1、難題突破專題二相似三角形研究1.求證兩三角形相似，方法有：(1)對應(yīng)的兩個(gè)角相等(經(jīng)常用到)；(2)三組對應(yīng)邊成比例；(3)兩組對應(yīng)邊成比例，并且相應(yīng)的夾角相等；(4)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；(5)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形(定義)2.相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，相似比邊長比周長比對應(yīng)高的比對應(yīng)中線的比對應(yīng)角平分線的比；面積比相似比的平方3.做題時(shí)靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)類型1三角形相似基本圖形1例題：（2017哈爾濱）如圖，在ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，DEBC，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，連接AF

2、交DE于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A =B =C =D =【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可求出答案【解答】解：（A）DEBC，ADEABC，故A錯(cuò)誤；（B）DEBC，故B錯(cuò)誤；（C）DEBC，故C正確；（D）DEBC，AGEAFC，=，故D錯(cuò)誤；故選（C）同步訓(xùn)練：（2017內(nèi)江）如圖，正方形ABCD中，BC=2，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連接DM，DM與AC交于點(diǎn)P，點(diǎn)E在DC上，點(diǎn)F在DP上，且DFE=45°若PF=，則CE=【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)【分析】如圖，連接EF首先求出DM、DF的長，證明DEF

3、DPC，可得=，求出DE即可解決問題【解答】解：如圖，連接EF四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA=2，DAB=90°，DCP=45°，AM=BM=1，在RtADM中，DM=，AMCD，=，DP=，PF=，DF=DP=PF=，EDF=PDC，DFE=DCP，DEFDPC，=，=，DE=，CE=CDDE=2=故答案為類型2三角形相似基本圖形2例題：（2017山東臨沂）已知ABCD，AD與BC相交于點(diǎn)O若=，AD=10，則AO=4【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可【解答】解：ABCD，=，即=，解得，AO=4，故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線

4、分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵同步訓(xùn)練：（2017綏化）如圖，在ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，連接BE并延長交AD于點(diǎn)F，已知SAEF=4，則下列結(jié)論： =；SBCE=36；SABE=12；AEFACD，其中一定正確的是（）ABCD【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；L5：平行四邊形的性質(zhì)【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AE=CE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=，等量代換得到AF=AD，于是得到=；故正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到SBCE=36；故正確；根據(jù)三角形的面積公式得到SABE=12，故正確；由于AEF與ADC只有一個(gè)角相等，于是得到AEF

5、與ACD不一定相似，故錯(cuò)誤【解答】解：在ABCD中，AO=AC，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，AE=CE，ADBC，AFECBE，=，AD=BC，AF=AD，=；故正確；SAEF=4， =（）2=，SBCE=36；故正確；=，=，SABE=12，故正確；BF不平行于CD，AEF與ADC只有一個(gè)角相等，AEF與ACD不一定相似，故錯(cuò)誤，故選D 解題方法點(diǎn)析 “K”字型相似基本圖形2，根據(jù)三個(gè)角相等，聯(lián)想到“K”字型基本圖形1，便于快速找到相似三角形，從而利用相似的有關(guān)性質(zhì)解決問題類型3三角形相似基本圖形3例題：（2017山東泰安）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，MEAM，ME交AD的延長線于點(diǎn)E若A

6、B=12，BM=5，則DE的長為（）A18BCD【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KQ：勾股定理；LE：正方形的性質(zhì)【分析】先根據(jù)題意得出ABMMCG，故可得出CG的長，再求出DG的長，根據(jù)MCGEDG即可得出結(jié)論【解答】解：四邊形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，MC=125=7MEAM，AME=90°，AMB+CMG=90°AMB+BAM=90°，BAM=CMG，B=C=90°，ABMMCG，=，即=，解得CG=，DG=12=AEBC，E=CMG，EDG=C，MCGEDG，=，即=，解得DE=故選B同步訓(xùn)練：（2016·山東省東營

7、市·3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BEAC，垂足為點(diǎn)F，連接DF，分析下列四個(gè)結(jié)論：AEFCAB；CF2AF；DFDC；tanCAD其中正確的結(jié)論有( )A.4個(gè) B3個(gè) C2個(gè) D1個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】特殊平行四邊形矩形的性質(zhì)、相似三角形相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)值的求法【答案】B.【解析】矩形ABCD中，ADBC.AEFCAB.正確；AEFCAB，CF2AF正確；過點(diǎn)D作DHAC于點(diǎn)H.易證ABFCDH(AAS).AFCH.EFDH, 1.AFFH.FHCH.DH垂直平分CF.DFDC. 正確；設(shè)EF1，則BF2.ABFEAF.AF.tanABF.

