1、1 nC樣本方差分別為X亠、Xi , S'n i i如果我們要做雙側檢驗：nz （Xi-X）2。n -1 i4H °Hi “ 一，在大樣本情況（樣本容量X V-n 一 30）下可選 Z.為檢驗統計量，由中心極限定理知，它在S/JnN（0,1）。檢驗的P值近似為2P（Z K|zO |卩=卩0） = 2（1（|zO |），其中檢驗7。H 0成立時近似服從統計量Z的觀測值為 zOs/ n °§7.4 般總體均值的假設檢驗般總體均值的大樣本假設檢驗1. 一個總體均值的大樣本假設檢驗設樣本（Xi,X2川|,Xn）取自非正態總體 X，記總體均值E（X）m二。樣本均值及

2、,2 1例 7.4.1一種機床加工的零件尺寸絕對平均誤差為1.35mm。生產廠家現采用一種新的機床進行加工以期降低誤差。為檢驗新機床加工的零件平均誤差與舊機床相比是否有顯著降低，從某天生產的零件中隨機抽取50個進行檢驗。50個零件尺寸的絕對誤差數據（mm）如下所示：1.26 1.19 1.31 0.97 1.81 1.130.961.061.00 0.940.98 1.101.12 1.031.16 1.121.12 0.951.021.13 1.23 0.74 1.50 0.50 0.590.991.451.24 1.012.03 1.981.97 0.911.22 1.061.11 1.5

3、41.081.10 1.64 1.70 2.37 1.38 1.601.261.171.12 1.230.82 0.86利用這些數據，檢驗新機床加工的零件尺寸的平均誤差是否顯著降低？（一 =0.01）解：這里研究者所關心的是新機床加工的零件尺寸的平均誤差與舊機床相比是否有顯著降低，也就是新機床加工的零件尺寸的誤差的數學期望E（X）=4是否小于1.35,因此屬于單左側檢驗。提出的假設如下：H0-1.3H1<1.35X _ 1 35 比35現在n =50，檢驗統計量可選為z = X N（0,1）；S/ Jn由數據得：X = 1.2 1 5 , s二0.366 ,故檢驗統計量Z的觀測值為 1

4、21535zo2.608，所以檢驗的P值近似為0.366 M/50P（Z 乞 -2.608 二=1.35）：（-2.608） =0.0046。因為P : 0.01,應拒絕原假設，可認為新機床加工的零件尺寸的平均誤差與舊機床相比有顯著降低。注：本例也可以直接根據原始數據計算檢驗的P值，操作步驟如下：第1步：進入Excel表格界面，直接點擊 “f(x)'(粘貼函數)命令。第2步：在函數分類中點擊 統計”，并在函數名菜單下選擇“ZTEST，然后確定。第3步：在所出現的對話 Array框中，輸入原始數據所在區域；在X后輸入參數的某一假定值(這里為 1.35);在Sigma后輸入已知的總體標準差

5、(若總體標準差未知則 可忽略不填，系統將自動使用樣本標準差代替)，如下圖所示。圖 7.2.2此時給出的分布右側面積為0.995421058，用1減去該值，即為左側檢驗的P值,即 P 1 -0.9954 = 0.0046。2. 兩個總體均值的大樣本假設檢驗設兩獨立樣本 X1" ,Xn1和丫1,，Yn2分別取自非正態總體 X和Y (總體均值記q -1 n2為E(X)工和E(Y)=二2),它們的樣本均值分別為 XXi , YYj ,n1 imn2 jm樣本方差分別為 S2二 (Xi -x)2 , S；二(Yj -丫)2。n1 1 izi壓 一1 j二如果我們要做雙側檢驗：H0 : 7 =r

6、 H1 -V" J2，在大樣本情況下可選Z ：為檢驗統計量，由中心極限定理知，它在H0成立時近似服從. S / nS2 / n 2N(0,1)。檢驗的 P 值近似為 2P(Z I% | 7 "J =2(1-G(|z° |),其中x yZo.為檢驗統計量Z的觀測值。心2山1 +s； r)2例7.4.2 一個隨機樣本由居民一區的100個家庭組成，另一隨機樣本由居民二區的150個家庭組成，這兩個樣本所給出的關于目前住房中居住了多長時間的信息如下：2 2x =41個月，y =49個月，0 -900，S2 -1050。這些數據是否提供了充分的證（設：=0.05）據，說明一區

