1、 第第4章章 扭扭 轉轉4.1 概念概念 第第 4 章章 扭扭 轉轉汽車傳動軸汽車傳動軸4.1 概念概念 第第 4 章章 扭扭 轉轉4.1 概念概念 第第 4 章章 扭扭 轉轉絲錐攻絲絲錐攻絲4.1 概念概念 第第 4 章章 扭扭 轉轉 改動變形是指桿件遭到大小相等改動變形是指桿件遭到大小相等, ,方向方向相反且作用平面垂直于桿件軸線的力偶作用相反且作用平面垂直于桿件軸線的力偶作用, ,使桿件的橫截面繞軸線產生轉動。使桿件的橫截面繞軸線產生轉動。 受改動變形桿件通常為軸類零件，其橫受改動變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的。所以本章主要引見圓軸截面大都是圓形的。所以本章主要引見圓軸改動

2、。改動。4.1 概念概念 第第 4 章章 扭扭 轉轉KMKMAB 如圖，圓軸在外力偶作用下發生改動變形。稱為改動角。稱為改動角。稱為剪切角。稱為剪切角。4.1 概念概念 第第 4 章章 扭扭 轉轉直接計算直接計算外力偶矩外力偶矩4.1 概念概念 第第 4 章章 扭扭 轉轉外力偶矩外力偶矩按輸入功率和轉速計算按輸入功率和轉速計算知知軸轉速軸轉速n n 轉轉/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率Pk Pk 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩MeMe電機每秒輸入功：電機每秒輸入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：)N.m(1000kPW602nMWekPkP4.2 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 第第 4 章章 扭扭

3、轉轉扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖4.2 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 第第 4 章章 扭扭 轉轉扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖4.2 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 第第 4 章章 扭扭 轉轉扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖T = Me4.2 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 第第 4 章章 扭扭 轉轉扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖T = Me4.2 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 第第 4 章章 扭扭 轉轉扭矩正負規定扭矩正負規定右手螺旋法那右手螺旋法那么么右手拇指指向外法線方向為右手拇指指向外法線方向為 正正(+),(+),反之為反之為 負負(-)(-)KMKMmm4.2 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 第第 4 章章 扭扭 轉轉如圖求圓軸指

4、定截面的內力。如圖求圓軸指定截面的內力。 由截面法：1截開，留下左半段，去掉右半段； 3思索留下部分的平衡思索留下部分的平衡0:0KxMTMKMT 同樣，亦可留下右半段作為研討對象，可的同樣的結果，如圖。 扭矩的符號規定：自截面的外法線向截面看，逆時針扭矩的符號規定：自截面的外法線向截面看，逆時針為正，順時針為負。為正，順時針為負。KMmmT 2用內力替代去掉部分對用內力替代去掉部分對留下部分的作用；留下部分的作用； T稱為扭矩。稱為扭矩。KMmmT4.2 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 第第 4 章章 扭扭 轉轉扭矩圖扭矩圖 4. 2 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 第第4 章章 扭扭 轉轉解解: :(

5、1)(1)計算外力偶矩計算外力偶矩由公式由公式Pk/n4. 2 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 第第4 章章 扭扭 轉轉(2)(2)計算扭矩計算扭矩(3) (3) 扭矩圖扭矩圖4. 2 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 第第4 章章 扭扭 轉轉4.3 薄壁圓管的改動薄壁圓管的改動 第第 4 章章 扭扭 轉轉薄壁圓筒：壁厚薄壁圓筒：壁厚0101rt r0：為平均半徑一、實驗：一、實驗：1.實驗前：實驗前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；兩端施加一對外力偶兩端施加一對外力偶 m。4.3 薄壁圓管的改動薄壁圓管的改動 第第 4 章章 扭扭 轉轉2.實驗后：實驗后：圓周線不變；圓周線不變；各縱向線長度不變，但均

