1、經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖，o 是半圓的圓心，c、e 是圓上的兩點，cdab，efab ，egco求證： cdgf （初二）2、已知：如圖，p 是正方形abcd 內點， pad pda 150求證： pbc 是正三角形 （初二）3、如圖，已知四邊形abcd 、a1b1c1d1都是正方形，a2、b2、c2、 d2分別是 aa1、bb1、cc1、dd1的中點求證：四邊形a2b2c2d2是正方形（初二）4、已知：如圖，在四邊形abcd 中， ad bc，m、n 分別是 ab 、cd 的中點， ad 、bc的延長線交mn 于 e、f求證： den f經(jīng)典難題（二）a p c d b a f g c

2、e b o d d2 c2 b2 a2 d1 c1 b1 c b d a a1 a n f e c d m b p c g f b q a d e 1、已知： abc 中， h 為垂心（各邊高線的交點），o 為外心，且ombc 于 m（ 1）求證： ah 2om；（ 2）若 bac 600，求證： ah ao （初二）2、設 mn 是圓 o 外一直線，過o 作 oa mn 于 a，自 a 引圓的兩條直線，交圓于b、c及 d、e，直線 eb 及 cd 分別交 mn 于 p、q求證： apaq （初二）3、如果上題把直線mn 由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：設 mn 是圓 o 的弦，過mn

3、的中點 a 任作兩弦bc、de，設 cd、eb 分別交 mn于 p、q求證： apaq （初二）4、如圖，分別以abc 的 ac 和 bc 為一邊，在 abc 的外側作正方形acde 和正方形cbfg ，點 p 是 ef 的中點求證：點p 到邊 ab 的距離等于ab 的一半（初二）經(jīng)典難題（三）1、如圖，四邊形abcd 為正方形， deac ，aeac ，ae 與 cd 相交于 f求證： cecf （初二）a d h e m c b o g a o d b e c q p n m o q p b d e c n m a a f d e c b 2、如圖，四邊形abcd 為正方形， deac ，

4、且 ceca，直線 ec 交 da 延長線于f求證： aeaf （初二）3、設 p 是正方形 abcd 一邊 bc 上的任一點， pfap，cf 平分 dce求證： papf （初二）4、如圖， pc 切圓 o 于 c，ac 為圓的直徑， pef 為圓的割線， ae 、af 與直線 po 相交于b、d求證： ab dc，bc ad （初三）經(jīng)典難題（四）1、已知： abc 是正三角形，p 是三角形內一點，pa3，pb4，pc5求： apb 的度數(shù)（初二）2、設 p 是平行四邊形abcd 內部的一點，且pba pda 求證： pab pcb （初二）3、設 abcd 為圓內接凸四邊形，求證：ab

5、cdad bc acbd （初三）d e d a c b f f e p c b a o d b f a e c p a p c b p a d c b c b d a 4、平行四邊形abcd 中，設 e、f 分別是 bc、ab 上的一點， ae 與 cf 相交于 p，且aecf求證： dpa dpc （初二）經(jīng)典難題（五）1、設 p 是邊長為 1 的正 abc 內任一點， lpapbpc，求證：l22、已知： p 是邊長為1 的正方形abcd 內的一點，求papbpc 的最小值3、p 為正方形abcd 內的一點，并且paa，pb2a，pc3a，求正方形的邊長4、如圖， abc 中， abc

6、acb 800，d、e 分別是 ab、ac 上的點， dca 300，eba 200，求 bed 的度數(shù)經(jīng)典難題（一）1.如下圖做ghab,連接 eo。由于 gofe 四點共圓，所以gfh oeg, f p d e c b a apcbacbpdedcbaacbpd即 ghf oge,可得eogf=gogh=cocd,又 co=eo，所以 cd=gf 得證。2. 如下圖做 dgc 使與 adp 全等，可得 pdg 為等邊，從而可得dgc apd cgp,得出 pc=ad=dc, 和 dcg=pcg150 所以 dcp=300 ，從而得出 pbc 是正三角形3.如下圖連接 bc1和 ab1分別找

7、其中點 f,e. 連接 c2f與 a2e并延長相交于 q點，連接 eb2并延長交 c2q于 h點，連接 fb2并延長交 a2q于 g點，由 a2e=12a1b1=12b1c1= fb2 ，eb2=12ab=12bc=fc1 ，又gfq+q=900和 geb2+q=900,所以 geb2=gfq 又 b2fc2= a2eb2，可得 b2fc2 a2eb2，所以 a2b2=b2c2，又 gfq+hb2f=900和 gfq=eb2a2 , 從而可得 a2b2 c2=900 ，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形a2b2c2d2是正方形。4.如下圖連接 ac并取其中點 q ，連接 qn和 qm ，

8、所以可得qmf= f， qnm= den 和 qmn= qnm ，從而得出den f。經(jīng)典難題（二）1.(1) 延長 ad到 f連 bf，做 ogaf, 又 f=acb= bhd ，可得 bh=bf, 從而可得hd=df ，又 ah=gf+hg=gh+hd+df+hg=2(gh+hd)=2om(2) 連接 ob ，oc,既得boc=1200，從而可得 bom=600, 所以可得ob=2om=ah=ao, 得證。3. 作 ofcd ，ogbe，連接 op，oa，of，af， og，ag ，oq。由于22adaccdfdfdabaebebgbg=，由此可得 adf abg ，從而可得afc= ag