7、家庭在目前住房中居住的時間平均來說比二區家庭短? 解：建立假設本題的樣本容量足夠大，山=100, % =150，檢驗統計量為“f 1)H 0 :叫 _ 2 H1 :J2其樣本觀測值為z°Js1 / n + S； / n2 4149-2。此題屬于左側檢驗，檢驗的I,900 100 1050150值近似為P(Z蘭2已=巴)=(2) =0.02275，故拒絕H。，接受比，即說明一區家庭在目前住房的時間平均來說比二區家庭短。總體比率的假設檢驗 1 單個總體比率的大樣本假設檢驗設樣本(X1,X2，川，XJ取自0-1分布總體X B(1, p)，總體均值E(X)二p。樣1 n本均值為XXi。n i

8、 二如果我們要做雙側檢驗：H0 : p = p0H 1: P = p0,在大樣本情況(n - 30且min( np°, n(1 - p。)a 5)下可選 Z = _X _ p0或 Z* = , X _ p。為檢1X(1 -X)/nJp0(1- p°)/n驗統計量，由中心極限定理知，它們在H0成立時都近似服從 N(0,1)。所以檢驗的P值 近似為 2P(Z mzo I H°) "(1 (|z。I)或 2P(Z* 糾 zO I H0)瘁 2(1(|zO I),X p0*X p 0*其中Z。 0和Zo0分別為檢驗統計量 Z和Z的觀測值。1x(1 x)/n

9、63;p°(1 P0)/n50% 是 30例7.4.3某企業的產品暢銷于國內市場。據以往調查，購買該產品的顧客有歲以上的男子。該企業負責人關心這個比例是否發生了變化(無論是增加還是減少)? 于是委托一家咨詢公司進行調查，這家咨詢機構從眾多的購買者中隨機抽選了名進行調查，結果有 210名為30歲以上的男子。該廠負責人希望在顯著性水平:=0.05下檢驗“ 50的顧客是30歲以上的男子”這個假設。解：提出假設：H 0 ： p = p0 二 50% H! : p = p0由于樣本容量n =400 30，且min(np0, n(1 - p0) =200 . 5，所以可以使用 正態分布進行檢驗。

10、檢驗統計量為Z -又必 或一又p°，它們JX(1 X)/n寸 P0(1 P°)/n在H 0成立時都近似服從 N(0,1)。現在來=210/400 = 0.525，檢驗統計量Z和Z*的樣本觀測值分別為ZO二0.525-0.5.0.525(1 -0.525)/400:1.001 和 zO_0.525二 0.5_ 0.5(1-0.5)/400檢驗的 P 值近似為 2P(Z _1.001H0) ： 2(1 一 6(1.001) = 2(1 0.8416) =0.3168» * 或 2P(Z H1H0)茫2(1(1) =0.3174。因為檢驗的P值都大于顯著性水平0.05，

11、故不拒絕 H0，即沒有充分理由認為比例發生了變化。2.兩個總體比率的大樣本假設檢驗設兩獨立樣本X1,，Xq和丫1,，Yn2分別取自0-1分布總體X和Y (總體均值_ 1 n1記為E(X) = 5和E(Y) = P2),樣本均值分別為n2 j呂X 二一' Xi ,n1 i A如果我們要做雙側檢驗：H0 : p<! = p2H 1 : p- p2，在大樣本情況下可選X -Yc mX + n2YZ -(這里p12 )為檢驗統計量，由中心極限定J?(1 ?)(1/n1 +1/n2)n1 + n?理知，它在Ho成立時近似服從N(0,1)。所以檢驗的P值近似為2P(Z _|zo | H。)：

12、 2(1 -G(|z I)，其中為檢驗統計Zo_x_yO . ?(1 - ?)(1/n11/n2)量Z的觀測值。例7.4.4甲、乙2公司屬于同一行業，有人問這2個公司的工人是愿意得到特定增加的福利費，還是愿意得到特定增加的基本工資。在甲公司150名工人的簡單隨機樣本中，有75人愿意得到增加基本工資；在乙公司200名工人的隨機樣本中，120人愿意得到增加的基本工資。在每個公司，樣本容量占全部工人數的比率不超過5%。試問：可以判定這2個公司中愿意增加基本工資的工人所占比例不同嗎？(=0.05)解：建立假設X -YHo : Pl = P2H 1 : Pi - P2現在是大樣本情形，檢驗統計量為Z -

