1、求數列通項公式的常用方法、累加法1 適用于：ana f( n) 這是廣義的等差數列累加法是最基本的二個方法之一。2.解題步驟：若 an 1 -an 二 f (n) (n _2),a2 _a - f (1)*3 a? = f (2)則32 '丿III IIIan 1 - an = f(n)n兩邊分別相加得an d -a f(n)kA例1已知數列an滿足an 1an 2n T, a1，求數列a.的通項公式。解：由 an 1 = an 2n1 得an 勺-an = 2n 1 則an = (an - an)(an 4- an _2) I H (a3 - a2 )(a2- a1)a1=2(n1)

2、1 2( n 2) 1 |l|(2 2 1) (2 11)1=2(n -1) (n -2)丨1| 2 1 (n -1) 1=2此加(n-1) 12=(n -1)(n 1)12二 n2 所以數列an的通項公式為a* = n。1an =an4(n - 2)練習已知數列an滿足內二3 ,n(n -1)，求此數列的通項公式1an =2 答案：裂項求和n評注：已知a1 =a, %1 -弘=f (n)，其中血)可以是關于n的一次函數、二次函 數、指數函數、分式函數，求通項 an.實用文案 若f(n)是關于n的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和； 若f(n)是關于n的二次函數，累加后可分組求和； 若f(n

3、)是關于n的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和； 若f(n)是關于n的分式函數，累加后可裂項求和。、累乘法1.適用于：anf( n)an 這是廣義的等比數列，累乘法是最基本的二個方法之2 解題步驟：若空二f(n)，則亞二f(1),冬二f (2),III川，也二f(n)anala2an兩邊分別相乘得，nn1 二印 | f(k)a1k 4例2已知數列an滿足an 1=2 (n 1)5n a., a 3，求數列 a.的通項公式。a解：因為 ani =2(n 1)5n a., a 3，所以 a. = 0，則亠=2(n 1)5n，故anan ann |% a2anaanan J2a2 ai二2(n1

4、1)52(n2 1)5n°川2(2 1) 522(1 1) 51 3= 2nJn(n _1)3 2 5(22 " 21 3n(n 4n -12.=3 25 2 n!n(n -4) 所以數列an的通項公式為an=3 2n4 5 2 nL練習.已知an 1二nan n T,a1 一1，求數列伽的通項公式答案：an =(n 一 1)!(a1 +1)-1.評注：本題解題的關鍵是把原來的遞推關系式an 1二nan n 一1,轉化為冇1 1 = n( an 1)，若令bn=an則問題進一步轉化為bn”二nbn形式，進而應用累乘法求出數列的通項公式.三、待定系數法適用于 an .1 二

5、qanf (n)基本思路是轉化為等差數列或等比數列，而數列的本質是一個函數，其定義域是自然數集的一 個函數。an 1 二 can* d, (c H 0，其中 ai = a)型(1)若c=1時，數列 an為等差數列(2)若d=0時，數列 an為等比數列(3)若c"且d = 0時，數列an為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造輔助數列 來求.解題步驟：設an卅 + 扎=c(an + 入)，得 an* =can +(c 1)九，與題設 an，1 二 can d,比較系數得(c -1)'扎=d，所以土心0)，所以有:"n三)因此數列所以an+c -1構成以d+C-1為首

6、項，以c為公比的等比數列,and(a1d ) cn4c 1c 1an即:/ 亠 d nJ= (a1) cc 1dc-1例3已知數列an中，a1 =1,an =2and 1(n 一 2)，求數列aj的通項公式。解：；& =2an41(n -2),. a.1 二 2和1)又：& V=2,. n - 1是首項為2，公比為2的等比數列 an '2n，即a2n1丄1練習.已知數列an中，a1 =2,an2an 2,求通項an/ 1 2 Ian =(一)+1答案：22.形如:an .1 二 Panqn（其中q是常數，且n = 0,1）若p=1時，即:_* nan J二an q，累加

