1、相似三角形解題方法、技巧、步驟、輔助線解析 一、相似、全等的關系全等和相似是平面幾何中研究直線形性質的兩個重要方面，全等 形是相似比為1的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣.因而學習 相似形要隨時與全等形作比較、明確它們之間的聯系與區別；相似形 的討論又是以全等形的有關定理為基礎.二、相似三角形（1）三角形相似的條件:;三、兩個三角形相似的六種圖形:衆件DEBC條件條件衆件AB"DE條件條件AD是RtABC斜邊上的高只要能在復雜圖形中辨認出上述基本圖形，并能根據問題需要舔加適 當的輔助線，構造出基本圖形，從而使問題得以解決.四、三角形相似的證題思路：判定兩個三角形相似思路：1）先找兩

2、對內角對應相等（對平行線型找平行線），因為這個條件最 簡單；2）再而先找一對內角對應相等，且看夾角的兩邊是否對應成比例;3）若無對應角相等，則只考慮三組對應邊是否成比例；找另一滬兩角對應相等，兩三角形相似找夾邊對應成疋荷兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似I找夾角相等兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似找第三邊也對應成疋初三邊對應成比例，兩三角形相似兩角對應相等，兩三角形相似找兩邊對應成比例判定定理1或判定定理4找頂角對應辟判定定理1找底角對應扁事判定定理1找底和腰對應成曲列判定定理3e）相似形的傳遞性 若厶、s0, A2A3,則五、“三點定形法”，即由有關線段的三個不同的端點來確定三角形

3、 的方法。具體做法是：先看比例式前項和后項所代表的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，若能，則只要證明這兩 個三角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若不能，再看每個比的 前后兩項的兩條線段的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定 一個三角形，則只要證明這兩個三角形相似就行了，這叫做'豎定”。例1、已知：如圖,AABC中，CE丄AB,BF丄AC.求證：AE ACAFBA（判斷“橫定”還是“豎定”） 例2、如圖，CD是RtAABC的斜邊AB上的高，ZBAC 平分線分別交BC、CD于點E、F, AC AE=AF AB嗎 說明理由。CDB分析方法:1）先將積式2） （ “橫定”還是“豎

4、定”）例1、已知：如圖，AABC中，ZACB二90： AB的垂直平分線交AB于D,交BC延長線于F。求證：CD2=DE DF。分析方法：1）先將積式2） （"橫定”還是“豎定”）六、過渡法（或叫代換法）有些習題無論如何也構造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運 用“過渡”，其主要類型有三種，下面分情況說明.1、等量過渡法（等線段代換法）遇到三點定形法無法解決欲證的問題時，即如果線段比例式中的四 條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段 雖然組成兩個三角形，但這兩個三角形并不相似，那就需要根據已 知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段， 如果沒有，可考

5、慮添加簡單的輔助線。然后再應用三點定形法確定 相似三角形。只要代換得當，問題往往可以得到解決。當然，還要 注意最后將代換的線段再代換回來。例1:如圖3, ZiABC中，AD平分ZBAC, AD的垂直平B D C圈3瓦分線FE交BC的延長線于E求證：DE2 = BE CE.分析:2、等比過渡法（等比代換法）當用三點定形法不能確定三角形，同時也無等線段代換時，可以 考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋， 也就是通過對已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結論中 某個比相等的比，并進行代換，然后再用三點定形法來確定三角 形。AC的中點，ED交AB的延長線于點F.例 2:如圖 4,在

6、ZiABC 中，ZBAC二90° , AD丄BC,求證.AB DFAC AF3、等積過渡法（等積代換法）思考問題的基本途徑是：用三點定形法確定兩個三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點定形法不能確定兩個相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時，則考慮用等積代換法。例3:如圖5,在ZABC中，ZACB二90° , CD是斜邊AB上的 高，G是DC延長線上一點，過B作BE丄AG,垂足為E,交CD于點 F.求證：CD2=DF DG.小結：證明等積式思路口訣：“遇等積，化比例：橫找豎找定相似；不相似，不用