8、CADABF，tanCADtanABF.錯(cuò)誤.故選擇B.【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，銳角三角函數(shù)值的求法，正確的作出輔助線是解本題的關(guān)鍵類型4三角形相似基本圖形4例題：（2017畢節(jié)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且EAF=45°，將ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處，則下列判斷不正確的是（）AAEE是等腰直角三角形BAF垂直平分EE'CEECAFDDAEF是等腰三角形【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；KI：等腰三角形的判定；KW：等腰直角三角形；LE：正方形

9、的性質(zhì)；S8：相似三角形的判定【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AE，EAE=90°，于是得到AEE是等腰直角三角形，故A正確；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到EAD=BAE，由正方形的性質(zhì)得到DAB=90°，推出EAF=EAF，于是得到AF垂直平分EE'，故B正確；根據(jù)余角的性質(zhì)得到FEE=DAF，于是得到EECAFD，故C正確；由于ADEF，但EAD不一定等于DAE，于是得到AEF不一定是等腰三角形，故D錯(cuò)誤【解答】解：將ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處，AE=AE，EAE=90°，AEE是等腰直角三角形，故A正確；將ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋

10、轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處，EAD=BAE，四邊形ABCD是正方形，DAB=90°，EAF=45°，BAE+DAF=45°，EAD+FAD=45°，EAF=EAF，AE=AE，AF垂直平分EE'，故B正確；AFEE，ADF=90°，F(xiàn)EE+AFD=AFD+DAF，F(xiàn)EE=DAF，EECAFD，故C正確；ADEF，但EAD不一定等于DAE，AEF不一定是等腰三角形，故D錯(cuò)誤；故選D同步訓(xùn)練：（2017湖南株洲）如圖示，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點(diǎn)G，連接CF求證：DAED

11、CF； 求證：ABGCFG【考點(diǎn)】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性質(zhì)【分析】由正方形ABCD與等腰直角三角形DEF，得到兩對邊相等，一對直角相等，利用SAS即可得證；由第一問的全等三角形的對應(yīng)角相等，根據(jù)等量代換得到BAG=BCF，再由對頂角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證【解答】證明：正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，ADC=EDF=90°，AD=CD，DE=DF，ADE+ADF=ADF+CDF，ADE=CDF，在ADE和CDF中，ADECDF；延長BA到M，交ED于點(diǎn)M，ADECDF，EAD=FCD，即EAM

12、+MAD=BCD+BCF，MAD=BCD=90°，EAM=BCF，EAM=BAG，BAG=BCF，AGB=CGF，ABGCFG專 題 訓(xùn) 練1. （2017張家界）如圖，D，E分別是ABC的邊AB，AC上的中點(diǎn)，如果ADE的周長是6，則ABC的周長是（）A6B12C18D24【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KX：三角形中位線定理【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出AD=AB、AE=AC的長，根據(jù)三角形中位線定理求出DE=AB，根據(jù)三角形周長公式計(jì)算即可【解答】解：D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，AD=AB，AE=AC，DE=BC，ABC的周長=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=

13、2（AD+AE+DE）=2×6=12故選B2. （2017深圳）如圖，在RtABC中，ABC=90°，AB=3，BC=4，RtMPN，MPN=90°，點(diǎn)P在AC上，PM交AB于點(diǎn)E，PN交BC于點(diǎn)F，當(dāng)PE=2PF時(shí)，AP=3【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】如圖作PQAB于Q，PRBC于R由QPERPF，推出=2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQBC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，設(shè)PQ=4x，則AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解決問題【解答】解：如圖作PQAB于Q，PRBC于RPQB=QBR=B