7、即可若P "時，即：an 1二P久q ，求通項方法有以下三種方向：n +i. 兩邊同除以p 目的是把所求數列構造成等差數列即:an 1 a nbnanbn 1 - bn，則（與然后累加求通項n 1ii. 兩邊同除以q ，目的是把所求數列構造成等差數列。an 1 p an 1=十一 n 1n即: q q q q,b _ anb _ p b . 1bnnbn 1bn令 q ，則可化為qq，然后轉化為待定系數法第一種情況來解。iii. 待定系數法：目的是把所求數列構造成等差數列n 1 ”n設an 1 q - p（anp丿.通過比較系數，求出，轉化為等比數列求通項注意：應用待定系數法時，要求

8、p=q,否則待定系數法會失效。例4已知數列an滿足az =2an3，3 =1,求數列 的通項公式。解法（待定系數法）：設an13二2（an ' 3 ），比較系數得= "4,= 2，n 二的等比數列,2 a . j43 3n32，下面解法略則數列®3 '是首項為印一4 3八5，公比為2n_ln_ln_1n_!所以 an43一5'2 ，即 an=43-52an + qn十on +丁出解法二（兩邊同除以q ）：兩邊同時除以3得：3an 十 _ an + 4（_3）n pn亠n十十 小（J解法三（兩邊同除以p ）:兩邊同時除以2得：2232 ，下面解法略3形

9、如an .1二pan kn b(其中幼是常數，且k = 0)待定系數法解題步驟：通過湊配可轉化為(an Xn y) = p(an X(n -1) y)；比較系數求X、y ；解得數列(an xn y)的通項公式；得數列'K*的通項公式。3 ai,2a anj =6n '3a例5 .在數列 &中，2，求通項an.(待定系數法)解：原遞推式可化為2(an xn y)8nx(n -ir y比較系數可得：x=-6，y=9,上式即為2bn =bn919 1 n_lb bi=ai_6n+9=：-二5=；(二)所以bn '是一個等比數列，首項2，公比為2。2 2即:1 n1 n

10、an -6n 9 =9 ()an =9 ()6n -92 ，故2。練習 在數列an中，a1 =1,an 3an2n，求通項 嘰(逐項相減法)解：an卅=3an+2n, 二 n2時，an=3an/+2(n1)，兩式相減得an 1 一 an=3(anbnbn = 3bn_12知 bn5 3n42即 an 1 _an =5 記心 -1再由累加法可得an5 32 -n -12 2亦可聯立5 c n-1an 3- n解出 24形如anPan a n b n C(其中a,b,c是常數，且a = 0)基本思路是轉化為等比數列，而數列的本質是一個函數，其定義域是自然數集的一個函數。2例6已知數列an滿足an

11、12an ' 3n 4n 5, a1，求數列an的通項公式。2 2解：設 an 1 ' x(n 1) y(n 1) z = 2(an xnyn z)比較系數得x =3,y =10,z =18 ,所以 an ,3(n 1)2 10(n 1) 18 =2(an 3n2 10n 18)22由 a 3 110 1 18=1 31= 32 =0，得 an 3 n 10 n1802則 an1 3(n 12 10(n D 18=2，故數列an 3n2 10n 18為以 an 3n 10n 182a13 110 1 *18=1 *31=32為首項，以2為公比的等比數列，因此an 3n2 10n

12、 18 =32 2n-，則 an =2n 4 -3n2 -10n-18。5.形如anpan 1 qan時將a“作為f (n)求解分析：原遞推式可化為an 2 an 1 =( P )(an an)的形式，比較系數可求得，數列fan an ?為等比數列。例7已知數列an滿足an 2 =5an 1 -6如® = -1® =2，求數列an的通項公式。解.設 an 2 ' an 1 = (5 ' )(an 1 ' an)比較系數得=-3或二-2，不妨取=-2 ,(取-3結果形式可能不同，但本質相同)則an 2 -2an 3(% 1 -細)，則a V - 2an

