1、2017-2018 學年高二數學上學期期中試題文（含解析）第卷一、選擇題（本大題共12 小題，每小題 4 分，共計 48 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1若集合，集合，則（）abcd【答案】 d【解析】，故選2已知，那么的值為（）abcd【答案】 d【解析】由題意可知：，分子分母同除以，得，綜上所述，故選3在棱長為 的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方形，則截去個三棱錐后，剩下的幾何體的體積是（）abcd【答案】 d【解析】由題意幾何體的體積，就是正方體的體積求得個正三棱柱的體積，故選4甲、乙兩名運動員的次測試成績如下圖所示，設， 分別表示甲、乙兩名運

2、動員測試成績的標準差，分別表示甲、乙名運動員測試成績的平均數，則有（）a，b，c，d，【答案】 b【解析】由莖葉圖中的數據知，甲運動員測試成績的平均數為；方差為乙動員測試成績的平均數為，方差為，5執行如圖所示的程序框圖，若輸出，則框圖中處可以填入（）a bcd【答案】 c【解析】本題主要考查程序框圖的基本知識，；，；，；，則此時跳出循環，故框圖中處可填入故選6已知，函數，若滿足關于的方程，則下列選項的命題中為假命題的是（）a，b，c，d，【答案】 c【解析】，所對應的拋物線開口向上，又 滿足關于的方程，為拋物線的對稱軸，為二次函數的最小值，（ ），正確；（ ），正確；（ ），錯誤；（ ），正確

3、故選7若函數（且）的圖象經過第二、三、四象限，則一定有（）a且b且c且d且【答案】 c【解析】如圖所示：圖象與軸的交點在軸的負半軸上（縱截距小于零），即且，且故選8設，數列是公比為的等比數列，則（）abcd【答案】 c【解析】由題意得，即，故選9設拋物線的焦點為，準線為 ， 為拋物線上一點， 為垂足如果直線的斜率為，那么（）abcd【答案】 b【解析】拋物線的交點，準線方程為，直線的方程為，所以點、，從而故選10在集合內任取一個元素，能使不等式成立的概率為（）abcd【答案】 b【解析】集合對應的平面區域為矩形，約束條件對應的平面區域為梯形，把代入得，不等式成立的概率為故選11已知、為雙曲線的

4、左、右焦點，點在 上，則 到 軸的距離為（）abcd【答案】 b【解析】設，不妨設，可知，根據雙曲線定義，即，（）在中，根據余弦定理，即，（ ）（ ） （ ）得，解得，設 到 軸的距離為，則，解得故選12已知函數，若關于的不等式的解集為空集，則實數的取值范圍是（）abcd【答案】 a【解析】由，即，解得，那么不等式，又當時，取得最小值，即函數的值域為，若不等式的解集為空集，則的解集為空集，那么與值域的交集為空集，所以，所以故答案為故選第卷二、填空題（本大題共4 個題，每小題 4 分，共 16 分）13在樣本的頻率分布直方圖中，共有個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他小長方形面積的和的，

5、且樣本容量為，則中間一組的頻數為 _【答案】【解析】設中間一個小長方形的面積為，其他個小正方形的面積之和為 ，則有：，解得：，中間一組的頻數故填14已知，若單位向量與共線，則向量坐標為_【答案】【解析】，向量，單位向量與共線，則向量 的坐標或故答案為或15在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區域的外接圓的方程為 _ 【答案】【解析】根據可知不等式組，表示的平面區域為直角，可得，因為為外接圓的直徑，而間的距離，所以圓的半徑為，則圓心坐標為即，所以圓的標準方程為故答案為：16已知橢圓的左、右焦點分別為、，且，點在橢圓上，則橢圓的離心率等于_【答案】【解析】，又，即，或（舍負）故答案為三、解答題（

6、本大題5 個小題，共 56 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17（本題滿分分）在中，已知內角、 、 所對的邊分別為 ， ， 向量，向量，且（ ）求銳角的大小（ ）如果，求的面積的最大值【答案】【解析】（ ），且，即，又 為銳角，則綜上所述，結論是（ ）當，由余弦定理得：，當，由余弦定理得：，又，代入上式得（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立），則的最大值為綜上所述，結論是的最大值為18（本題滿分分）已知數列滿足，（ ）證明數列是等比數列（ ）求數列的前 項和【答案】【解析】（ ）證明：，是首項為，公比為 的等比數列，綜上所述，結論是數列是等比數列（ ）由（ ）得，則當時，當時

