1、專題06 二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及應(yīng)用一 選擇題1. （唐山市遵化市一模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)(0,1)和(-1,0)，下列結(jié)論：ab<0，b2-4ac>0，a-b+c<0，c=1，當(dāng)x>-1時(shí)，y>0其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()a. 2個(gè)b. 3個(gè)c. 4個(gè)d. 5個(gè)【解析】有圖象可知，a<0，b>0，則ab<0，故正確；圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)，則b2-4ac>0，故正確；圖象過點(diǎn)(-1,0)，則a-b+c=0，故錯(cuò)誤；圖象過點(diǎn)(0,1)，則c=1，故正確；由圖象可知，當(dāng)x>-1時(shí)，一部分函數(shù)

2、值大于0，有一個(gè)函數(shù)值等于0，還有一分部小于0，故錯(cuò)誤；由上可得，正確的結(jié)論是，有3個(gè)；故選：b2.（合肥168中一模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示，在下列五個(gè)結(jié)論中：2a-b<0；abc<0；a+b+c<0；a-b+c>0；4a+2b+c>0，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)有()a. 1個(gè)b. 2個(gè)c. 3個(gè)d. 4個(gè)【解析】：由函數(shù)圖象開口向下可知，a<0，由函數(shù)的對(duì)稱軸x=-b2a>-1，故b2a<1，a<0，b>2a，所以2a-b<0，正確； a<0，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，a，b同號(hào)，圖象與y軸交于負(fù)半

3、軸，則c<0，故abc<0；正確；當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c<0，正確；當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c<0，錯(cuò)誤；當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c<0，錯(cuò)誤；故錯(cuò)誤的有2個(gè)故選：b3.（宿州市一模）如圖，在矩形abcd中，ab4，bc6，當(dāng)直角三角板mpn的直角頂點(diǎn)p在bc邊上移動(dòng)時(shí)，直角邊mp始終經(jīng)過點(diǎn)a，設(shè)直角三角板的另一直角邊pn與cd相交于點(diǎn)qbpx，cqy，那么y與x之間的函數(shù)圖象大致是（）abcd【解析】設(shè)bpx，cqy，則ap242+x2，pq2（6x）2+y2，aq2（4y）2+62；apq為直角三角形，ap2+pq2aq2，即42+x2+（6x）2+

4、y2（4y）2+62，化簡(jiǎn)得：y整理得：y根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可看出d中的函數(shù)圖象與之對(duì)應(yīng)故選：d4.（淮北市名校聯(lián)考一模）如圖，在abc中，ab=10，ac=8，bc=6，直線l經(jīng)過點(diǎn)a，且垂直于ab，分別與ab、ac相交于點(diǎn)m，n.直線l從點(diǎn)a出發(fā)，沿ab方向以1cm/s的速度向點(diǎn)b運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)b時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)過程中amn的面積是y(cm2)，直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是x(s)則y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是()a. b. c. d. 【解析】過點(diǎn)c作cdab于d，ac2+bc2=64+36=100=ab2，故abc為直角三角形，sincab=cdac=cbab=610=35，則coscab

5、=45，tancab=34，故cd=acsincab=8×35=4.8，同理ad=6.4，(1)當(dāng)0x6.4，如圖1， tancab=mnam=34，即mn=34x，y=12×ammn=12×x×34x=38x2，該函數(shù)為開口向上的拋物線，且對(duì)稱軸為y軸，位于y軸的右側(cè)拋物線的一部分；(2)當(dāng)6.4<x10時(shí)，如圖2， 同理：mn=43(10-x)，y=12x×43(10-x)=-23(x-5)2+503，該函數(shù)為開口向下的拋物線的一部分，對(duì)稱軸為x=5，故選：b二 填空題5.（江西省初中名校聯(lián)盟一模）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=x