7、急：等線等比來代替。”同類練習：1. 如圖，點D、E分別在邊AB、AC上，且ZADE二ZC 求證：(1) AADEAACB；(2)AD AB二AE AC.2.如圖，ZABC中，點DE在邊BC上，且AADE是等邊三角形,ZBAC=120°求證： (1) AADBACEA；(2) DE2 =BD CE;(3) AB AC=AD BC.3.如圖，平行四邊形ABCD中，E為BA延長線上一點，ZD= ZECA.求證：ADEC=ACEB .少5.如圖，E是平行四邊形的邊DA延長線上一點，EC交AB于點G,交BD于點F,求證：FC2 二FGEF.6.如圖，E是正方形ABCD邊BC延長線上一點，連接

8、AE交CD于F,過F作FM/7BE交DE于M.求證：FM=CF.7.如圖，AABC中，AB=AC,點D為BC邊中點,CE/7AB, BE分別交AD、AC于點F、G,連接FC.求證:(1) BF=CF.(2) BF2 =FG FE.8.如圖，ZABC二90° ,AD二DB,DE丄AB,求證：DC2 二DEDF.G9.如圖，ABCD 為直角梯形，ABCD,AB丄BC,AC丄BD。AD二 BD,過 E作EFAB交AD于F.是說明：(1) AF二BE;(2)AF2 二AE EC10. AABC 中，ZBAC二90° ,AD丄BC, E 為 AC 中點。求證：AB：AC=DF:AFo

9、1k 已知，CE是RTAABC斜邊AB上的高，在EC延長線上任取一點例3如圖7在中，肋是邊上的中線，是肋的中點, %的延長線交ME于M求：AN：人3的值;例4 如圖8在矩形力磁中，F是的中點，BE丄AC交AC于F.過 F作 FG/AB 交 于 G.求證：AG2=AFXFC例5 如圖在中，。是邊的中點，且AD=AC, DEL BC, 交AB于點、E, EC交AD于點、F.求證：ABgFCD;丐彩 =5, BC=g 求 QF的長.例6 如圖10過的頂點C任作一直線與邊MB及中線前Q分別交于點F和£過點作DM/FC交肋于點胚S四邊矽磁尸=2: 3,來AE*. ED求證：AEXFB=2AFX

10、ED例7 己知如圖11在正方形ABCD的邊長為1, P是CQ邊的中點，0在線段上，當為何值時，與妙相似例 8 己知如圖 12 在梯形 ABCD 中，AD/BC, Z/1=90°, AB=7, AD=2, BC=3.試在邊SB上確定點P的位置，使得以只力、Q為附 點的三角形與以P、B. 6為頂點的三角形相似.例11.如圖，已知AABC中，AB二AC, AD是BC邊上的中線，CFBA,BF交AD于P點，交AC于E點。求證：BP2=PE PFo例 12.如圖，已知：在ZABC 中，ZBAC二900, AD丄BC,E是AC的中點，ED交AB的延長線于F。AB _DF 求證：AC = AF o

11、九.相似三角形中的輔助線 在添加輔助線時，所添加的輔助線往往能夠構造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進行相關的計算找到等量關系。主要的輔助線有以下幾種：一、作平行線例1.如圖，ZC的AB邊和AC邊上各取一點D和E,且使AD=AE,DE延長線與BC延長線相交于F,求證： CF CE例3、如圖45,B為AC的中點，E為BD的中點，則AF：AE=C例4、如圖4-7,已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于0點，E為AB延長線上一點，0E交BC于F,若AB二a, BC=b, BE二c,求BF的長.例5、AABC中，在AC上截取AD,在CB延 長線上截取BE,使AD=BE,求證：DF.AC二BC.FE例6:如圖AABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E,交 AB 于 F,求證：AE： ED二2AF： FB。A二. 作延長線 例7