7、，符合通項公式，19（本題滿分分）從某學校高三年級共名男生中隨機抽取名測量身高，測量發現被測學生身高全部介于和之間，將測量結果按如下方式分成八組，第一組；第二組，第八組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，若第一組與第八組人數相同，第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列（ ）估計這所學校高三年級全體男生身高以上（含）的人數（ ）求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖（鉛筆作圖并用中性筆描黑）（ ）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為、 ，求滿足的事件概率【答案】【解析】（ ）由頻率分布直方圖知，前五組頻率為，后三組頻率為，人數為人

8、，這所學校高三男生身高在以上（含）的人數為人（ ）由頻率分布直方圖得第八組頻率為，人數為人，設第六組人數為，則第七組人數為，又，所以，即第六組人數為人，第七組人數為人，頻率分別為，頻率除以組距分別等于，見圖（ ）由（ ）知身高在內的人數為人，設 ， ， ， 身高為的人數為人，設為， 若 ，時，有，共六種情況若 ，時，有共一種情況若 ， 分別在，內時，有，共 種情況所以基本事件的總數為種事件所包含的基本事件個數有種，故20.（本題滿分分）在平面直角坐標系中，經過點且斜率為 的直線 與橢圓有兩個不同的交點和 （ ）求 的取值范圍（ ）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸交點分別為、 ，是否存在常數，使得向量

9、與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由【答案】【解析】（ ）由已知條件，直線的方程為，代入橢圓方程得整理得直線 與橢圓有兩個不同交點和 ，等價于的判別式，解得或，即 的取值范圍為（ ）設，則，由方程，又而，所以與共線等價于，將代入上式，解得由（ ）知或故沒有符合題意的常數21（本題滿分分）已知拋物線，直線 交此拋物線于不同的兩個點、（ ）當直線 過點時，證明，為定值（ ）當時，直線 是否過定點？若過定點，求出定點坐標；反之，請說明理由（ ）記，如果直線 過點，設線段的中點為，線段的中點為問是否存在一條直線和一個定點，使得點到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個定點；若不存在，請說

10、明理由【答案】【解析】（ ）證明： 過點與拋物線有兩個交點，可知其斜率一定存在，設，其中（若時不合題意），由得，（ ）當直線 的斜率存在時，設，其中（若時不合題意）由得，從而假設直線 過定點，則，從而，得，即，即或定點當直線 的斜率不存在，設，代入得，解得，即，也過綜上所述，當時，直線 過定點（ ）依題意直線的斜率存在且不為零由（ ）得，點的縱坐標為，代入得，即設，則，消 得，由拋物線的定義知，存在直線，點，點 到它們的距離相等22（本題滿分分）已知，且非 是非 的必要不充分條件，求實數的取值范圍【答案】【解析】由得，即由，得，即，若是的必要不充分條件，則 是 的充分不必要條件，則，即，解得即

11、 的取值范圍是2017-2018 學年高二數學上學期期中試題文（含解析）第卷一、選擇題（本大題共12 小題，每小題 4 分，共計 48 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1若集合，集合，則（）abcd【答案】 d【解析】，故選2已知，那么的值為（）abcd【答案】 d【解析】由題意可知：，分子分母同除以，得，綜上所述，故選3在棱長為的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方形，則截去個三棱錐后，剩下的幾何體的體積是（）abcd【答案】 d【解析】由題意幾何體的體積，就是正方體的體積求得個正三棱柱的體積，故選4甲、乙兩名運動員的次測試成績如下圖所示，設，分別表示甲

12、、乙兩名運動員測試成績的標準差，分別表示甲、乙名運動員測試成績的平均數，則有（）a，b，c，d，【答案】 b【解析】由莖葉圖中的數據知，甲運動員測試成績的平均數為；方差為乙動員測試成績的平均數為，方差為，5執行如圖所示的程序框圖，若輸出，則框圖中處可以填入（）a bcd【答案】 c【解析】本題主要考查程序框圖的基本知識，；，；，；，則此時跳出循環，故框圖中處可填入故選6已知，函數，若滿足關于的方程，則下列選項的命題中為假命題的是（）a，b，c，d，【答案】 c【解析】，所對應的拋物線開口向上，又 滿足關于的方程，為拋物線的對稱軸，為二次函數的最小值，（ ），正確；（），正確；（ ），錯誤；（）

