1、中考數學專題復習一一存在性問題 作者:一、二次函數中相似三角形的存在性問題1 .如圖，把拋物線y x2向左平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線y (x h)2 k.所得拋物線與x軸交于A, B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C,頂點為D.(1)寫出h、k的值； (2)判斷ACD勺形狀，并說明理由；(3)在線段AC上是否存在點M使AOMbAAB。若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由2 .如圖，拋物線經過A (-2, 0) , B (-3, 3)及原點0,頂點為C.(1)求拋物線的解析式；(2)若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且 A、O D E為頂點的四邊形是平行四邊

2、形, 求點D的坐標；(3) P是拋物線上的第一象限內的動點，過點 P作PM x軸，垂足為M是否存在點P, 使得以P、M A為頂點的三角形4 BOCffi似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.二、二次函數中面積的存在性問題3 .如圖，拋物線y ax2 bx a>0與雙曲線y k相交于點A, B.已知點B的坐標為(2, 2), x點A在第一象限內，且tan/AO月4.過點A作直線AC/ x軸，交拋物線于另一點 C.(1)求雙曲線和拋物線的解析式；(2)計算 ABC的面積；(3)在拋物線上是否存在點 D,使ABD勺面積等于 ABC的面積.若存在，寫出點 D的坐標；若不存在，說明理由

3、.4 .如圖，拋物線y = ax2+c (a>0)經過梯形ABCD勺四個頂點，梯形的底 AD x軸上,A( 2,0) , B (1, -3).(1)求拋物線的解析式；(3分)(2)點M為y軸上任意一點，當點M到A、B兩點的距離之和為最小時，求此時點 M的坐標；(2分)(3)在第(2)問的結論下，拋物線上的點 P使Si戶4s"bm成立，求點P的坐標.(4分)(4)在拋物線的BD®上是否存在點Q使三角形BDQ勺面積最大，若有，求出點 Q的坐標，若沒有,說明理由。5三、二次函數中直角三角形的存在性問題5 .如圖，在平面直角坐標系中， ABC是直角三角形，/ ACB=90,A

4、C=BC,OA=1OC=4拋物線y x2 bx c經過A, B兩點，拋物線的頂點為D.(1)求b, c的值；(2)點E是直角三角形ABCM邊AB上一動點(點A、B除外)，過點E作x軸的垂線交拋物線于點F,當線段EF的長度最大時，求點E的坐標；(3)在(2)的條件下：求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積；在拋物線上是否存在一點 P,使 EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，說明理由.26題圖26題備用圖四、二次函數中等腰三角形的存在性問題6 .如圖，直線y 3x 3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C (3,0).求拋物線的解析

5、式； 在拋物線的對稱軸上是否存在點 Q,使ABQ1等腰三角形？若存在，求出符合條件的 Q點坐標;若不存在，t#說明理由.五、二次函數中等腰梯形、直角梯形的存在性問題7 .如圖，二次函數y= x2 ax b的圖像與x軸交于A 1, 0)、B(2 , 0)兩點，且與y軸交于點C;(1) 求該拋物線的解析式，并判斷 ABC的形狀；(2) 在x軸上方的拋物線上有一點 D,且以A、C、D B四點為頂點的四邊形是等腰梯形，請直接寫出D點的坐標；(3) 在此拋,物線上是否存在點 P,使彳導以A、C、B、P四點為頂點的四邊形是直角梯形？若存在，求出 P點的坐標；若不存在，說明理由。6六、二次函數中菱形的存在性

6、問題8.如圖，拋物線經過原點 。和x軸上一點A (4, 0),拋物線頂點為E,它的對稱軸與x軸交于點D. 直線y= - 2x - 1經過拋物線上一點B ( - 2, m且與y軸交于點C,與拋物線的又t稱軸交于點 F.(1)求m的值及該拋物線對應的解析式；(2) P (x, V)是拋物線上的一點，若 Saad=SaADC,求出所有符合條件的點P的坐標；(3)點Q是平面內任意一點，點 M從點F出發，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動， 設點M的運動時間為t秒，是否能使以Q A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形？若能，請直接寫出點 M的運動時間t的值；若不能，請說明理由.七、二次函數中與圓有