14、RP=90°，四邊形PQBR是矩形，QPR=90°=MPN，QPE=RPF，QPERPF，=2，PQ=2PR=2BQ，PQBC，AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，設(shè)PQ=4x，則AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，2x+3x=3，x=，AP=5x=3故答案為33. （2017.江蘇宿遷）如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），滿足DEF=B，且點(diǎn)D、F分別在邊AB、AC上（1）求證：BDECEF；（2）當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：FE平分DFC【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)等

15、腰三角形的性質(zhì)得到B=C，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義得到BDE=CEF，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解答】解：（1）AB=AC，B=C，BDE=180°BDEB，CEF=180°DEFDEB，DEF=B，BDE=CEF，BDECEF；（2）BDECEF，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BE=CE，DEF=B=C，DEFCEF，DFE=CFE，F(xiàn)E平分DFC4. （2017呼和浩特）如圖，在ABCD中，B=30°，AB=AC，O是兩條對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作AC的垂線分別交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)M是邊AB的一

16、個(gè)三等分點(diǎn)，則AOE與BMF的面積比為3：4【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；L5：平行四邊形的性質(zhì)【分析】作MHBC于H，設(shè)AB=AC=m，則BM=m，MH=BM=m，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得OA=OC=AC=m，解直角三角形求得FC=m，然后根據(jù)ASA證得AOECOF，證得AE=FC=m，進(jìn)一步求得OE=AE=m，從而求得SAOE=m2，作ANBC于N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及解直角三角形求得BC=m，進(jìn)而求得BF=BCFC=mm=m，分別求得AOE與BMF的面積，即可求得結(jié)論【解答】解：設(shè)AB=AC=m，則BM=m，O是兩條對角線的交點(diǎn)，OA=OC=AC=m，B=30°，A

17、B=AC，ACB=B=30°，EFAC，cosACB=，即cos30°=，F(xiàn)C=m，AEFC，EAC=FCA，又AOE=COF，AO=CO，AOECOF，AE=FC=m，OE=AE=m，SAOE=OAOE=××m=m2，作ANBC于N，AB=AC，BN=CN=BC，BN=AB=m，BC=m，BF=BCFC=mm=m，作MHBC于H，B=30°，MH=BM=m，SBMF=BFMH=×m×m=m2，=故答案為3：45. （2017四川眉山）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過頂點(diǎn)B作BFDE，垂足為F，B

18、F分別交AC于H，交BC于G（1）求證：BG=DE；（2）若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，求的值【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)【分析】（1）由于BFDE，所以GFD=90°，從而可知CBG=CDE，根據(jù)全等三角形的判定即可證明BCGDCE，從而可知BG=DE；（2）設(shè)CG=1，從而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易證ABHCGH，所以，從而可求出HG的長度，進(jìn)而求出的值【解答】解：（1）BFDE，GFD=90°，BCG=90°，BGC=DGF，CBG=CDE，在BCG與DCE中，BCGDCE（ASA），

19、BG=DE，（2）設(shè)CG=1，G為CD的中點(diǎn)，GD=CG=1，由（1）可知：BCGDCE（ASA），CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，sinCDE=，GF=，ABCG，ABHCGH，=，BH=，GH=，=6. （2017湖北江漢）在RtABC中，ACB=90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B在AC同側(cè)，DACBAC，且DA=DC，過點(diǎn)B作BEDA交DC于點(diǎn)E，M為AB的中點(diǎn)，連接MD，ME（1）如圖1，當(dāng)ADC=90°時(shí)，線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系是MD=ME；（2）如圖2，當(dāng)ADC=60°時(shí)，試探究線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，當(dāng)ADC=時(shí)，求的值【考點(diǎn)】SO：相似形綜合題【分析】（1）先判斷出AMFBME，得出AF=BE，MF=ME，進(jìn)而判斷出EBC=BEDECB=45°=ECB，得出CE=BE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法即可；（3）同（1）的方法判斷出AF=BE，MF=ME，再判斷出ECB=EBC，得出CE=BE即可得出MDE=，即可得出結(jié)論【解答】解：（1）如