9、e 。又因為 pfoa 與 qgoa 四點共圓，可得afc= aop 和 age= aoq， aop= aoq，從而可得ap=aq 。4. 過 e,c,f 點分別作 ab所在直線的高 eg ，ci，fh 。可得 pq=2egfh+。由 ega aic ，可得 eg=ai ，由 bfh cbi，可得 fh=bi 。從而可得pq=2aibi+= 2ab，從而得證。經(jīng)典難題（三）1. 順時針旋轉ade ，到 abg ，連接 cg. 由于abg= ade=900+450=1350從而可得b，g，d 在一條直線上，可得agb cgb 。推出 ae=ag=ac=gc ，可得 agc 為等邊三角形。 agb

10、=300，既得 eac=300，從而可得a ec=750。又 efc= dfa=450+300=750. 可證： ce=cf。2. 連接 bd作 chde，可得四邊形cgdh 是正方形。由 ac=ce=2gc=2ch ，可得 ceh=300，所以 cae= cea= aed=150，又 fae=900+450+150=1500，從而可知道f=150，從而得出ae=af 。3. 作 fgcd ，febe，可以得出gfec 為正方形。令 ab=y ， bp=x ,ce=z , 可得 pc=y-x 。tanbap=tan epf=xy=zyxz-+，可得 yz=xy-x2+xz ，即 z(y-x)=

11、x(y-x) ，既得 x=z ，得出 abp pef ，得到 pa pf ，得證。經(jīng)典難題（四）1. 順時針旋轉abp 600，連接 pq ，則 pbq 是正三角形。可得pqc 是直角三角形。所以 apb=1500。2. 作過 p點平行于 ad的直線，并選一點e，使 ae dc ，be pc. 可以得出 abp= adp= aep，可得：aebp 共圓（一邊所對兩角相等）。可得 bap= bep=bcp，得證。3. 在 bd取一點 e，使 bce= acd ，既得 bec adc ，可得：bebc=adac，即 ad ?bc=be ?ac ，又 acb= dce，可得 abc dec ，既得a

12、bac=dedc，即 ab?cd=de ?ac ，由 +可得 : ab?cd+ad ?bc=ac(be+de)= acbd ，得證。4. 過 d作 aqae ， agcf ，由ades=2abcds=dfcs，可得：2a e p q=2ae pq，由 ae=fc 。可得 dq=dg ，可得 dpa dpc（角平分線逆定理） 。經(jīng)典難題（五）1. （1）順時針旋轉 bpc 600，可得 pbe 為等邊三角形。既得 pa+pb+pc=ap+pe+ef 要使最小只要ap，pe，ef 在一條直線上，即如下圖：可得最小l=；（2）過 p點作 bc的平行線交 ab,ac與點 d，f。由于apd atp=a

13、dp，推出 adap 又 bp+dpbp 和 pf+fc pc 又 df=af 由可得：最大l0 時，a的方向與a的方向相同，當0；當 p點在線段p1p2的延長線上時1； 當 p點在線段 p2p1的延長線上時10；若點 p 分有向線段12pp所成的比為，則點 p分有向線段21p p所成的比為1。如若點p分ab所成的比為34，則a分bp所成的比為 _（答：73）（3）線段的定比分點公式：設111(,)p xy、222(,)p xy，( , )p x y分有向線段12pp所成的比為，則121211xxxyyy，特別地，當 1 時，就得到線段p1p2的中點公式121222xxxyyy。在使用定比分點

14、的坐標公式時，應明確( , )x y，11(,)x y、22(,)xy的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應根據(jù)題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應的定比。 如 （1） 若 m （-3， -2） ， n （6， -1） ， 且1mpmn3，則點 p 的坐標為 _（答：7( 6,)3） ；11. 平移公式 ：如果點( , )p x y按向量,ah k平移至(,)p xy，則xxhyyk；曲線( , )0f x y按向量,ah k平移得曲線(,)0f xh yk.注意 ： （1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標不變性，可別忘了啊

15、！如（ 1）按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，則按向量a把點( 7,2)平移到點 _（答： （，） ； （ 2）函數(shù)xy2sin的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是12cos xy，則a_（答：)1 ,4(）12、向量中一些常用的結論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2）| | | |ababab，特別地，當a b、同向或有0| |abab| |abab；當a b、反向或有0| | | |a bab| | |aba b；當a b、不共線| | |ababab(這些和實數(shù)比較類似). （ 3 ） 在abc中 ， 若112233,a x yb xyc xy， 則 其 重 心 的 坐 標 為123123,33xxxyyyg。 如若 abc的三邊的中點分別為 （ 2， 1） 、（-3， 4） 、（-1 ，-1 ） ，則 abc的重心的坐標為_（答：2 4(,)3 3） ；1()3pgpapbpcg為abc的重心，特別地0papbpcp為abc的重心；pa pbpb pcpc pap為abc的垂心；向量()(0)|acababac所在直線過abc的內心 ( 是bac的角平分線所在直線 ) ；|0ab