1、精品資源§ 3.數列知識要點1.等差、等比數列:等差數列等比數列定義an + -a n d=q(q,。) an遞推公式an =an+d ； an =am_n +mdn _man =anq ； an =amq通項公式an =a1 +(n _-)dn/.八、an =aiq( a-, q #0 )中項a an _k +a n * A =2(n, k w N ,n >k >0 )G =±an_kan« (an_kan* - 0)(n,kWN ,nkA0)前n項和Sn = (a- +an)n(n -1) Sn =na1 +-dSn = "rmnai(q

2、 =1)a'ELaTnq (q 之2)1 -q1 -q重要性質.*am+an =ap +aq(m,n, p,q = N ,m +n = p +q),一一*,，、am an =ap aq(m,n, p,q 匚 N ,m+n= p+q)看數列是不是等差數列有以下三種方法：an an=d（n之2,d為常數）2an =an .1 an（n _2） an =kn +b（ n, k 為常數）.看數列是不是等比數列有以下四種方法：an =anq（n至2,q為常數，且#0） an =an + an（n 22 , a n an +a n 1- 00）注：i. b=JC,是a、b、c成等比的雙非條件，即

3、b=JaCa、b、c等比數列.ii. b =Tac （ac>0）-為a、b、c等比數列的充分不必要iii. b =±Jac-為a、b、c等比數列的必要不充分.iv. b =±70c且ac-0f為a、b、c等比數列的充要.注意：任意兩數a、c不一定有等比中項，除非有ac>0,則等比中項一定有兩個an =cqn （c,q為非零常數）.正數列 an成等比的充要條件是數列 log x an （ x -）成等比數列.Si = a（n = 1）數列 an的前n項和Sn與通項an的關系：an =1 1Sn -Snj（n _2）注:an三1 qn _1 d =nd +（a1 -

4、d ） （ d可為零也可不為零-為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）-若d不為0,則是等差數列充分條件）.等差an前n項和Sn = An2+Bn = l： n 2 +1 a1 -。 - d可以為零也可不為零為等差的充要條件一若d為零，則是等差數列的充分條件；若 d不為零，則是等差數列的充分條件 .非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列） 2 .等差數列依次每k項的和仍成等差數列，其公差為原公差的k2倍Sk, S2k Sk ,S3k S2k.;若等差數列的項數為2 n（n三N +）,則S偶一S奇= nd,三 =an ;S偶an平若等差數列的項數為2n 1.

5、EN +）,則S2n=0n 1 ,n,且S奇一S偶=an, S奇二nS 偶 n _1二代入n到2n _1得到所求項數.3 .常用公式：1+2+3+n = n（n +1）2 12 22 32 ./門 1 2n 162 13 23 33 n3 = n n 1一 2n5汪:熟悉常用通項：9, 99, 999, = an =10“ -1 ； 5, 55, 555,n an =一（10n 1） 94 .等比數列的前n項和公式的常見應用題：生產部門中有增長率的總產量問題.例如，第一年產量為a,年增長率為r,則每年的產量成等比數歹U,aa -(1 - r)n1 一(1 ' r)公比為1十r .其中第

6、n年產量為a（1十r）n，且過n年后總產量為:a - a(1 - r) - a(1 - r) 2 ,，a(1 - r)n,銀行部門中按復利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存 a元，利息為r ,每月利息按復利計算，則每 月的a元過n個月后便成為a（1 +r）n元.因此，第二年年初可存款:121110a(1 , r)1 一(1r嚴a(1 r) a(1 r) a(1 r) a(1 r)=1(1 r)ar(1 + r m二' X =1rm -1分期付款應用題：a為分期付款方式貸款為 a元；m為m個月將款全部付清；r為年利率.a1rmf1rm' x1rm，x1 r x= a1 r m

7、-x1-1-5 .數列常見的幾種形式：q為二階常數）T用特證根方法求解. a n 七=pa n 由 Pa n（ p、具體步驟：寫出特征方程X2=Px+q （ x2對應an七，x對應an+），并設二根X1 , X2若X1力2可設 an. 士ixn 把 2x2 ，若 X1=X2 可設 an =(Ci+C2n)X；由初始值 a1,a2 確定 Ci ,C2 .an = Pan* (P、r為常數) t用轉化等差，等比數列；逐項選代；消去常數n轉化為a n史=Pan中4qan的形式，再用特征根方法求 an ；an=Ci+C2Pn，(公式法)，Ci ,C2由ai,a2確定.r轉化等差，等比：an 1 x =

8、P(an x)= an 1 = Pan Px -x= x .P -1選代法：an =Panr =P(Pan/ r) r -an =(a1 - r )Pn_l- r = (a1 x)Pn-xP -1 P -1=Pnai Pn/ l ，Pr r.a Pa r 用特征方程求斛：*目減，=a n書-an = Pan-Pan=an由=(P+1) an-Pan.an =Panr由選代法推導結果：C1=r, c2 =a1 + , an =C2Pn1 = (a1+r) Pn,+.1 -PP -1P -11 -P6.幾種常見的數列的思想方法：等差數列的前n項和為Sn ,在d Y0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：d od一是求使an >0,an+0,成立的n值；二是由Sn =n2+(a1 一一)n利用二次函數的性質求 n的值.22如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前