6、傾斜了同一微小角度各縱向線長度不變，但均傾斜了同一微小角度 。 縱向線變成螺旋線。縱向線變成螺旋線。3.結果：結果： 圓筒外表的各圓周線的外形、大小和間距均未改圓筒外表的各圓周線的外形、大小和間距均未改 變，變，只是繞軸線作了相對轉動。圓周線實踐代表一個橫截面，此只是繞軸線作了相對轉動。圓周線實踐代表一個橫截面，此結果闡明橫截面仍堅持平面，且大小、外形不變，滿足平面結果闡明橫截面仍堅持平面，且大小、外形不變，滿足平面假設。假設。一切矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。一切矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。4.3 薄壁圓管的改動薄壁圓管的改動 第第 4 章章 扭扭 轉轉rKMKM薄壁圓管改

7、動時橫截面上的剪應力薄壁圓管改動時橫截面上的剪應力 如下圖，借助實驗察看結合實際分析，可得如下結論： 1橫截面上只需剪應力，沒有正應力；2剪應力的方向沿圓周的切線方向。KMx 薄壁筒改動時，因長度不變，薄壁筒改動時，因長度不變，故橫截面上沒有正應力，只需切應故橫截面上沒有正應力，只需切應力。因筒壁很薄，切應力沿壁厚分力。因筒壁很薄，切應力沿壁厚分布可視作均勻的，切應力沿圓周切布可視作均勻的，切應力沿圓周切線，方向與扭矩轉向一致。線，方向與扭矩轉向一致。4.3 薄壁圓管的改動薄壁圓管的改動 第第 4 章章 扭扭 轉轉 用截面法，思索一部分圓管的平衡：020220:0AMrMMTmKKKx得KMx

8、tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0為平均半徑所作圓的面積。為平均半徑所作圓的面積。4. 3 薄壁圓管的改動薄壁圓管的改動 第第 4 章章 扭扭 轉轉 二、剪應力互等定理acddxb dy tzdxdytdxdytmz ; 0 這就是切應力互等定理：在單元體相互垂直的兩個截面這就是切應力互等定理：在單元體相互垂直的兩個截面上，切應力必然成對出現，且數值相等，兩者都垂直于兩平上，切應力必然成對出現，且數值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向或共同指向交線，或共同背叛交線。面的交線，其方向或共同指向交線，或共同背叛交線。4. 3 薄壁圓管的改動薄壁圓管的改動

9、 第第 4 章章 扭扭 轉轉 該定理具有普遍性，不僅對純剪切應力形狀下成立，對正應力和剪應力同時作用的單元體亦成立。 單元體的四個側面上只需切應力而無正應力作用，這單元體的四個側面上只需切應力而無正應力作用，這種應力形狀稱為純剪切應力形狀。種應力形狀稱為純剪切應力形狀。acddxb dy tz4. 3 薄壁圓管的改動薄壁圓管的改動 第第 4 章章 扭扭 轉轉P 三、剪切虎克定律acddxb dy tz 單元體單元體ab 的傾角的傾角 稱為切應稱為切應變，切應變是單元體直角的改動量。變，切應變是單元體直角的改動量。實驗闡明，在彈性范圍內，切應力實驗闡明，在彈性范圍內，切應力與切應變成正比，即與切

10、應變成正比，即G 這就是剪切虎克定律，比例常數這就是剪切虎克定律，比例常數G 稱為剪切彈性模量。稱為剪切彈性模量。4. 3 薄壁圓管的改動薄壁圓管的改動 第第 4 章章 扭扭 轉轉 三、剪切虎克定律 剪切彈性模量剪切彈性模量G 、與彈性模量、與彈性模量E 和泊松比和泊松比 一樣，都一樣，都是表征資料力學性質的資料常數。對于各向同性資料，這是表征資料力學性質的資料常數。對于各向同性資料，這三個資料常數并不是獨立的，它們存在如下關系。三個資料常數并不是獨立的，它們存在如下關系。 根據該式，在三個資料常數中，只需知道恣意兩個，根據該式，在三個資料常數中，只需知道恣意兩個，就可求出第三個來。就可求出第

11、三個來。)1 (2EG4. 4 圓軸改動時的應力和強度條件圓軸改動時的應力和強度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉 如下圖，借助實驗如下圖，借助實驗察看做出平截面假設察看做出平截面假設(假假設橫截面像剛性平面一設橫截面像剛性平面一樣繞桿的軸線轉動樣繞桿的軸線轉動)，得，得如下推斷：如下推斷： 1橫截面上只需剪應力，沒有正應力；橫截面上只需剪應力，沒有正應力； 2剪應力的方向沿圓周的切線方向。剪應力的方向沿圓周的切線方向。 下面從幾何方面、物理方面、靜力方面三個方面推導圓軸改動時橫截面上的剪應力：一、橫截面剪應力的普通公式一、橫截面剪應力的普通公式4. 4 圓軸改動時的應力和強度條件圓軸改動時的應

