1、第二十二屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題答案（初中一年級組） 第第二二十十二二屆華羅庚金杯少年數學邀請賽屆華羅庚金杯少年數學邀請賽 決賽試題參考答案決賽試題參考答案 （初（初中中一一年級組）年級組） 一、填空一、填空題題（每小題 10 分, 共 80 分） 題號題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 6 7 0 4059217 4 29 44 403 二、二、 解答下列各題解答下列各題（每題 10 分, 共 40 分, 要求寫出簡要過程） 9. 是否存在長方體, 其十二條棱的長度之和、體積、表面積的數值均相等？如果存在, 請給出一個例子; 如果不存在, 請說明理由. 答案: 否 解答

2、: 假設存在長 a、寬 b、高 c 的長方體滿足: )()(cbacabcababc. 于是 )()(cabcabcbaabc. 這樣 )(abccabbcaaccbbaabccabbca, 即 accbbaabccabbca. 又a, b, c, 于是2222222220a bb cc aa bcab cabc. 矛盾！ 10. 如圖, 已知正方形 abdf 的邊長為 6 厘米, ebc 的面積為 6 平方厘米, 點 c 在線段 fd 的延長線上, 點e 為線段 bd 和線段 ac 的交點. 求線段 dc 的長度. 答案: 3 厘米 第二十二屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題答案（初中一年級

3、組） 解答: 連接線段 fe. 設線段 dc 的長度為 x, 線段de 的長度為 y. 由ebc 的面積為 6 平方厘米和正方形 abdf 的邊長為 6 厘米, 得 612xyx. 又edf 的面積為 3y, ecd 的面積為2xy, 而acf 的面積為 3(6+x). 另外 acf 的面積=edf 的面積+ecd 的面積+efa 的面積 即 3(6+x)= 3y+2xy+18. 解由聯立的方程組得3x , 2y . 所以dc的長度為3厘米. 11. 如右圖, 先將一個菱形紙片沿對角線 ac 折疊, 使頂點 b 和 d 重合. 再沿過 a, b (d) 和 c 其中一點的直線剪開折疊后的紙片,

4、 然后將紙片展開. 這些紙片中菱形最多有幾個? 請說明理由. 答案：0 解答: 菱形紙片沿對角線折疊后是等腰三角形, 如圖, abc中, ab=bc. 若過頂點a或c剪開, 沿 ae 剪開, 展開后會得到兩個三角形和一個四邊形. 如果展開后的四邊形是菱形, 需要滿足 ae=ce. 顯然cabcae, 而cabc, 故ccae, 所以ecae , 因此這個四邊形紙片不是菱形. （或: 若四邊形紙片為菱形, 則點 e 在 ac 的垂直平分線上. 由已知點 b在 ac 的垂直平分線上, 故 beac, 即 bcac, 這是不可能的！所以這個四邊形紙片不是菱形.） 若過頂點 b 剪開, 如圖, 沿 b

5、f 剪開, 展開后會得到兩個四邊形. 在cbf 中, bfac, 而ac, 故bfaa, 所以bfab , 因此這個四邊形紙片不是菱形. 同理, 另一個第二十二屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題答案（初中一年級組） 紙片也不是菱形. 綜上, 這些紙片中沒有菱形. 12. 證明: 任意個整數中, 至少有兩個整數的平方差是的倍數. 證明: 整數被除的余數可以分為余 0, 余 1, 余 2, 余 3 四類. 根據抽屜原理, 這個整數中一定有兩個屬于同一類, 不妨設這兩個數是7amr,lnb, 其中0,r 1, 2, 3, rl. 當rl 時, )(rnmnmba是的倍數; 當rl時, )(nmrnm

6、ba也是的倍數. 三、三、解答下列各題解答下列各題（每小題 15 分, 共 30 分, 要求寫出詳細過程） 13. 直線a平行于直線b, a上有個點a,a,a, b上有個點b,b,b, 用線段連接ia和jb( i=, j=,), 所得到的圖形中一條邊在 a 上或者在 b 上的三角形有多少個？ 答案: 5995 解答: 其中一條邊在a上或者b上的三角形分兩種情況. 情況 1: 三角形的三個頂點都在 a 或者 b 上, 這樣的圖形與三個點有關, 兩個點在a上, 一個點在b上, 或者兩個點在b上, 一個點在a上. 這樣的三角形有104555049510) 111(112111) 110(1021.

7、情況 2: 三角形中有兩個頂點在 a, b 上, 另一頂點是這些線段jiba( i=, , j=,)的交點, 這樣的三角形與四個點有關, 其中兩個點在a上, 兩個在b上. 每組這樣的四個點決定 2 個三角形滿足一條邊在 a 或者 b 上. 這樣的 4 個一組共有24755545) 111(1121) 110(1021組, 因此所得圖形中有495022475個三角形滿足兩個頂點在a或者b上. 綜合上面兩種情況共用599510454950. 14. 已知關于 x, y 的方程kyx有且只有六組正整數解, 且yx , 求k的最大值. 第二十二屆華羅庚金杯少年數學邀請賽決賽試題答案（初中一年級組） 答

8、案: 1777 解答: 由于)(yxyxyx-, 則當 x, y 的整數解同為偶數或奇數時, yx -是 4 的倍數. 這里要用到一個公式, 記自然數m的質因數分解為skskkmmmm2121, 其中smmm,是m的質因數, 次數分別為skkk, 則m的因子分解數目為) 1() 1)(1(21skkk. 記方程mk =2-017, myx=22-, 由于方程的正整數解有 6 組, 則m至少有12 個因數. 當m是奇數時, myx=22-總有正整數解. 當m是奇數且是平方數時, myx=22-的正整數解的個數是21（m的因數數目1） . 否則myx=22-的正整數解的個數是21（m的因數數目）.

9、 當m是偶數時, 根據前面的分析, m是4的倍數, 記nm4. 如果n是平方數, myx=22-的正整數解的個數是21（n的因數數目1）; 否則myx22-的正整數解的個數是21（n的因數數目）. 當m是奇數時, 如果m只有一個質因數, 則次數為 11, m的最小值為20172048231111, 不可能. 如果m有兩個質因數則次數為 1 和 5, m的最 小 值 為12155243535; 或 者2和3,m的 最 小 值 為67525275323. 如果有 3 個質因數, 次數為 1, 1 和 2, m的最小值為3153597532. 此外沒有其它的情況. 當m是偶數時, 如果n只有一個質因數, 則次數為 11, m的最小值為2017204822211112, 不可能. 如果n有兩個質因數則次數為1和5, m的 最 小 值 為384312832252; 或 者