3，由消去y，得（x2）2+（kx3）2=

16、9，整理得：（1+k2）x2（4+6k）x+4=0.（1）所以由已知得：整理得：7k224k+17=0， 把k值代入到方程（1）中的判別式=（4+6k）216（1+k2）=48k+20k2中，判別式的值都為正數，所以，所以直線l為：，即xy3=0，17x7y21=0綜上：直線l為：xy3=0，17x7y21=0，x=0 點睛：在直線與圓相切時，一般都用圓心到切線的距離等于圓的半徑來求解，這樣可以簡化計算在解決直線與圓（二次曲線）相交問題時，一般設交點坐標為，把直線方程與圓的方程聯立后得一元二次方程，然后利用韋達定理得出，再由交點滿足的條件得出坐標的關系，代入可得參數值這就是解析幾何中的“設而不

17、求”思想21已知等腰梯形中（如圖1），為線段的中點，、為線段上的點，現將四邊形沿折起（如圖2）（1）求證：平面；（2）在圖2中，若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）先連接，根據線面平行的判定定理，即可證明結論成立；（2）在圖2中，過點作，垂足為，連接，證明平面平面，得到點在底面上的投影必落在直線上，記為點在底面上的投影，連接，得出即是直線與平面所成角，再由題中數據求解，即可得出結果.【詳解】（1）連接，因為等腰梯形中（如圖1），所以與平行且相等，即四邊形為平行四邊形；所以；又為線段的中點，為中點，易得：四邊形也為平行四邊形，所以；將四邊形沿折起后，平行關

18、系沒有變化，仍有：，且，所以翻折后四邊形也為平行四邊形；故；因為平面，平面，所以平面；（2）在圖2中，過點作，垂足為，連接，因為，翻折前梯形的高為，所以，則，；所以；又，所以，即，所以；又，且平面，平面，所以平面；因此，平面平面；所以點在底面上的投影必落在直線上；記為點在底面上的投影，連接，則平面；所以即是直線與平面所成角，因為，所以，因此，故；因為，所以，因此，故，所以.即直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題主要考查證明線面平行，以及求直線與平面所成的角，熟記線面平行的判定定理，以及線面角的求法即可，屬于常考題型.22橢圓，右焦點為，是斜率為的弦，的中點為，的垂直平分線交橢圓于，兩點，的中點為.