1、1了解二項式系數的性質.2理解二項式系數性質的應用.3.掌握應用硏禧'導學営試 .1.二項式系數表(a + b)0(a + b)1(a + b)2(a + b)3(a + b)4(a + b)5(a + b)61. 5.2二項式系數的性質及應用11 112113311464115 1010 511615201561C0C0 C1c2 c2 c2c0 c3 c2 c3c4cic2c4c4c0 c5 c2 c3 c5 c5c6c6c6cic6c6c62.二項式系數的性質(1) Cm= cnm ；(2) Cm+ Cm_ 1 =血;當<專時，cn<cn+1；當>號時，cn+

2、1<cn；(4)c0+ cn+ Cn = 22Cn + Cn + C4 += Cn + Cri + C5 + o我童1 判斷(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1) 楊輝三角的每一斜行數字的差成一個等差數列.()(2) 二項式展開式中系數最大項與二項式系數最大項是相同的.二項式展開式的二項式系數和為cn+ /+ cn.()答案：(1)2(2) X (3) X2.在(1 + x)n(n N*)的二項展開式中，若只有x5的系數最大，則n等于(C. 10D . 11答案：C3.已知(ax+ 1)n的展開式中，二項式系數和為32n=答案：54.如圖是一個類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個數

3、均為3 35657111179182218 9答案：2n- 1探究點 求二項式系數或系數最大的項已知二項式1+ 2x21當n = 7時，展開式中二項式系數最大的項是T4和T5, T4的系數為C7x (功飲231T5 的系數為 c7x(2)3X 24= 70.35故展開式中二項式系數最大項的系數分別為35, 70.當n = 14時，展開式中二項式系數最大的項是T8,1所以 T8 的系數為 C14X (-)7X 27= 3 432.故展開式中二項式系數最大的項的系數為3 432.由題意知 C0+ C二項式系數的最大項的求法求二項式系數的最大項，根據二項式系數的性質對當n為奇數時，中間兩項的二項式系

4、數最大.當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大.(2) 展開式中系數的最大項的求法求展開式中系數的最大項與求二項式系數最大項是不同的,變化情況進行分析.如求(a + bx)n(a, b R)的展開式中系數的最大項，一般采用待定系數 + C2= 79,解得n= 12或n=- 13(舍去).設展開式中第(r + 1)項的系數最大，由于(2 + 2x)12= g)12 (1 + 4x)12,C12 4r > C1-1 4r-1,則C12 4r > C1 扌1 4r + 1,所以 9.4W r< 10.4.又 r 0, 1, 2,，12，所以 r = 10,所以系數最大的項為 T11

5、,1352 ,(a + b)n中的n進行討論.需要根據各項系數的正、且 T11=12 C1° (4x)10= 16 896x10.Ar > Ar - 1 ,法設展開式中各項系數分別為A0, Al, A2,，An,且第r + 1項最大，應用ArAr + 1 ,解出r，即得出系數的最大項.1. 在 (3x 2y)20 中，求：(1) 二項式系數最大的項.(2 )系數絕對值最大的項.(3) 系數最大的項.解：(1)二項式系數最大的項是第11項.T11= C20 310 ( 2)10x10y10ooo1yo1X設系數絕對值最大的項是第r + 1嘰于是C2o 320-r2r> C2

6、擊1 319-r 2 r + 1,C2o 320-r 2r > C2。1 321 -r 2r- 1,3 (r + 1) > 2 ( 20 - r),化簡得2 (21 r) > 3r, 解得十r w 85.因為r N*，所以r = 8,即T9= c2o 312 28x12y8是系數絕對值最大的項.所以 T9= C80 312 28x12y8(3) 由于系數為正的項為奇數項，且第9項的系數的絕對值最大, 是系數最大的項.探究點2 整除或余數問題 伙(1)求證 1 + 2 + 22+ 25n1 能被 31 整除(n N*)；求S= C27 + C27+-+ C除以9的余數.【解】

7、證明：1 + 2+ 22+ 25n1=2 1=25n 1 = 32n 1 = (31 + 1)n 1=Cn X 31n+ Cn31n 1 + + Cn 1X 31 + Cn 1=31(CSx 31n 1+ cn X 31n 2+ + Cn 1),顯然上式括號內的數為整數,所以原式能被31整除.(2)S= c27 + &7 + + C27 = 227- 1=89 - 1 = (9 - 1)9 1=C9 X 99 C$x 98+ + c8x 9 C9 1=9(C9 X 98 C§X 97+ + C9) 2=9(C0 X 98 C9x 97+ + C9 1) + 7,顯然上式括號內