12、力和強度條件 ddRdx 1、幾何方面dxd 2、物理方面dxdGGdxdRRdx2o1oABDCabdcBCcbddx1o2oABCDCB(橫截面上橫截面上b 點的切應變點的切應變)(橫截面上橫截面上b 點的切應力點的切應力)4. 4 圓軸改動時的應力和強度條件圓軸改動時的應力和強度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉 3、靜力方面 如下圖，在整個橫截面上，一切微力矩之和等于該截面的扭矩，即TdAAdxdGG將將 代入上式，得代入上式，得dAdxdGdAdxdGdATAAA2令令 ，稱為橫截面對圓心的極慣性矩。于是，稱為橫截面對圓心的極慣性矩。于是dAIAP2dxdGITPO2dAdAbTdxd

13、GG而而:4. 4 圓軸改動時的應力和強度條件圓軸改動時的應力和強度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉PIT令令抗扭截面系數抗扭截面系數4. 4 圓軸改動時的應力和強度條件圓軸改動時的應力和強度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉二、最大改動剪應力二、最大改動剪應力 強度條件強度條件 對整個圓軸對整個圓軸m axm axpTW 于是可得強度條件為于是可得強度條件為m axm axpTW其中允許切應力其中允許切應力 是由改動時資料的極限切應力除以平安是由改動時資料的極限切應力除以平安系數得到。系數得到。32242032DddAIDAPdAIAP2由由 ，對于圓，如圖，那么，對于圓，如圖，那么4. 4

14、圓軸改動時的應力和強度條件圓軸改動時的應力和強度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉三、極慣性矩三、極慣性矩 抗扭截面模量抗扭截面模量OdDddA2163maxDIWPnODd對于空心圓對于空心圓)1 (32)(324444DdDIP3444()(1)1616pDWDdD其中其中 。Dd剪應力分布圖如圖。剪應力分布圖如圖。4. 4 圓軸改動時的應力和強度條件圓軸改動時的應力和強度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉 例例2 圖示階梯狀圓軸，圖示階梯狀圓軸，AB段直徑段直徑d1=120mm，BC段直段直徑徑d2=100mm。外力偶矩為。外力偶矩為MKA=22kN.m, MKB=36 kN.m , MKC

15、=14 kN.m 。知資料的許用剪應力。知資料的許用剪應力 ，試校，試校核該軸的強度。核該軸的強度。 MPa80ABCKAMKBMKCM 解：用截面法求得解：用截面法求得AB、BC的扭矩分別為的扭矩分別為mkNTmkNT142221扭矩圖如下圖。扭矩圖如下圖。mkN 22mkN 14圖T 3611max312210:64.8 1064.8(0.12)16pTABPaMPaW段 3622 max321410:71.31071.3(0.1)16pTBCPaMPaW段故，該軸滿足強度要求。故，該軸滿足強度要求。4. 4 圓軸改動時的應力和強度條件圓軸改動時的應力和強度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉

16、 例例3 某傳動軸，橫截面上的最大扭矩某傳動軸，橫截面上的最大扭矩Mn=1.5kN.m，許，許用剪應力用剪應力 ，試按以下兩種方案確定軸的截面尺，試按以下兩種方案確定軸的截面尺寸，并比較其分量。寸，并比較其分量。 1橫截面為實心圓截面；橫截面為實心圓截面； 2橫截面為橫截面為 的空心圓截面。的空心圓截面。 MPa509 . 0 解：解：1確定實心軸的直徑確定實心軸的直徑 由強度條件由強度條件 ，其中，其中 ，得，得 pTW316pDW 33061616 1.5 1053.5 1053.550 10pMDmmm 33取取 。mmD5404. 4 圓軸改動時的應力和強度條件圓軸改動時的應力和強度條

