1、第四節第四節 拉壓桿變形拉壓桿變形 前面從應力方面處理了強度問題不破壞前面從應力方面處理了強度問題不破壞有時候雖然沒有破壞，可是變形大，也不行有時候雖然沒有破壞，可是變形大，也不行 還要保證還要保證: :不過度變形，即需求處理不過度變形，即需求處理 剛度問題剛度問題于是提出變形計算問題于是提出變形計算問題如何計算？因線應變是單位長度的線變形如何計算？因線應變是單位長度的線變形思緒：線應變思緒：線應變 線變形線變形 變形不超越限制變形不超越限制 平安功能的第二個保平安功能的第二個保證證 待求待求 桿的軸向總變形桿的軸向總變形 伸長伸長拉應力為主導；拉應力為主導； 縮短縮短壓應力為主導壓應力為主導

2、求解出發點求解出發點 線應變線應變 1 1平均線應變平均線應變 此路不通此路不通L LL LL LL LL L1 12 2一點線應變一點線應變 可行可行一、軸向變形一、軸向變形LLL1LLLL1PQ)(dxxdLLL1QP恣意恣意 x x 點處的縱向線應變點處的縱向線應變dxdx )(另一方面，由本構關系另一方面，由本構關系EAxNE )( 于是于是 x x 點處的微小變形為點處的微小變形為EAdxxNdx)()( 把一切點處的變形加起來積分，得：把一切點處的變形加起來積分，得：此即為整個桿的總變形。此即為整個桿的總變形。LLEAdxxNdx00)()(LxEAxdxNL0)()(niiiii

3、AELNL13 3、階段等內力、階段等內力n n段中分別為常量段中分別為常量N(x)xdx2 2、變內力變截面、變內力變截面)( xAA PPEAPLL 拉壓桿的縱向線變形：拉壓桿的縱向線變形：LEAdxxNL0)(拉壓桿的剛度條件：拉壓桿的剛度條件：L1 1、等內力等截面、等內力等截面PxN)(橫向線應變橫向線應變橫向變形：橫向變形：accaacacacPPacca二、橫向變形與泊松比二、橫向變形與泊松比 伴隨桿的縱向伸長伴隨桿的縱向伸長橫向收縮他察看到了嗎？橫向收縮他察看到了嗎？ 縱向伸長縱向伸長橫向收縮，有什么規律性？他思索了嗎？橫向收縮，有什么規律性？他思索了嗎？橫向變形系數或泊松比橫

4、向變形系數或泊松比橫向應變與縱向應變之比橫向應變與縱向應變之比 或實驗闡明，對于某種資料，當應力不超越比例極限時，泊松比實驗闡明，對于某種資料，當應力不超越比例極限時，泊松比是個小于是個小于1 1的常數。的常數。 假設他是假設他是1919世紀初的擅長思索者，該系數會以他的名字命名，而世紀初的擅長思索者，該系數會以他的名字命名，而不是法國的泊松不是法國的泊松Simon Denis PoissonSimon Denis Poisson，1781-18401781-1840如今能想到如今能想到客觀發明，意義也很大！客觀發明，意義也很大！1、怎樣畫小變形節點位移圖？、怎樣畫小變形節點位移圖？2 2嚴厲

5、畫法嚴厲畫法 弧線弧線目的目的 求靜定桁架節點位移求靜定桁架節點位移 3 3小變形畫法小變形畫法 切線切線三、三、 小變形的節點位移小變形的節點位移 畫法與解法畫法與解法ABCL1L2P1L2LCC1 1求各桿的變形量求各桿的變形量Li Li 2、怎樣計算小變形節點位移？、怎樣計算小變形節點位移？ 目前目前幾何學幾何學 以后以后計算機程序計算機程序1LuB解：變形圖如圖解：變形圖如圖2 2， B B點位移至點位移至BB點，由圖點，由圖sinctg21LLvBABCL1L21L2LBuBvB 例例 寫出圖中寫出圖中B B點位移與兩桿變形間的關系點位移與兩桿變形間的關系060sin6 . 12 .

6、 18 . 060sin0ooATPTm kN55.113/PTMPa1511036.7655.119AT例例 截面積為截面積為 76.36mm 76.36mm 的鋼索繞過無摩擦的定滑輪的鋼索繞過無摩擦的定滑輪P=20kNP=20kN，求，求剛索的應力和剛索的應力和 C C點的垂直位移。鋼索的點的垂直位移。鋼索的 E =177GPa E =177GPa，設橫梁，設橫梁ABCDABCD為剛梁為剛梁解解 1 1求鋼索內力求鋼索內力ABCDABCD為對象為對象2) 2) 鋼索的應力和伸長分別為鋼索的應力和伸長分別為800400400DCPAB60 60PABCDTTYAXAmm36. 1m17736

