1、山東省濟(jì)南市歷下區(qū)2017屆高考數(shù)學(xué)模擬卷(一)文本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共 8頁。時(shí)量120分鐘。滿分150分。第I卷一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中， 只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)設(shè)A, B是兩個(gè)非空集合，定義集合 A B= x|x £ A且x?B,若A= x N|0 <x<5,2B= x|x -7x+10<0,則 A B= (D)(A)0 , 1 (B)1, 2 (C)0,1,2 (D)0, 1, 2, 52 ai(2)如果復(fù)數(shù) 不7(a e R)為純虛數(shù)，則a= (D)(A) -2 (B)0

2、 (C)1 (D)2(3)等差數(shù)列an中,a3 = 5, a4+a8 = 22,則an的前8項(xiàng)和為(B)(A)32 (B)64 (C)108 (D)128(4)某校為了解本校高三學(xué)生學(xué)習(xí)的心理狀態(tài)，采用系統(tǒng)抽樣方法從800人中抽取40人參加某種測試，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1, 2,，800,分組后在第一組采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為18,抽到的40人中，編號(hào)落在區(qū)間1,200的人做試卷 A,編號(hào)落在201 ,560的人做試卷B,其余的人做試卷 C,則做試卷 C的人數(shù)為(B)(A)10 (B)12 (C)18 (D)2823(5)某程序框圖如圖所示，若該程序運(yùn)行后輸出的值是,則(C)(A)a

3、=13 (B) a= 12 (C) a= 11 (D) a= 10(6)已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓的直徑為2,則該幾何體的表面積為(D)2俯視圖(A)46 (B)52+ 兀(C)52 + 3 兀(D)46 + 2 兀 如圖是函數(shù)y = Asin(wx+()R,A>0,w >0,0<(j)<向區(qū)間 6,61上的圖象，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只需將y=sin x(xC R)的圖象上所有的點(diǎn)(D)(A)向左平移 看個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 ,.兀 -(B)向左平移 不個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(C)向左平移個(gè)單位長度，再把

4、所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 3(D)向左平移 個(gè)個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 32倍，縱坐標(biāo)不變1 一 、2，縱坐標(biāo)不變2倍，縱坐標(biāo)不變1八一,-,縱坐標(biāo)不變(8)設(shè)變量x, y滿足約束條件x+3yw4,則z=|x 3y|的最大值為(A)22,(A)8 (B)4 (C)2 (D)酎x，【解析】作出約束條件 Sx+ 3y<4,對應(yīng)的可行域如下,2,|x3M,10.I x- 3y| .一其中 班 表不可行域內(nèi)的點(diǎn)(x, y)到直線x3y=0的距離，由下圖可知，點(diǎn)火一2, 2)到直線x3y = 0的距離最大，最大值為所以z=|x 3y|的最大值為8.故選A.11 .x .一

5、.(9)下列圖象可以作為函數(shù)f(x)=x：匚a的圖象的有(C)(A)1 個(gè)(B)2 個(gè)(C)3 個(gè)(D)4 個(gè)_. . _ .一.x 一,【解析】當(dāng)a<0時(shí)，如取a=4,則f(x)=x,其定義域?yàn)椋簒|xw±2,它是奇x 函數(shù),圖象是，所以選項(xiàng)是正確的；當(dāng)a>0時(shí)，如取a=1,則設(shè)上亦,其定義域，、一，一 一一一 一 一 一 1. i 1為R它是奇函數(shù)，圖象是.所以選項(xiàng)是正確的；當(dāng) a=0時(shí)，則f(x)=-,其定義域?yàn)椋?xx|xw0,它是奇函數(shù)，圖象是，所以選項(xiàng)是正確的.故選 C.(10)已知三棱錐 A BC計(jì)，AB= AO BD= CD= 2, BC= 2AD,直線A

6、D與底面BC所成角為,則此時(shí)三棱錐外接球的體積為(D)32兀(A)8 兀(B)七一 34.Ja 8-(C)3(D)3 兀【解析】如圖，取 BC的中點(diǎn)Q連接OA OD過A做AHOW E,c因?yàn)?AB= AC= D氏 DC 所以 BCL OA BCL OD因?yàn)镺An OD= Q OA 平面OAD OD?平面OAD所以BCL平面 OAD因?yàn)锽C?平面BCD所以平面 OAD_平面BCD又AE! OD所以AEL平面BCD所以/ ADO是直線ADW底面BC的成角，所以/ ADO=-, 3又因?yàn)?A氏AC= DB= DC所以 ABCW DBCir等，所以 OA= OD所以 OAD1正三角形，所以 OA= O