13、，正確故選7若函數（且）的圖象經過第二、三、四象限，則一定有（）a且b且c且d且【答案】 c【解析】如圖所示：圖象與軸的交點在軸的負半軸上（縱截距小于零），即且，且故選8設，數列是公比為的等比數列，則（）abcd【答案】 c【解析】由題意得，即，故選9設拋物線的焦點為，準線為，為拋物線上一點，為垂足如果直線的斜率為，那么（）abcd【答案】 b【解析】拋物線的交點，準線方程為，直線的方程為，所以點、，從而故選10在集合內任取一個元素，能使不等式成立的概率為（）abcd【答案】 b【解析】集合對應的平面區域為矩形，約束條件對應的平面區域為梯形，把代入得，不等式成立的概率為故選11已知、為雙曲線的

14、左、右焦點，點在上，則到軸的距離為（）abcd【答案】 b【解析】設，不妨設，可知，根據雙曲線定義，即，（）在中，根據余弦定理，即，（）（）（ ）得，解得，設到軸的距離為，則，解得故選12已知函數，若關于的不等式的解集為空集，則實數的取值范圍是（）abcd【答案】 a【解析】由，即，解得，那么不等式，又當時，取得最小值，即函數的值域為，若不等式的解集為空集，則的解集為空集，那么與值域的交集為空集，所以，所以故答案為故選第卷二、填空題（本大題共4 個題，每小題 4 分，共 16 分）13在樣本的頻率分布直方圖中，共有個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他小長方形面積的和的，且樣本容量為，則

15、中間一組的頻數為 _【答案】【解析】設中間一個小長方形的面積為，其他個小正方形的面積之和為，則有：，解得：，中間一組的頻數故填14已知，若單位向量與共線，則向量坐標為 _【答案】【解析】，向量，單位向量與共線，則向量的坐標或故答案為或15在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區域的外接圓的方程為_ 【答案】【解析】根據可知不等式組，表示的平面區域為直角，可得，因為為外接圓的直徑，而間的距離，所以圓的半徑為，則圓心坐標為即，所以圓的標準方程為故答案為：16已知橢圓的左、右焦點分別為、，且，點在橢圓上，則橢圓的離心率等于_ 【答案】【解析】，又，即，或（舍負）故答案為三、解答題（本大題5 個小題，

16、共 56 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17（本題滿分分）在中，已知內角、所對的邊分別為，向量，向量，且（ ）求銳角的大小（）如果，求的面積的最大值【答案】【解析】（），且，即，又為銳角，則綜上所述，結論是（）當，由余弦定理得：，當，由余弦定理得：，又，代入上式得（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立），則的最大值為綜上所述，結論是的最大值為18（本題滿分分）已知數列滿足，（ ）證明數列是等比數列（）求數列的前項和【答案】【解析】（）證明：，是首項為，公比為的等比數列，綜上所述，結論是數列是等比數列（）由（）得，則當時，當時，符合通項公式，19（本題滿分分）從某學校高三年級共

17、名男生中隨機抽取名測量身高，測量發現被測學生身高全部介于和之間，將測量結果按如下方式分成八組，第一組；第二組，第八組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，若第一組與第八組人數相同，第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列（ ）估計這所學校高三年級全體男生身高以上（含）的人數（）求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖（鉛筆作圖并用中性筆描黑）（ ）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為、，求滿足的事件概率【答案】【解析】（ ）由頻率分布直方圖知，前五組頻率為，后三組頻率為，人數為人，這所學校高三男生身高在以上（含）的人數為人（）由頻率分

18、布直方圖得第八組頻率為，人數為人，設第六組人數為，則第七組人數為，又，所以，即第六組人數為人，第七組人數為人，頻率分別為，頻率除以組距分別等于，見圖（ ）由（）知身高在內的人數為人，設，身高為的人數為人，設為，若，時，有，共六種情況若，時，有共一種情況若，分別在，內時，有，共種情況所以基本事件的總數為種事件所包含的基本事件個數有種，故20.（本題滿分分）在平面直角坐標系中，經過點且斜率為的直線 與橢圓有兩個不同的交點和（ ）求的取值范圍（）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸交點分別為、，是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由【答案】【解析】（）由已知條件，直線的方程為，代入橢圓方程得整理得直線 與橢圓有兩個不同交點和，等價于的判別式，解得或，即的取值范圍為（）設，則，由方程，又而，所以與共線等價于，將代入上式，解得由（ ）知或故沒有符合題意的常數21（本題滿分分）已知拋物線，直線交此拋物線于不同的兩個點、（ ）當直線過點時，證明，為定值（）當時，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；反之，請說明理由（ ）記，如果直線過點，設線段的中點為，線段的中點為問是否存在一條直線和一個定點，使得點到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個定點；若不存在