6、2-2x+3的圖象先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為_【解析】y=x2-2x+3 =(x-1)2+2，將二次函數(shù)y=x2-2x+3的圖象先向左平移1個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為：y=x2+2，再向下平移2個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為：y=x2故答案為：y=x26.（南通市崇川區(qū)一模）拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，且經(jīng)過點(diǎn)(-1,0).若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c-t=0(t為實(shí)數(shù))在-1<x<4的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍是_【解析】拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，且經(jīng)過點(diǎn)(-1,0)-b2=11-b+c=0，得

7、b=-2c=-3即拋物線解析式為y=x2-2x-3，當(dāng)y=t時(shí)，t=x2-2x-3，即x2-2x-3-t=0，關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c-t=0(t為實(shí)數(shù))在-1<x<4的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，t=x2-2x-3有實(shí)數(shù)根，y=x2-2x-3=(x-1)2-4，當(dāng)-1<x4時(shí)，x=1時(shí)，y有最小值-4，當(dāng)x=4時(shí)，y取得最大值5，t的取值范圍是-4t<5，故答案為：-4t<57.（合肥168中一模）如圖，拋物線y=x2+bx+92與y軸相交于點(diǎn)a，與過點(diǎn)a平行于x軸的直線相交于點(diǎn)b(點(diǎn)b在第一象限).拋物線的頂點(diǎn)c在直線ob上，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)d.平移拋物線，

8、使其經(jīng)過點(diǎn)a、d，則平移后的拋物線的解析式為_【解析】令x=0，則y=92，點(diǎn)a(0,92)，b(-b,92)，拋物線的對(duì)稱軸為x=-b2，直線ob的解析式為y=-92bx，拋物線的頂點(diǎn)c在直線ob上，y=94頂點(diǎn)c的縱坐標(biāo)為12×92=94，即4×1×92-b24×1=94，解得b1=3，b2=-3，由圖可知，-b2×1>0，b<0，b=-3，對(duì)稱軸為直線x=-32×1=32，點(diǎn)d的坐標(biāo)為(32,0)，設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=x2+mx+n，則n=9294+32m+n=0，解得m=-92n=92，所以，y=x2-9

9、2x+92故答案為：y=x2-92x+92三 簡(jiǎn)答題8.（淮北市名校聯(lián)考一模）我們規(guī)定：若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則稱該拋物線為“數(shù)軸函數(shù)”.例如拋物線y=x2和y=(x-1)2都是“數(shù)軸函數(shù)”(1)拋物線y=x2-4x+4和拋物線y=x2-6x是“數(shù)軸函數(shù)”嗎？請(qǐng)說明理由；(2)若拋物線y=2x2+4mx+m2+16是“數(shù)軸函數(shù)”，求該拋物線的表達(dá)式【解析】(1)拋物線y=x2-4x+4是“數(shù)軸函數(shù)”，拋物線y=x2-6x不是“數(shù)軸函數(shù)”；理由：y=x2-4x+4=(x-2)2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，在x軸上，y=x2-6x=(x-3)2-9，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-9)，在第四象限

10、，拋物線y=x2-6x不是“數(shù)軸函數(shù)”；(2)拋物線y=2x2+4mx+m2+16=2(x+m)2-m2+16，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-m,-m2+16)，由于拋物線y=2x2+4mx+m2+16是“數(shù)軸函數(shù)”，分兩種情況：當(dāng)頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，-m2+16=0，解得m=±4，拋物線表達(dá)式為y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32；當(dāng)頂點(diǎn)在y軸上時(shí)，-m=0，解得m=0，拋物線表達(dá)式為y=2x2+16，綜上，拋物線表達(dá)式為y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32或y=2x2+169.（南通市崇川區(qū)一模）某地政府計(jì)劃為農(nóng)戶購買農(nóng)機(jī)設(shè)備提供補(bǔ)貼其中購買型、型設(shè)備農(nóng)民所投資的金額與政