7、B= OC= OD= AQ即點(diǎn)O是三錐 A- BCM外接球的球心， 在直角 OA抖，OA + OB= A甘？ OA=也，所以三棱錐的外接球的半徑為 成，三棱錐外接球的體積為 V=：x兀X (。2) = 8+兀.故選D.33(11)設(shè)雙曲線C：2 x 孑一yb2=1( a>0, b>0)的左右焦點(diǎn)分別為Fi, F2,若在曲線C的右支上存在點(diǎn)P,使彳PFF2的內(nèi)切圓半徑為 a,圓心記為 M 又 PF1F2的重心為 G滿足 MGT行 于x軸，則雙曲線 C的離心率為(C)(A) 2 (B)3 (C)2 (D)5【解析】由MGFF行于x軸得yG= yM= a,則yp= 3yo= 3a, .1

8、1所以 SJA PFF2 = 2 2c - 3a=2 - (| PF| +| P同 +2c) a,又 | PF| -| PR| =2a,貝 U| PF| =2c+a, | PE| =2ca.由 |PF|2(xp+c)2=|PE|2 (c xp)2 得 xp= 2a,222因此P(2 a, 3a),代入橢圓方程得 a2b=1，即b=，3a,則e= 卜+占=2.故選C.(12)設(shè)函數(shù) f (x) = (x-a)2+ (ln x22a)2,其中 x>0, aCR,存在 x()使得 f (x() w b 成立， 則實(shí)數(shù)b的最小值為(C)(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D)1 555【解析】

9、函數(shù)f(x)可以看作動(dòng)點(diǎn)P(x, ln x2)與點(diǎn)Qa, 2a)的距離的平方，點(diǎn) P在曲線 y=2ln x上，點(diǎn)Q在直線y=2x上，問題轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值，由y = 2ln x求導(dǎo)可得y'=令y' = 2,解得x= 1,此時(shí)y= 2ln 1 = 0,則M1，0),所 x以點(diǎn)M1 , 0)到直線y=2x的距離d =22+ ( 1) 22 ；55即為直線與曲線之間最小的距離,故 f ( x) min = d2=5.由于存在xo使彳導(dǎo)f(xo)Wb,則f(x)minWb,即b>,故選C.5第n卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)(21)題為必考題，

10、每個(gè)試題考生都必須作答.第(22)(23)題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分.把各題答案的最簡形式寫在題中 的橫線上.(13)已知向量a=(3, 4), b=(t, 6),且a, b共線，則向量 a在b方向上的投影為-5 .(14)已知條件p： log 2(1 - x)<0 ,條件q： x>a,若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(一巴 0.(15)已知直線l: x-y=1與圓M x2 + y2-2x+2y- 1 = 0相交于A C兩點(diǎn)，點(diǎn)B, D分 別在圓M上運(yùn)動(dòng)，且位于直線 AC兩側(cè)，則四邊形 ABC前積的最大值為眄

11、.(16)定義在(0, +8)上的函數(shù) f(x)滿足：當(dāng) xC1 ,3)時(shí)，f(x) =1-|x-2| ;f(3x) = 3f(x).設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F(x) = f (x) a的零點(diǎn)從小到大依次為 x1, x2,，xn,.若a C (1 , 3),則 x + x2+ x2n =6(3 1).【解析】因?yàn)楫?dāng) xC 1 , 3)時(shí)，f (x) =1-| x-2| C 0 , 1； f(3x) =3f (x).所以當(dāng)；wx<1 時(shí)，則 1W3x<3,由 f (x) =；f (3 x)可知：f(x)C |0,"333同理，當(dāng)xe |0,x,0wf(x)<1 ,當(dāng) xe 3,