17、件 第第 4 章章 扭扭 轉轉 2確定空心軸的內、外徑確定空心軸的內、外徑 由強度條件由強度條件 ，其中，其中 ，得，得 pTW34(1)16pDW 334461616 1.5 1076 1076(1)(1 0.9 ) 50 10pMDmmm33mmDd4 .68769 . 09 . 0故故取取mmdmmD68,76 3分量比較分量比較395. 05468764)(42222022DdDAA實空重量比4. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉一、改動角的計算一、改動角的計算 由上節知由上節知 ，所以，所以 ，于是，于是dxdGITPdxGITdP

18、dxGITdP對于扭矩為常數的等截面圓軸，改動角為對于扭矩為常數的等截面圓軸，改動角為PGITlPGI稱為截面的抗扭剛度。稱為截面的抗扭剛度。4. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉二、剛度條件二、剛度條件(rad/m) dd pGITx (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 稱為許用單位改動角。假設許用單位改動角給的稱為許用單位改動角。假設許用單位改動角給的是是 ，那么上式改寫為，那么上式改寫為m/例例4圖示圓軸，知圖示圓軸，知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC =2kN.m；l1 =0.7m，l2

19、=0.3m； =60MPa， =0.3/m，G=80GPa；試選擇該軸的直徑。；試選擇該軸的直徑。ABCmAmB mC l1l22kN.m1kN.m 解：解： 按強度條件按強度條件 maxmax316cpTmWd mmmdC4 .551010602000161633634. 4 圓軸改動時的應力和強度條件圓軸改動時的應力和強度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉ABCmAmB mC l1l22kN.m1kN.m 按剛度條件按剛度條件 /m)( 180 maxpGIT 18032max4GTdIP mmGTd5 .83103 . 0108018020003218032342942max該圓軸直徑應選

20、擇：該圓軸直徑應選擇：d =83.5mm.4. 4 圓軸改動時的應力和強度條件圓軸改動時的應力和強度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉MPaPaWTt3 .94103 .941606. 0104633111max4. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉 例例5 圖示圓軸，圖示圓軸，AB段為實心圓截面，直徑段為實心圓截面，直徑d1=60mm，BC段為實心圓截面，直徑段為實心圓截面，直徑D=80mm，CD段為空心圓截面，段為空心圓截面，內徑內徑d2=60mm，外徑，外徑D=80mm，所受外力偶矩如圖。各，所受外力偶矩如圖。各段桿的允許剪應力為段桿的允

21、許剪應力為 。1試校核該軸的試校核該軸的強度；強度；2如資料的剪切彈性模量如資料的剪切彈性模量 ，求，求此軸總改動角。此軸總改動角。 MPa100MPaG4108mkN4mkN6mkN10m4 . 0m3 . 0m6 . 0 解：解：1作扭矩圖如下作扭矩圖如下圖。圖。mkN 4mkN 6圖nMABCD 2強度校核強度校核 最大剪應力能夠出如今最大剪應力能夠出如今AB段或段或CD段，其最大剪應力段，其最大剪應力為為4. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉362max23426 101687.3 1087.30.081 (3 4)pTPaMPaW

22、MPa3 .941maxmax故滿足強度條件。故滿足強度條件。mkN4mkN6mkN10m4 . 0m3 . 0m6 . 0ABCD 3求總改動角求總改動角CDBCABrad00626.032)43(108.01086 .01063208.01083 .01063206.01084 .01044410341034103例例6 圖示圓軸，知圖示圓軸，知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； =60MPa， =1/m，G=80GPa；試校核該軸的強度和；試校核該軸的強度和剛度，并計算兩端

23、面的相對改動角。剛度，并計算兩端面的相對改動角。ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m 解：解： 按強度核該按強度核該 1131131616 60047.74BpTmWdMPad1d24. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m 2232231616 80011.97CpmTWdMPad1d2滿足強度條件。滿足強度條件。按剛度核該按剛度核該mGITP/71. 118010401080600321801249111mGITP/24. 01801070108080032180

24、12492224. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m d1d2 m/71. 11max此軸不滿足剛度條件。此軸不滿足剛度條件。)(324111422211122212dlTdlTGGIlTGIlTPPCB245. 0180101)402 . 0600704 . 0800(10803212449CB4. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉 例例7 長為長為 l =2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，的作用，如