11、府補(bǔ)貼的額度存在下表所示的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系型號(hào)金額型設(shè)備型設(shè)備投資金額x(萬元)x5x24補(bǔ)貼金額y(萬元)y1=kx(k0)2y2=ax2+bx(a0)2.84(1)分別求y1和y2的函數(shù)解析式；(2)有一農(nóng)戶共投資10萬元購買型、型兩種設(shè)備，兩種設(shè)備的投資均為整數(shù)萬元，要想獲得最大補(bǔ)貼金額，應(yīng)該如何購買？能獲得的最大補(bǔ)貼金額為多少？【解析】(1)設(shè)購買型設(shè)備補(bǔ)貼的金額的解析式為：y1=kx，購買型設(shè)備補(bǔ)貼的金額的解析式為y2=ax2+bx，由題意，得：2=5k，或4a+2b=2.816a+4b=4，解得：k=25，a=-15b=95，y1的解析式為：y1=25x，y2的函數(shù)解析式為：y2=-1

12、5x2+95x.(2)設(shè)投資型設(shè)備a萬元，型設(shè)備(10-a)萬元，補(bǔ)貼金額為w萬元：所以w=y1+y2=25(10-a)+(-15a2+95a)=-15(a-72)2+12920所以當(dāng)a=3或4時(shí)，w的最大值=325，所以投資型設(shè)備7萬元，型設(shè)備3萬元；或投資型設(shè)備6萬元，型設(shè)備4萬元，獲得最大補(bǔ)貼金額，最大補(bǔ)貼金額為325萬元10.（江西省初中名校聯(lián)盟一模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與y軸相交于點(diǎn)a.y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表(m為整數(shù))：x0m2y-3-4-3(1)直接寫出m的值和點(diǎn)a的坐標(biāo)(2)求出二次函數(shù)的關(guān)系式(3)過點(diǎn)a作直線l/x軸，將拋物線在y軸左側(cè)的

13、部分沿直線l翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象請(qǐng)你結(jié)合新圖象回答：當(dāng)直線y=x+n與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)p是(s,t)且t5時(shí)，求n的取值范圍【解析】(1)根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性可知：m=1，由表格知，圖象過(0,-3)圖象與y軸相交于a點(diǎn)，a(0,3)；(2)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)，設(shè)拋物線的關(guān)系式為：y=a(x-1)2-4，拋物線y軸相交于a(0,-3)，a-4=-3，解得，a=1，二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3；(3)新圖象如圖所示，當(dāng)y=x+n與y=x2-2x-3交于點(diǎn)(0,-3)時(shí)，n=-3，當(dāng)y=x+n與y=x2-2x-3交于(s,

14、t)，t=5時(shí)，s2-2s-3=5，解得，s=-2(交點(diǎn)在y軸右邊，舍去)，或s=4，y=x+n與新圖象交于(4,5)，則5=4+n，n=1，當(dāng)直線y=x+n與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)p是(s,t)且t5時(shí)，-3<n1；當(dāng)y=x+n與y=x2-2x-3只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則x2-2x-3=x+n，即x2-3x-3-n=0，=9-4(-3-n)=0，n=-214，當(dāng)直線y=x+n與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，n<-214綜上，n的取值范圍為：-3<n1或n<-21411.（合肥市天鵝湖教育集團(tuán)一模）某市政府為了扶貧，鼓勵(lì)當(dāng)?shù)剞r(nóng)民養(yǎng)殖小龍蝦，如圖：張叔叔順著圩梗an、am（an3m，a

15、m10m，man45°），用8m長的漁網(wǎng)搭建了一個(gè)養(yǎng)殖水域（即四邊形abcd），圩梗邊不需要漁網(wǎng)，abcd，c90°設(shè)bcxm，四邊形abcd面積為s（m2）（1）求出s關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及x的取值范圍；（2）x為何值時(shí)，圍成的養(yǎng)殖水域面積最大？最大面積是多少？【解析】（1）過d作deab于e，bcxm，dexm，a45°，aexm，ssaed+s矩形debcx2+（8x）xx2+8x，abae+ebx+（8x）8m，b點(diǎn)為定點(diǎn)，de最大為3m，0x3；（2）sx2+8x（x8）2+32，當(dāng)x8時(shí)，s隨x的增大而增大，0x3，當(dāng)x3時(shí)，s取得最大值，s最大