7、關存在性問題9.已知：拋物線 yx2(12 m)x 64m與 x 軸交于兩點 A (xi,0), B(x2,0)(x1x2,二 0),X2它的對稱軸交x軸于點N (x3, 0),若A, B兩點距離不大于6,(1)求m的取值范圍；(2)當AB=5時，求拋物線的解析式；(3)試判斷，是否存在 m的值，使過點A和點N能作圓與y軸切于點(0, 1),或過點B和點N能作圓與y軸切于點(0, 1),若存在找出滿足條件的 m的值，若不存在試說明理由定值問題:1.如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4, /BAD=120 , zAEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC. CD上滑動，且E、F不與B. C.

8、D重合.(1)證明不論E、F在BC. CD上如何滑動，總有 BE=CF;(2)當點E、F在BC. CD上滑動時，分別探討四邊形 AECF和4CEF的面積是否發生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大(或最小)值.201、【答案】解：(1)二.由平移的性質知，y (x h)2 k的頂點坐標為D (1, 4),h1, k 4 o2 (2)由(1)得 y= x 14.2當 y=0 時，x 14 0 .解N,得 X13, X2 1A( 3, 0), R1, 0).又當 x0 時，y=x12 40 1 2 43,.C點坐標為(0, 3)。又拋物線頂點坐標D ( 1, 4),作拋物線白對稱軸x

9、1交x軸于點E, DF，y軸于點F。易知在 RtAAED, AD=22+42=20,在 RtzXAOC, AC=32+32=18,在 RtACFDF, CD=12+12=2, .aC+ CD2 = aD。.ACD直角三角形(3)存在.作OM/ BC交AC于M M點即為所求點。由(2)知，AOE等腰直角三角形，/ BAC= 45°, AC 萬 372 oAB AC4 3.2由小0般 AAB(C 彳# AO AM。即 3 AM, AM 972。過M點作MG_ AB于點G,則AG=MOG=AOAG=3- 9 30又點M在第三象限，所以M(3,-) 4 4442、【答案】解：(1)設拋物線的

10、解析式為y ax2 bx ca 0 ,4a 2b c=0a=1.拋物線過 A ( - 2, 0) , B ( - 3, 3) , O (0,0)可得 9a 3b c=3 ,解得 b=2c=0c=0拋物線的解析式為y x2 2x(2)當AE為邊時，: A Q D E為頂點的四邊形是平行四邊形，DE=AO=2則D在x軸下方不可能，D在x軸上方且DE=2則D (1, 3) , D2 (-3, 3)。當AO為對角線時，則DE與AO互相平分。點E在對稱軸上，且線段 AO的中點橫坐標為-1,由對稱性知，符合條件的點 D只有一個，與點C重合，即C(- 1, - 1)。故符合條件的點D有三個，分別是 D (1

11、, 3) , D2 (-3, 3) , C (-1, - 1)。(3)存在，如圖：: B (-3, 3) , C(- 1, - 1),根據勾股定理得:BO=18, CO=2, bC=20, .BO+CO=BC.BOO直角三角形。假設存在點P,使以P, M, A為頂點的三角形與 BOG目似,設P ( x , y),由題意知x>0,若 AMDABO(C則AM PMBO即 x+2=3 ( x2+2x)得:COxi=-, 3當x=1 時，y = 7,即 P (1, 7)。3939若PM#ABOC 則，BO PM oCO BOx 2= - 2 (舍去).y >0,且 y x2即：x2+2x=

12、3 (x+2)得：xi=3, X2=-2 (舍去)當 x=3 時，y = 15,即 P (3, 15).故符合條件的點P有兩個，分別是P(1，7)或(33915)3、【答案】解：(1)把點B( 2, -2)的坐標代入雙曲線的解析式為：y0x設A點的坐標為（mi, n） .; A點在雙曲線上，.二mn= 4又,. tan/AOX= 4,m =4,即 mi= 4n。 .n2=1, .n=±1。n.A點在第一象限，n=1, m4。，A點的坐標為（1,4）。a b 4把A、B點的坐標代入y ax bx得，4a 2b 2，解得，a=1, b=3拋物線的解析式為：y x2 3x0（2） AC/