25、圖，假設桿的內外徑之比為如圖，假設桿的內外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用，許用切應力切應力 =30MPa，試設計桿的外徑；，試設計桿的外徑；=2/m ，試校，試校核此桿的剛度，并求右端面轉角。核此桿的剛度，并求右端面轉角。解：設計桿的外徑解：設計桿的外徑34D 1 16pW（） 34max)1 (16TD maxpTWmKNmm/20m24. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉xxmxxT20)(NmmlT40max mmTD57.22101030)8 . 01 (4016)1 (16336434maxmKNmm/20m24. 5

26、 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉 剛度校核剛度校核180maxmaxPGIT 89. 1)1 (108018040324429D右端面轉角右端面轉角radGIGIxGIxdxGIdxxTPPPlP033. 0)8 . 01 (106 .2210804032401020)(41249202204. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉例例8 圖示圓桿圖示圓桿BC 段為空心，知段為空心，知 D =50mm，d=25mm； a =250mm，b =150mm；G=80GPa；試求該桿的最大切應力；試求該

27、桿的最大切應力和自在端的改動角。和自在端的改動角。ABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m11223344解：此題應分解：此題應分4段思索。段思索。32421DIIPP)(324443dDIIPP16321DWWtt)1 (1644343DdDWWtt4. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉ABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m 0.8kN.m 0.5kN.m1kN.m11223344MPaDTWTP74.40510001616331111MPaDTWTP76.34)5 . 01 (5800

28、16)1 (1643434444MPa74.401max4. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉ABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m 0.8kN.m 0.5kN.m1kN.m1122334472. 00126. 0)(151632)1 (32)1 (32323242214444442424144332211radaTbTbTaTDGDGaTDGbTDGbTDGaTGIaTGIbTGIbTGIaTPPPP4. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉4. 5 圓軸改動時的變

29、形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 第第 4 章章 扭扭 轉轉例例9 階梯圓軸階梯圓軸AB兩端固定，受外力偶矩兩端固定，受外力偶矩 m=4.5kN.m作用，作用，假設假設d1=70mm, d2=55mm, l1=1m, l2=1.5m。資料的。資料的G=80GPa,=60MPa, ,=1.5o/m,試對該軸進展強度和剛度試對該軸進展強度和剛度校核。校核。ABC1l2lmmACBAmBm 解：解：1靜力平衡靜力平衡0mmm:0mBAx 2變形幾何關系變形幾何關系0CBACAB 3物理關系物理關系1 112 221122,ABACCBPPPPm lm lm lm lGIGIGIGI 代入幾何關

30、系，得補充方程代入幾何關系，得補充方程02211PBPAGIlmGIlm第第 4 章章 扭扭 轉轉4. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件 補充方程與平衡方程聯立求解得：補充方程與平衡方程聯立求解得：mkNllmlmmkNllmlmBA8 . 15 . 1115 . 47 . 25 . 115 . 15 . 4211212故由截面法可得故由截面法可得mkNmmmkNmmBnAn8 . 1;7 . 221軸力圖如下圖。軸力圖如下圖。ABC1l2lmmkN 7 . 2mkN 8 . 1圖nM 4強度校核強度校核MPaPadmCBMPaPadmACnn55105516/1055

31、108 . 116/:1 .40101 .4016/1070107 . 216/:6933322269333111段段第第 4 章章 扭扭 轉轉4. 5 圓軸改動時的變形和剛度條件圓軸改動時的變形和剛度條件軸的最大剪應力：軸的最大剪應力： MPa55max故軸滿足強度條件。故軸滿足強度條件。 5剛度校核剛度校核mGImmmdIACPnP/82.01036.21080180107 .21801036.2327032:693111264411段mGImmmdICBPnP/44.11098.81080180108 .11801098.8325532:793222254422段 m/44. 12max該軸滿足剛度條件。該軸滿足剛度條件。六、資料改動時的力學性質六、資料改動時的力學性質第第 4 章章 扭扭 轉轉 4-6、資料改動時的力學性質、資料改動時的力學性質 非圓截面等直桿：平面假設不成立。即各截面發生非圓截面等直桿：平面假設不成立。即各截面發生翹曲不堅持平面。因此，由等直圓桿改動時推出的應力、翹曲不堅持平面。因此，由等直圓桿改動時