16、5;（38）2+32，答：當(dāng)x3m時(shí)，圍成的養(yǎng)殖水域面積最大，最大面積是12（蕪湖市一模）（12分）如圖，已知拋物線yax2+x+c經(jīng)過a（4，0），b（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)c（1）求該拋物線的解析式；（2）在直線ac上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)d，使得dca的面積最大？若存在，求出點(diǎn)d的坐標(biāo)及dca面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】（1）將點(diǎn)a（4，0）、b（1，0）代入拋物線解析式得：，解得：，則拋物線解析式為yx2+x2；存在如圖1，設(shè)d點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0t4），則d點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t2+t2過d作y軸的平行線交ac于e設(shè)直線ac的解析式為：ymx+n，則 ，解得：，由題意可求得

17、直線ac的解析式為yx2e點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t2）det2+t2（t2）t2+2tsdcascde+sade×de×oa×（t2+2t）×4t2+4t（t2）2+4當(dāng)t2時(shí)，s最大4當(dāng)d（2，1），dac面積的最大值為413（宿州市一模）（14分）拋物線yx2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)a、b、c，已知a（1，0），c（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，p為線段bc上一點(diǎn)，過點(diǎn)p作y軸平行線，交拋物線于點(diǎn)d，當(dāng)bdc的面積最大時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；（3）如圖2，拋物線頂點(diǎn)為e，efx軸于f點(diǎn)，m（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，n是線段ef上一點(diǎn)，若mnc90

18、6;，請(qǐng)指出實(shí)數(shù)m的變化范圍，并說明理由【解析】（1）由題意得：，解得：，拋物線解析式為yx2+2x+3；（2）令x2+2x+30，x11，x23，即b（3，0），設(shè)直線bc的解析式為ykx+b，解得：，直線bc的解析式為yx+3，設(shè)p（a，3a），則d（a，a2+2a+3），pd（a2+2a+3）（3a）a2+3a，sbdcspdc+spdbpda+pd（3a）pd3（a2+3a）（a）2+，當(dāng)a時(shí)，bdc的面積最大，此時(shí)p（，）；（3）由（1），yx2+2x+3（x1）2+4，of1，ef4，oc3，過c作chef于h點(diǎn)，則cheh1，當(dāng)m在ef左側(cè)時(shí)，mnc90°，則mnfnc

19、h，設(shè)fnn，則nh3n，即n23nm+10，關(guān)于n的方程有解，（3）24（m+1）0，得m且m1；當(dāng)m與f重合時(shí)，m1；當(dāng)m在ef右側(cè)時(shí)，rtche中，cheh1，ceh45°，即cef45°，作emce交x軸于點(diǎn)m，則fem45°，fmef4，om5，即n為點(diǎn)e時(shí)，om5，m5， 綜上，m的變化范圍為：m514.（合肥168中一模）某市對(duì)火車站進(jìn)行了大規(guī)模的改建，改建后的火車站除原有的普通售票窗口外，新增了自動(dòng)打印車票的無人售票窗口某日，從早8點(diǎn)開始到上午11點(diǎn)，每個(gè)普通售票窗口售出的車票數(shù)y1(張)與售票時(shí)間x(小時(shí))的正比例函數(shù)關(guān)系滿足圖中的圖象，每個(gè)無人

20、售票窗口售出的車票數(shù)y2(張)與售票時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系滿足圖中的圖象(1)圖中圖象的前半段(含端點(diǎn))是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)確定拋物線的表達(dá)式為_，其中自變量x的取值范圍是_；(2)若當(dāng)天共開放5個(gè)無人售票窗口，截至上午9點(diǎn)，兩種窗口共售出的車票數(shù)不少于1450張，則至少需要開放多少個(gè)普通售票窗口？(3)上午10點(diǎn)時(shí)，每個(gè)普通售票窗口與每個(gè)無人售票窗口售出的車票數(shù)恰好相同，試確定圖中圖象的后半段一次函數(shù)的表達(dá)式【解析】(1)設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax2，把點(diǎn)(1,60)代入解析式得：a=60，則函數(shù)解析式為：y=60x2(0x32)；(2)設(shè)需要開放x個(gè)普通售票窗口