13、x軸，.點C的縱坐標y = 4,代入y x2 3x得方程，x2 3x 4 0,解得x1 = 4, x2=1 （舍去）.C點的坐標為（一4, 4）,且AO 51又.ABC的圖為 6,.ABC的面積=-X5X6= 15。2（3）存在D點使4ABD的面積等于 ABC勺面積。理由如下：過點C作CD/ AB交拋物線于另一點D,此時 ABD勺面積等于 ABC的面積（同底：AB,等高：CD和AB的距離）。二.直線AB相應的一次函數是：y 2x 2,且CD/ AB,可設直線CDS析式為y 2x p ,把C點的坐標（-4, 4）代入可得，p 12。直線CDf目應的一次函數是：y 2x 12。2解方矛5組y x

14、,解得，x 3 0y 2x 12y 18點D的坐標為（3, 18）。4. (1)、因為點A B均在拋物線上，故點 A B的坐標適合拋物線方程4a c 0a c 3解之得:;故y x2 4為所求4(2)如圖2,連接BR交y軸于點M,則點M就是所求作的點2k設BD的斛析式為y kx b ,則有 k03'k 1b 2'故BD的解析式為y x 2 ;令x 0,則y 2 ,故M (0, 2)、如圖3,連接AM BC交y軸于點N,由(2)知，OM=OA=OD= AMB 90易知BN=MN1=,易求AM 2亞 BM &Svabm 1 2&亞 2;設 P(x,x2 4),212

15、1依題意有：ADgx2 4 4 2,即：4gx2 4 4 2 22解之彳$ x 2石，x 0,故符合條件的P點有三個：P(2冠,4), P2( 2應,4), P3(0, 4)5.解答：解：(1)由已知得：A( 1, 0) , B (4, 5),二次函數 y=x2+bx+c 的圖象經過點 A(- 1, 0) , B (4, 5),f. -b+C=Q 解得：b= 2, c=-3;l16 + 4i + c = 5(2)如圖：二直線 AB經過點A(-1, 0) , B (4, 5) , 直線AB的解析式為：y=x+1, .二次函數 y=x2- 2x- 3,.設點 E (t , t+1 )，貝U F (

16、t , t2 2t -3), .EF=(t+1) - (t2-2t -3) =- (t-9)2號，當t=|時，EF的最大值為系：點E的坐標為（I', 1）;（3）如圖：順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD 315可求出點F的坐標（W,）,點D的坐標為（1, - 4）1 253；1 25375S 四邊形 EBFD=S BEF+Sa def=£X （4 - J） +3X g1） =T如圖:i）過點E作a± EF交拋物線于點P,設點P （mi, m2 - 2nn- 3）則有：m2- 2mi- 2=,2Z+逐 -?-屏百、-z2+<6 5、斛得：mi= j , m

17、2=二, P1 （ J , 2）, P2 （2，2），ii）過點F作b± EF交拋物線于P3,設P3 （n, n2-2n- 3）則有：n2- 2n-2=-學,1 qi 15解得：n1=2, n2=y （與點F重合，舍去），.二P3信，,綜上所述：所有點 P的坐標：Pi （一 1） , P2 （安普，1） , P3 （1, 空） 能使4EFP組成以EF為直角邊的直角三角形.6.解：(1);當乂=0時，y=3 當 y=0 時，x = 1；A( 1, 0) , B(0, 3). C (3, 0)1分設拋物線的解析式為y=a ( x+1) ( x - 3).-3=axix (-3).,.a=

18、- 1此拋物線的解析式為y = - ( x + 1 ) (x - 3) =- x 2 +2 x +3 2分13.八二,拋物線的對稱軸為：x=-=1 . 4分如圖對稱軸與x軸的交點即為Q1v OA=OQ 1 , BO ± AQ 1 a AB=Q 1 B Q 1 (1, 0)6分當Q2 A=Q2 B時，設Q 2的坐標為(1, m1. .22+mf =12+ (3- m 2m=1 Q 2 (1, 1)8分當 Q3A = AB 時，設 Q3 (1, n). 22+n2 =12+32. n>0n=<'6 Q 3 (1,而).符合條件的Q點坐標為Q1 (1, 0) , Q 2