12、 6時(shí)，由6e 1, 2,3則 F( x) = f (x) a+ x2=2x 6,依此類推:xf（x） e 0, 3；同理，當(dāng) xe（6, 9）時(shí)，由-（2, 3）, 3此時(shí) f（x）e（0 , 3）.在區(qū)間（3, 6）和（6, 9）上各有一個(gè)零點(diǎn)，分別為xi, x2,且滿足xix3+x4=2X18,，x2n l+x2n=2X2X3n,，當(dāng)aC(1, 3)時(shí),/2n3(3n 1)xdx2+ + x2n-1 + x2n= 4x( 3+ 3 + 3 ) = 4X - = 6X33-1（3n-1）,故答案為6(3 n-1).三、解答題：本大題共（17）（本小題滿分12分）在ABC4內(nèi)角 A B, C

13、的對邊分別為a, b, c.已知cos A 2cos C 2c acos Bsin C (I)求仍的值;(n )若 cos B=sin B ', b= 2,求 ABC勺面積 S4【解析】(I)由正弦定理，得 片=2sin CUn A,所以cos A 2co11得4= a + 4a 4a x 4,解得a= 1,從而c= 2.又因?yàn)閏os B= 4,且0<B<兀,所以sin B c = bsin Bcos B2sin C- sin A二一4 .因此 S= lacsin B= ；x 1 x 2X 乂15 = #5.(12 分)(18)(本小題滿分12分)一汽車廠生產(chǎn) A, B,

14、C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量 如下表(單位：輛):轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛.(I )求z的值；(n)用分層抽樣的方法在 C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本.將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(m)用隨機(jī)抽樣的方法從 B類舒適型轎車中抽取 8輛，經(jīng)檢測它們的得分 x的值如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2 ,把這8輛轎車的得分看成一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)Xi(1 < i <

15、;8, i N),設(shè)樣本平均數(shù)為 x ,求| xi _ x | <0.5的概率.【解析】(I )設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車 n輛,-50由題意得一=n10100+300所以 n=2 000.則 z=2 000 (100 + 300) -(150 +450)600 = 400.(2 分)(n)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意 黑r=a,得a=2.(4分)1 0005因此抽取的容量為 5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車.用A, A表示2輛舒適型轎車，用 B,艮，區(qū)表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用 E表示事件“在 該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有：(

16、A, A), (A, B), (A, B2), (Ai, B3) , (A, B) , (A, R), (A, R) , (B, B2) , (B, B3), (B2, B3)，共 10 個(gè).事件E 包含的基本事件有：(A,A),(A,B),(A,B), (A,B3), (A, B), (A, B),(A, B),共 7 個(gè).故")4,即所求概率為看18分)1(出)樣本平均數(shù) x =8X (9.4 +8.6 +9.2 + 9.6+8.7+9.3 +9.0 +8.2) =9.設(shè)D表示事件“從樣本中任取一數(shù)，該數(shù)與1本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5 ”，則基本事件空間中有 8個(gè)基本事件，

17、事件 D包括的基本事件有：9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 6 3共6個(gè)，所以RD=z，8 4即所求概率為3.(12分)4(19)(本小題滿分12分)如圖，四棱錐S-ABCD勺底面是正方形，每條側(cè)棱白長都是底面邊長的42倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(I )求證：ACL SD;(n )若SDL平面PAC側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn) E,使得BE/平面PAO若存在，求SE： EC的值；若不存在，試說明理由.【解析】(I )證明：連接BD設(shè)AC交BW點(diǎn)Q連接SO由題意得四棱錐 S- ABCD1正四棱錐，所以 SOL AC又因?yàn)檎叫?ABCD3, AC! BD所以ACL平面SBD,.

18、SD?平面 SBD 所以 ACL SD(6 分)(n )在SC上存在一點(diǎn)E,使得BE/平面PAC設(shè)正方形邊長為 a,則SD= 42a.由SDL平面PAC# PD=沖,故可在 SP上取一點(diǎn) N,使PN= PD過點(diǎn)N作PC的平行線與SC的交點(diǎn)為E,連接BN在 BDN,易得 BN/ PO又因?yàn)?NE/ PC所以平面 BEN/平面PAC所以BE/平面PAC因?yàn)?SN： NP= 2： 1,所以 SE： EC= 2： 1.(12 分)(20)(本小題滿分12分)已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸，焦距為2,且長軸長是短軸長的 平倍.(I )求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n )設(shè)P(2 , 0),過橢圓E左焦點(diǎn)F