8、的數是正整數，故S除以9的余數是7.在利用二項式定理證明整除問題或求余數問題時,要進行合理的變形，常用的變形方法是拆數，往往是將幕底數寫成兩數和或差的形式，其中的一個數是除數或其正整數倍.2如果今天是星期一，那么對于任意的自然數n,經過(23n+ 3+ 7n+ 5)天后的那一天是星期幾？解：因為 23n +3+ 7n+ 5= 8n+ 1+ 7n+ 5= (7 + 1)n+ 1+ 7n+ 5=7n + 1 + Q+ 17n+ Cn + 17 1 + + Cn+ 1 7 + Cn1 + 7n+ 5=7(7n+ Cn+ 17n 1+ Cn + 17n 2+ + Cn+ 1+ n) + 6,顯然上式括

9、號內的數是正整數.所以23n+3 + 7n + 5被7除所得的余數為6.所以對于任意自然數n,經過(23n+3+ 7n+5)天后的那一天是星期日 抹究點3 “賦值法”的應用'已知(1 2x)7= ao + a1x+ a2x2+ a7x7,求下列各式的值.(1) a1 + a2+ a7；(2) a1 + a3 + a5+ a7；(3) ao + a2 + a4+ a6；(4) |ao|+ |a11+ |a2| + |a7|.【解】 令 x= 1,貝V ao+ a1+ a2 + a3 + a4 + a5 + a6+ a7= 1，令 x = 1,貝V ao a1 + a2 a3+ a4 a5

10、+ a6 a7= 37，因為ao= C0= 1(或令x= 0，得ao= 1), 所以 ai + a2 + a3+ a7= 2.1 37(2)由(一)-2 得 ai + a3+ a5+ a7=1 094.1 + 3由( + )得 ao+ a2+ a4+ a6=2= 1 093.(4) 法一：因為(1 2x)7的展開式中ao,a2,a4,a6大于零，而a1,a3,a5,a7小于零,所以 |ao|+ |a11+ |a2|+ + |a7|=(ao+ a2+ a4+ a6) (a1 + a3+ a5 + a7)=1 093 ( 1 094) = 2 187.法二：ao|+ |a11+ |a2| + |a

11、7是 (1 + 2x)7展開式中各項的系數和,所以 |ao|+ |a1|+ + |a7|= 37 = 2 1 87.賦值法”是解決二項式系數常用的方法，根據題目要求，靈活賦給字母所取的不同值一般地，要使展開式中項的關系變為系數的關系，令x= 0可得常數項，令x=1可得所有項系數之和，令 x= 1可得奇次項系數之和與偶次項系數之和的差，而當二項展開式中 含負數時，令x=1則可得各項系數絕對值之和.3在二項式(2x 3y)9展開式中，求:(1) 二項式系數之和；(2) 各項系數之和；(3) 所有奇數項系數之和；系數絕對值的和.解：設(2x 3y)9 = a0X9 + a1 x8y + a2x7y2

12、 + + a9y9.(1) 二項式系數之和為 C0+ C9 + C9+ C9= 29.(2) 各項系數之和為 a0+ a1+ a2+ + a9,令 x = 1, y= 1，所以 a0+ a1+ a2 + + a9= (2 3)9= 1.由知，a0+ a1 + a2+ + a9= 1,令 x = 1, y = 1 可得 a0 a1 + a2 一 a9= 59,59 1將兩式相加可得ao + a2+ a4+ a6+ a8=?,59- 12即所有奇數項系數之和為(4) |ao|+ |ai |+ |a2|+ + |a9|=ao ai + a2 a3+ a9,令 x = 1, y= 1，則 |ao|+

13、|ai|+ |a2| + + |a9|9=a。一 ai + a2 a3+ 一 a9= 5 .素養提升卜 * |1. 與楊輝三角有關的問題的注意事項(1)通過觀察找出每一行數據間的相互聯系以及行與行之間數據的相互聯系后，再對數據間的這種聯系用數學式子將它表達出來，使問題得解.注意二項式系數性質Cm= cnm, Cm+1 = Cm+ cL的應用.2. 釋疑二項展開式中系數最大的項(1) 求二項式系數最大的項，根據二項式系數的性質，n為奇數時，中間兩項的二項式系數最大，n為偶數時，中間一項的二項式系數最大.(2) 求展開式中系數最大的項與求二項式系數最大的項是不同的，需根據各項系數的正、負變化情況進