19、 (1, 1) , Q 3 (1, V6) 10分7、答案：解（1）根據題意，將A（ 0）,蛻2, 0）代入y= x21ax b中，得 441 a22a解這個方程，得a=3, b=1, 該拋物線的解析式為y= x2 3x 1,當x=0時，y=1, 22.點 C 的坐標為（0, 1）。在AOCfr , AC= JOA2 OC2 = Jg）2 12 §。在 BOC , BG= VOB2 OC2 = v22 12=75 0AB=OAOB=1 2=5, . AC2 BC2=5 5=25=AB2, .ABC是直角三角形。2244（2）點D的坐標為（3，1）。（3）存在。由（1）知，AC BC若

20、以BC為底邊，則BC/ AP,如圖1所示，可求得直線BC的解析式為y= 1x 1,直線AP可以看作是由直線2BC平移得到的，所以設直線 AP的解析式為y= lx b,2,11把點A（ 1, 0）代入直線AP的解析式，求得b=:，直線AP的解析式為y= 1x 10二點P既在拋物線上，又在直線 AP上, 24點P的縱坐標相等，即x2 -x 1= 2x1,解得玄二勺， 2242x2= 2 （舍去）。當 x= 2時，y= 2 , 點 P（：,：）。若以AC為底邊，則BP/ AG如圖2所示?？汕蟮弥本€AC的解析式為y=2x 1。直線BP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設直線BP的解析式為y=2x b

21、,把點B（2, 0）代入直線BP的解析式，求得b= 4,直線BP的解析式為y=2x 4。點P既在拋物線上，又在直線 BP上，.點P的縱坐標相等，即 x2 3x 1=2x 4,解得 x1= 5, x2=2（舍去）。 22當x二 5時，y= 9, 點P的坐標為（2 , 9）。綜上所述，滿足題目條件的點 P為（5, 當或（5, 9）。2224a-2bk解得：卜 16a+4b=0l_ _任已-5)8.解：(1) 丁點 B ( 2, n)在直線 y=-2x- 1 上m=3 即 B ( 2, 3) 又拋物線經過原點 O.設拋物線白解析式為y=ax2+bx點B ( - 2, 3) , A (4, 0)在拋物

22、線上設拋物線的解析式為v=1k2-x.4(2) v P (x, y)是拋物線上的一點，. p (心工7,4右 S>AADF=S>AADC, S瞰弓AD0C，弓前，目，又丁點C是直線y= - 2x - 1與y軸交點, .C (0, 1) , o OC=1富 |二。，即 J J 一 K= 1 或一 K=- 11444解得：k產2+2調1 12- 22,工3rd=2 點 P 的坐標為 F (2+2&| L) , ?之(2-2«, 1) , P3 (2, -1)(3)結論：存在.拋物線的解析式為 尸!廣一，頂點E (2, -1),對 稱軸為x=2;點F是直線y=-2x-

23、1與對稱軸x=2的交點，. F (2,-5) , DF=5又A (4, 0) ,. AE<5，如右圖所示，在點M的運動過程中，依次出現四個菱形：菱形AEMQ. _.工匕時 DM=AE=/, .MF=DF- de- DM=4一陰，.-.t1=4-菱形AEOM 止匕時 DM=DE=1, . MF=DF+DM6, 2=6;菱形AEMQ. _ 止匕時 EM=AE=/,.DM=EM DE5- 1, .MF=DM+DF=(近 T) +5=4+/5, . 3=4+/5;菱形AMEQ.此時AE為菱形的對角線，設對角線AE與MQ交于點H,則AE± MQ,.易知 AEM MEH,Vs冷|,得M>E1 .DM=ME- DE=-1=二22 . MF=DM+DF=+5也， 222綜上所述，存在點 M點Q,使彳導以Q A、E M四點為頂點的四邊形是菱形;時間 t 的值為：ti=4一代，t2=6, 13=4+/g, t4專.9.解：(1)令 y=0,貝 x2(1 2m)x 6 m 0;x1x2，且上0, .x10,x20X2 AB 2 (2m 3) 5 2mx1 2m 3, x22. . A(2m 3, 0), B(