13、 J?(1 ?)(1 / 門1 +1/ 門2) ?=(門1刃+ n2Y)/( n1 +壓)，它在H。成立時近似服從 N(0,1)。由樣本觀測值知，乂 =75/150 = 0.5，y =120/200 = 0.6，75 1200.5 - 0.6?0.557， Zq1.864，150 - 2000.557(1 -0.557)(1/150 1 / 200)所以檢驗的 P 值近似為 2P(Z _1.864 H 0) :- 2(1 - G (1.864) = 2(1 - 0.969) = 0.062。由于P 0.05，所以不拒絕原假設 H°，即沒有充分理由認為這2個公司中愿意增加基本工資的工人

14、所占比例不同。有時我們要檢驗兩個總體比率之差是否為某一個不為0的常數do，即要檢驗假設:H° : P1 - P2 二 d(p H1 : P1 - P2 = d°，X -Y - d。在大樣本情況下可選Z =為檢驗統計量， 由中心X(1 - X)/m Y(1-Y)/n2極限定理知，它在H °成立時近似服從N (0,1)。所以檢驗的P值近似為2P(Z -|Zq | H。)2(1 - G(|Zq I)，其中 z。 x y二 0為檢驗£X(1X)/n1 + y(1y)/ n2統計量Z的觀測值。例7.4.5某廠質量檢驗人員認為該廠一車間的產品一級品的比率比二車間產品

15、一級品的比率大5%?，F從一車間和二車間分別抽出2個獨立隨機樣本，得到如下數據：m =150，其中一級品數為113； n2 =160，其中一級品為104。試根據這些數據檢驗質量研究人員的觀點。(設=0.05)解：建立假設H 0 : P1 P2 弐 0.05 I 比：P1 P2 0.05X -Y -0.05Z 二，JX(1 _X)/ +Y(1 _Y)/ n2它在P1 - P2 = 0.05成立時近似服從N(0,1)。由觀測值可知，2 =113/1500.753，V =104/160 =0.65，于是檢驗統計量 Z0.753 0.65 0.05的觀測值為Zo.0.753(1 -0.753)/1500

16、.65(1 -0.65)/160X.027。這是右側檢驗，所檢驗統計量為以檢驗的P值近似為P(Z >1.027 p, p2 =0.05)茫 16(1.027)=10.848 = 0.152。因為P . 0.05，故不拒絕原假設，即現有數據不足以支持該廠質量檢驗人員的觀點。3. 單個總體比率的精確檢驗上面討論的都是大樣本情形下的近似檢驗。事實上，在實際工作中，只要知道總體的分布類型，我們就完全有能力利用計算機強大的計算功能或直接應用統計軟件考慮精 確的檢驗方法，下面以單個總體比率的檢驗為例。設樣本(X1,X2川|,Xn)取自0-1分布總體 X B(1, p)，對右單側檢驗問題：nH 0 :

17、 p空po 1 H 1 : p P0 ,檢驗統計量我們可以選為 T = v Xi ,它在p = Po時服從 B(n, p°)。所以檢驗的 P 值為 P(T Hto p= P0) = 1 - P(T 蘭 to -1 p = p°)，其n中to = 7 x為檢驗統計量T的樣本觀測值。這是單個總體比率的精確檢驗方法，大小i 二樣本都適合!例7.4.6某地區主管工業的負責人收到一份報告，該報告中說他主管的工廠中執行環境保護條例的廠家不足 60%,這位負責人認為應不低于60%,于是他在該地區眾多的工廠中隨機抽查了 60個廠家，結果發現有33家執行了環境條例，那么由他本人的 調查結果能

18、否證明那份報告中的說法有問題 =0.05)?解：這位負責人想知道真正的比率p是否少于60%，這是一個左側檢驗問題：H 0 : p - P。二 60% I H 1 : p ： p°法一：由于n = 60 - 30,而且min(np0,n(1 - p0) =24 5,可以用正態分布進行檢驗。檢驗統計量為 Z = , _匕 或 Z =卩0,它們在 p = p0JX(1X)/ nJp°(1 - p。)/ n時都近似服從 N(0,1)?，F在X =33/60 =0.55，檢驗統計量Z和Z的樣本觀測值分別為0.550.6crrc亍 *0.550.6-.丄入人”zo0.778和 zo0.791。檢驗的 P,0.55(1 - 0.55)/60. 0.6(