14、行判斷.一般采用列不等式、解不等式的方法求解.(3) 系數最大的項不一定是二項式系數最大的項，只有當二項式系數與各項系數相等時，二者才一致.易逞防范1H 已知等比數列an的通項公式為an= 2n 1，其前n項和為0,求證：C1S1+ &住 + CnS3+-+ cnSn= 3n 2n.【證明】因為數列an為等比數列，且an= 2n 1,所以 a1= 1, q = 2,a1 (1 qn)1 2n n3= 2n 1.1 q 1 2所以 CnS1 + CnS2+ C3S3 + CnSn=cn一1) + cn(221)+c3(23 1) + + Cn(2n 1)=(cR2°+c11+c

15、2 22 + + cn 2 n)(cR+ cn + cn+ + cn)=(1 + 2)n 2n3n 2n.UH由an= 2n1，求ai、q是正確求出Sn的前提，否則下步不能處理造成失分.由公式求出S是正確代入的先決條件.將所證等式的左端正確裂項，是為了運用二項式定理及二項式系數的性質，這是關鍵的一步，此步易失分.二項式定理的逆用， 這里發揮了橋梁作用， 為結果的完美、統一起到了至關緊要的作用.1.當堂緬測"11的展開式中二項式系數最大的項是即 a = 2,A .第6項B .第8項C.第5, 6項D 第6, 7項,r11+111+1解析：選D.由n= 11為奇數，則展開式中第2項和第

16、2 + 1項，即第6項和第7 項的二項式系數相等，且最大.2已知(1 + x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為()A . 212B . 211C. 210D . 29解析：選D.因為(1 + x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，所以Cn= C7,1解得n= 10,所以二項式(1 + X)10的展開式中奇數項的二項式系數和為2X 210= 29.3. 已知 x2+ x10 = ao+ a1(x+ 1) + + a9(x+ 1)9+ a10(x + 1)10,貝V a9 的值為.解析：法一：所給等式即1 (x+ 1)2+ 1 (x+ 1)10= a&

17、#176;+ a1 (x+ 1) + + a9(x+ 1)9+ a10(x+ 1)10，而“ (x+ 1)9”只能從1 (x+ 1)10中產生，根據二項式定理，得a9= C?0= C1。=法二：因為a9與x9項的系數有關，等式左邊 x9項的系數為0，所以等式右邊x9項的系 數也為0.因為x10 的系數為aio=cYo = 1,x9的系數為a9C9 + aio Clo= a9+10=0,所以a9= 10.答案：104. (2 心)8展開式中不含x4項的系數的和為 .r 解析：(2 x)8展開式的通項為 Tr+ 1 = c8 28 r ( ,x)r= C8 28r ( 1)r x2.由2 = 4

18、得 r = 8.所以展開式中x4項的系數為C8= 1.又(2 ,x)8展開式中各項系數和為(2 1)8= 1,所以展開式中不含x4項的系數的和為0.答案：0nJR固訓練A基礎達標1.若 x3 + x(n N*)的展開式中只有第6項系數最大，則該展開式中的常數項為A. 210B. 252C. 462D. 10解析：選A.由于展開式中只有第 6項的系數最大，且其系數等于其二項式系數，所以 展開式項數為11,從而n = 10,于是得其常數項為 C60= 210.3 n2. 已知x+ J 展開式中，各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為64,則n 等于()A. 4C. 6解析：選C.令x= 1,各項

19、系數和為4n,二項式系數和為2n，故有歹=64，所以n = 6.3. 已知(a x)5= a° + a1x+a2* +a5x5,若a2 = 80,貝Uao+a1 + 寵 + 十a5=()A. 32B . 1C. 243D . 1 或一243解析：選B.展開式的通項為Tr +1= ( 1)rC5 a5-r xr,令 r = 2,貝U a2= ( 1)2C5 a3= 80,故(2 x)5= ao+ aix+ a2/+ + a5x5，令 x= 1，得 ao+ ai+ a5= 1.4.若(1 + .2)5= a+ b 2(a, b 為有理數)，則 a+ b=()B . 55C. 70D .