19、的直線l交E于A、B兩點(diǎn)，若對滿足條件的任意直線l ,不等式PA-PBC入(入C R)恒成立，求 入的最小值.【解析】(I )依題意,a=/2b, c=1,2解得a2=2, b2=1,橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1" + y2= 1.(4分)(n )設(shè) A(xi, y1) , B(x2, y2),貝UPA PB= (Xi-2, y1) (x22, y。=(Xi2)( x22)+ yy2,21當(dāng)直線 l垂直于 x軸時(shí)，xi = X2=1, yi = y2且 yi = "2,此時(shí) PA (3, yi), PB= (3, y2)= (3, yi),所以 PAPb= (3)2y2=; (7

20、分)當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l ： y= k(x+i),y= k (x+1) , »2 2224k2由 i 2 2 2 2 整理得(i + 2k ) x + 4k x+2k 2=0,所以 xi+ x2= - H2p，xix2=2k2- 2 i + 2k2'所以 PAV PB= xix22(xi + x2)+4+k2(xi + i)( xz+i)=(i +k2)xix2+(k2 2)( xi + x2) + 4+k2=(i +k2) . 21/ (k22) "2 + 4+k2.2i7k + 2 i7 i3 i7=2k2+ i =萬一2 (2k2+i) <&

21、quot;T一一一一 i7要使不等式PA-PB<入(入C R)恒成立，只需 入>(PA- P§max=萬，即 入的最小值為i7 八y.(i2 分)(2i)(本小題滿分i2分) x已知函數(shù)f(x)=mx- aln x e g(x) =ft,其中 簿a均為頭數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).e(I )求函數(shù)g( x)的極值；ii()設(shè)mR i,a<0,若對任意的 xi,x2C 3 ,4( xi 刈，| f(x2) f (xi)|< 1g(x2)- g(xi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值._. . _ _ .一 一i x .一【解析】(I)由題得，g (x)=e3i，令g (x)

22、 = 0,得x=i,列表如下:x(一00, i)i(i +°°)g' (x)K 010小于0g(x)極大值當(dāng)x=i時(shí)，g(x)取得極大值g(i) =i,無極小值；(4分)(n )當(dāng) mR i, a<0 時(shí)，f(x) = x aln x- i, xC(0, 十°°),x-ie_x，. f ' (x) =xa>0在區(qū)間3, 4上恒成立, x，一、，一一，、-i f (x)在區(qū)間3 , 4上為增函數(shù)，設(shè) h(x)=-g x /4上為增函數(shù),.ex i (x i) . . .h (x) =2>0在區(qū)間3 , 4上恒成立，h(x)

23、在區(qū)間3 ,x不妨設(shè)x2>xi貝U 1f (x2) f(x1)|< |g-x2- g (必) 等價(jià)于 f(x2) -f (x1)<h(x2)-h(x1)x- 1一、-e即 f(x2)h(x2)<f(x1) h(x。，設(shè)u(x)=f (x) h(x)=xalnx- 1 -,ex (x1)<0在區(qū)間3 , 4上x_ . _ .a則u(x)在區(qū)間3 , 4上為減函數(shù)，u (x) = 1 x.a>x-ex 1 + ex-在區(qū)間3, 4上恒成立，a>& ex-1+ex- 1I , x e 3 , 4 x max設(shè) v( x) =xex1x-1 e+ ,

24、xC 3 , 4, x則 v' ( x) = 1 e、/j=1+-2常,e"1!|i- 1； + 3 >3e2>1,，v' (x)<0,則 v(x)在區(qū)間3 , 4上為減函數(shù), 42；44 . v(x)在區(qū)間3 , 4上的最大值 v(3) =3 2e2,a> 3-|e2,33實(shí)數(shù)a的最小值為3 2e2.(12分) 3請考生在(22)、(23)兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.(22)(本小題滿分10分)選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C的極坐標(biāo)方程是p =2,以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x軸的正半軸建立平面直角x= 1 +1坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為廠(t為參數(shù)).)=2+四(I)寫出直線l的普通方程與曲線 C的直角坐標(biāo)方程；x = x(n)設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換11后得到曲線 C ,設(shè)M(x, y)為C'上任意一點(diǎn)，求iy, =2yx2q3xy+2y2的最小值，并求相應(yīng)的點(diǎn) M的坐標(biāo).【解析】(I ) p =2,故圓C的方程為x2+y2=4'x = 1 + t直線l的參數(shù)方程為，直線l方程為3xy V3+2=0.(5分) 曠=2 十43