13、是首項為4，公比為3的等比數列nn Jn Aan+-2an=4 3 所以 a4 35 2練習數列 an中，若a1 =8,a2二2,且滿足冇吃一4冇1 ' 3an =°,求an答案:an =11 3n四、不動點法目的是將遞推數列轉化為等比(差)數列的方法不動點的定義：函數 f(x)的定義域為D,若存在f(x)x(T D，使f(x°)=X0成立，則稱X。為f(x)的不動點或稱(Xo, f(Xo)為函數f(x)的不動點。分析：由f(x)二X求出不動點x0，在遞推公式兩邊同時減去 x0，再變形求解。 類型一：形如 an .1二qan d例8已知數列an中，a1,a2anj

14、-1(n _ 2)，求數列:a/?的通項公式。解：遞推關系是對應得遞歸函數為f (x) =2x 1，由f (x) =x得，不動點為-1二 an 12(an 1),類型二：形如an, = a anbc an +d分析：遞歸函數為f(x)二p,q，再將兩式相除得(1 )若有兩個相異的不動點p,q時，將遞歸關系式兩邊分別減去不動點an 十 一 P|, an 一 P 甘中a 一 pc .小 _ (a1q 一 Pq)k (a1 p Pq)k，其中k，an百an 1 q an qaqc(a - p)k- (a q)(2)若有兩個相同的不動點p,則將遞歸關系式兩邊減去不動點p ,然后用1除，得1an 1 一

15、 Pk ,an 一 P5a + 4例9.設數列an滿足a1 = 2,an 1 n ,求數列an的通項公式2an +7(答案:an4 3n，24 3nJ -1)分析：此類問題常用參數法化等比數列求解 解：對等式兩端同時加參數 t,得：an 1 t50t2an 7(2t5)an 7t2an 7= (2t5)an7t 42t 52an 7令 t=H,解之得 t=1,-2 代入 an 1 t = (2t5) an t 得2t +52an+7an _1. a n2an 1 _3, an 12-9，2an 72an 7相除得an 1 一1an 十 +2色1,即旦匸1是首項為an 2 an 2a<i

16、-'1a1 - 21公比為-的等比數列3a n -1 an 2解得an4 3n24 3nJ -1 .2a _1*練習.已知數列an滿足a2,an1n (nN )，求數列a.的通項a.4an +6答案：135n an 10n 一6五、對數變換法_ r適用于an 1二pan(其中p,r為常數)型 p>0 , an 0例10.設正項數列'；n '滿足；1 =1 , ；n = 2a爲(n2) 求數列的通項公式.解：兩邊取對數得:log；n =1 +2log；nJL, log；n+1 = 2（log；n+1），設 Q =|og；n_M，則bn = 2bnbn f是以2為公比

17、的等比數列，b1 = log； 1 = 1bn = 1 2心二2心log；1 = 2nlog；n =2n，-1. ；n =22宀練習數列乩'中,a1 = 1 an=2”an(n>2),求數列'n>的通項公式.答案:an 二 22一22-n六、倒數變換法適用于分式關系的遞推公式，分子只有一項例11已知數列an滿足an 12an二1，求數列an的通項公式。解：求倒數得丄丄,.an+2 anan 1an211、 11.為等差數列，首項 一=1，公差為一， an v an 丨a12a11 1 2J® ° an =七、階差法(逐項相減法)1、遞推公式中既有 Sn，又有an1 Sj, n = 1分析：把已知關系通過 an二轉化為數列或Sn的遞推關系，然后采用相應的- s d,n X 2方法求解。1例12已知數列an的各項均為正數，且前 n項和Sn滿足Sn(3n '1)(3n - 2) ，且a?,玄4, ag成6等比數列，求數列an的通項公式。1解：對任意nN有Sn = (an 1)(an 2