20、80解析：選 C.因為(1 + 2)5= c5( . 2)0+ CsC.2)1 + C2( . 2)2 + C3( ,2)3+ C5( . 2)4+ C5( . 2)5=1 + 5 2+ 20+ 20 2+ 20+ 4 2= 41 + 29 2,由已知可得41 + 29 ,2= a+ b 2,所以 a+ b= 41 + 29= 70.5.設(1 + x+ x2)n= a°+ a1x + a2x2 + + a2nx2n，貝V a°+ a2+ a4+ + a2n 等于()3n 1B.丁A. 2nC. 2n+13n+ 1D丁解析：選 D.令 x= 1 得 3n= a0+ a1+

21、a2+ + a2n 1 + a2n.令 x = 1 得 1 = a0 a1+ a2一a2n1 + a2n.+ 得 3n+ 1 = 2(ao+ a2+ + a2n),3n+ 1所以 a0+ a2+ + a2n= -2.故選 D.6.設 a Z,且 Ow a<13,若 512 016+ a 能被 13 整除，則 a =解析：由于 51 = 52 1, (52 1)2 016= C2 016522 016 C2 016 522 015+一C20幕521+ 1,又由于13能整除52,所以只需13能整除1 + a,又因為0< a<13,所以a = 12.答案：127.設(23 x 1)

22、n的展開式的各項系數之和為M，二項式系數之和為N，若M , 8, N數成等比數列，則展開式中第四項為解析：當x= 1時，可得M = 1, 二項式系數之和 N = 2n,由題意得 M N = 64,所以2n= 64, n = 6.答案：160x所以第四項T4= C6 (2 3 x)3 ( 1)3= 160x.8. (x2+ 1)(x 2)9= a°+ ai(x 1) + a2(x 1)2 + a3(x 1)3+ + aii(x 1)11，貝V ai+ a2 + a3+ aii的值為.解析：令x= i，得ao= 2.令 x = 2,得 ao+ ai+ a2+ aii= 0.所以 ai +

23、 a2 + a3+ aii = 2.答案： 29. 已知(i + 2x)n的展開式中第6項與第7項的系數相等，求展開式中二項式系數最大 的項和系數最大的項.解： T6= C5n(2x)5， T7= Cn6(2x)6.依題意有C5 25 = Cn 26，解得n = 8.所以(I + 2x)8的展開式中，二項式系數最大的項為T5= &(2x)4= i i20x4.C8 2r > C8-i 2ri,設第(r + i)項的系數最大，則有C8 2r > C8+ i 2r + i,解得5W rw 6.又 r 0 , i, 2,，8，所以 r = 5 或 r = 6.所以系數最大的項為T

24、6= i 792x5， T7= i 792x6.10. 證明：(C0)2 + (Cn)2+ (C2)2+ (Cn)2= C2n.證明： 因為 (i + x)n(i + x)n= (i + x)2n,所以(cn+ Cnx+ Cnx2 + + cnxr + + cnxn)(cn+ cnx+ Cx2+ + cnxr + + cnxn)=(i + x)2n.而C2n是(I + x)2n的展開式中xn的系數，由多項式的恒等定理,得 C0nCnn+ CinCnn i+ + CnnC0n= C2nn,因為 Cnm= Cnnm(0wmwn),所以(c0)2+ (ci)2 +(cn)2+ +(cn)2= c2n

25、.B 能力提升 1. 若(1 -2x)2017= ao+ aix+ a2 017X2 017(x R)，則牙 +12+ 需的值為()A . 2B . 0C.- 2D . - 1解析：1 1選 D.(1 2x)2 017 = a0+ a1x+ a2 017X2017，令 x=，則(1 2x)2017a1a2a2 017-=ao + + 2 +017= 0,其中ao= 1，所以 g +護+ 22 017=- 1.2. C2n + C$n+ &$+ C2n的值為 .解析：(1 + x)2n= c2n+ C2nX+ C2nx2+ C%X3+ +。2聘0.令 x = 1 得 C0n + C2n + C2n + + C2n- 1 + C2 = 2”；再令 x=- 1 得 C0n- C?n+ C2n-十(-1)C2n+ 一也-1+ C2fU 0.兩式相加，再由C0n= 1.得 C2n + C2n+ 2n+ c2n=-1= 22n-1-1.答案：22n-1 - 13. (1)已知(1 x+ x2)3(1 2x2)