21、，由題意得，80x+60×51450，解得：x1438，x為整數(shù)且x取最小值，x=15，即至少需要開放15個(gè)普通售票窗口；(3)設(shè)普通售票的函數(shù)解析式為y=kx，把點(diǎn)(1,80)代入得：k=80，則y=80x，10點(diǎn)是x=2，當(dāng)x=2時(shí)，y=160，即上午10點(diǎn)普通窗口售票為160張，由(1)得，當(dāng)x=32時(shí)，y=135，圖中的一次函數(shù)過點(diǎn)(32,135)，(2,160)，設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y=mx+n，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：2m+n=16032m+n=135，解得：m=50n=60，則一次函數(shù)的解析式為y=50x+6015.（唐山市遵化市一模）如圖，直線oa與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)

22、a(3,3)，向下平移直線oa，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)b(6,m)與y軸交于點(diǎn)c，(1)求直線bc的解析式；(2)求經(jīng)過a、b、c三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；(3)設(shè)經(jīng)過a、b、c三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為d，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為e問：在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)p，使以o、e、p為頂點(diǎn)的三角形與bcd相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】(1)由直線oa與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)a(3,3)，得直線oa為：y=x，雙曲線為：y=9x，點(diǎn)b(6,m)代入y=9x得m=32，點(diǎn)b(6,32)，(1分) 設(shè)直線bc的解析式為y=x+b，由直線bc經(jīng)過點(diǎn)b，將x=6，y=32，

23、代入y=x+b得：b=-92，(1分) 所以，直線bc的解析式為y=x-92；(1分) (2)由直線y=x-92得點(diǎn)c(0,-92)，設(shè)經(jīng)過a、b、c三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx-92 將a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx-92，得：36a+6b-92=329a+3b-92=3，(1分) 解得b=4a=-12(1分) 所以，拋物線的解析式為y=-12x2+4x-92；(1分) (3)存在把y=-12x2+4x-92配方得y=-12(x-4)2+72，所以得點(diǎn)d(4,72)，對(duì)稱軸為直線x=4(1分) 得對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為e(4,0).(1分) 由bd=8，bc=72，cd=

24、80，得cd2=bc2+bd2，所以，dbc=90°(1分) 又peo=90°，若以o、e、p為頂點(diǎn)的三角形與bcd相似，則有：oebc=pedb，即462=pe22，得pe=43，有p1(4,43)，p2(4,-43) oedb=pebc，即422=pe62，得pe=12，有p3(4,12)，p4(4,-12)(3分) 所以，點(diǎn)p的坐標(biāo)為(4,43)，(4,-43)，(4,12)，(4,-12)16.（無錫市四校聯(lián)考）“揚(yáng)州漆器”名揚(yáng)天下，某網(wǎng)店專門銷售某種品牌的漆器筆筒，成本為30元/件，每天銷售y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示 (1)求y與x之

25、間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果規(guī)定每天漆器筆筒的銷售量不低于240件，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲取的利潤最大，最大利潤是多少？(3)該網(wǎng)店店主熱心公益事業(yè)，決定從每天的銷售利潤中捐出150元給希望工程，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于3600元，試確定該漆器筆筒銷售單價(jià)的范圍【解析】(1)設(shè)y=kx+b，直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)(40,300)，(55,150)，40k+b=30055k+b=150，解得：k=-10b=700故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-10x+700，(2)由題意，得-10x+700240，解得x46， 30<x46， 設(shè)利潤為w=(x-30)y=(x-30)(-10x+700)，w=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2+4000，-10<0，x<50時(shí)，w隨x的增大而增大，x=46時(shí)，w最大=-10(46-50)2+4000=3840，答：當(dāng)銷售單價(jià)為46元時(shí)，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元；(3)w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，-10(x-50)2=-250，x-50=±5，x1=55，x2=45，如圖所示，由圖象得： 當(dāng)45x55時(shí)，捐款后每天剩余利潤不低于3600元17.（無錫市四校聯(lián)考）如圖，