7、.766 . 155.11EATLLCPAB60 60800400400DAB60 60DBD12CC3 3變形圖如左變形圖如左 C C點的垂直位移為：點的垂直位移為：260sin60sin 221DDBBLCmm79. 060sin236. 160sin2oL1 1、問題的提出、問題的提出 兩桿桁架變成三桿兩桿桁架變成三桿桁架，缺一個方程，桁架，缺一個方程，無法求解無法求解一、超靜定問題及其處置方法一、超靜定問題及其處置方法CPABD123CPAB120sinsin21NNX0coscos321PNNNY 三桿桁架是單靠靜力方程求解不了的，稱為靜不定三桿桁架是單靠靜力方程求解不了的，稱為靜不

8、定 Static Static indeterminate indeterminate 靜力不能確定。超靜定問題靜力不能確定。超靜定問題Hyperstatic Hyperstatic 超超出了靜力范圍。其實我們在拉壓桿應力遇到過這類問題：拉壓桿截面上有無出了靜力范圍。其實我們在拉壓桿應力遇到過這類問題：拉壓桿截面上有無窮個應力，單憑靜力平衡方程不能求解窮個應力，單憑靜力平衡方程不能求解 超靜定問題：需補充變形協調超靜定問題：需補充變形協調方程，建立本構或物理方程予以溝通，結合平衡方程聯立求解。方程，建立本構或物理方程予以溝通，結合平衡方程聯立求解。2 2、超靜定的處置方法：、超靜定的處置方法：

9、 平衡方程、變形協調方程、平衡方程、變形協調方程、 本構方程本構方程例：知桿長例：知桿長 L1=L2 L1=L2， L3 =L L3 =L，面積，面積 A1=A2=A A1=A2=A，A3A3，彈性模量彈性模量 E1=E2=E E1=E2=E，E3 E3 求：三桿桁架內力求：三桿桁架內力CPABD123解解 (1) (1)靜力平衡方程靜力平衡方程力學力學0sinsin21NNX0coscos321PNNNYPAN1N3N2CABD123A11L2L3L(2)(2)變形協調方程變形協調方程幾何幾何(3) (3) 本構方程本構方程物理物理cos31LL11111AELNL 33333AELNL 4

10、 4聯立求解聯立求解代數代數解法一解法一力法：力法：a a、由幾何和物理方程消除位移、由幾何和物理方程消除位移b b、此方程于平衡方程是、此方程于平衡方程是3 3個方程含個方程含3 3個力未知個力未知量，解得量，解得cos33331111AELNAELN333113333331121121cos2 ; cos2cosAEAEPAENAEAEPAENN解法二解法二混合法：混合法：a a、由幾何和物理方程消除、由幾何和物理方程消除N1N1和和N2N2； b b、解、解3 3個方程含個方程含1 1個力未知量，個力未知量，2 2個位移未個位移未知量知量3、超靜定問題的解法、超靜定問題的解法1 1靜力平

11、衡方程靜力平衡方程力學力學原有基地原有基地2 2變形協調方程變形協調方程幾何幾何新開方向新開方向3 3資料本構方程資料本構方程物理物理構筑橋構筑橋梁梁4 4方程聯立求解方程聯立求解代數代數綜合把握綜合把握例例 木制短柱的四角用四個木制短柱的四角用四個404040404 4的等邊角鋼加固，角鋼和木的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應力分別為材的許用應力分別為 1=160M Pa1=160M Pa和和 2=12MPa2=12MPa，彈性模量分別，彈性模量分別為為E1=200GPa E1=200GPa 和和 E2 =10GPa E2 =10GPa；求答應載荷；求答應載荷P P0421PNNY21LL2

12、222211111LAELNAELNL(2)(2)變形方程變形方程(3)(3)本構方程本構方程解：解：(1)(1)平衡方程平衡方程P1m250250PPy4N1N24 4 聯立求解得聯立求解得PNPN72. 0 ; 07. 0215 5求構造的答應載荷求構造的答應載荷 1)21,iANiii ( 角鋼面積由型鋼表查得角鋼面積由型鋼表查得 A1=3.086cm2A1=3.086cm2 kN104272. 0/12250 72. 0/72. 0/22222ANP kN4 .70507. 0/1606 .308 07. 0/07. 0/1111ANP2 2變形方程變形方程解：解：1 1平衡方程平衡方

13、程2、靜不定問題存在裝配應力、靜不定問題存在裝配應力0sinsin21NNX0coscos321NNNY13cos)(LL二、裝配應力二、裝配應力1、靜定問題無裝配應力、靜定問題無裝配應力以下圖，以下圖，3 3號桿的尺寸誤差為號桿的尺寸誤差為，求各桿的裝配內，求各桿的裝配內力力ABC12ABC12DA13 A1N1N2N33 3 本構方程本構方程11113333cos)(AELNAELNAA13L2L1L4 4聯立求解聯立求解 / cos21cos33113211321AEAEAELNN / cos21cos23311331133AEAEAELN1 1、靜定問題無溫度應力。、靜定問題無溫度應力

14、。三三 、溫度應力、溫度應力 以下圖，以下圖，1 1、2 2號桿的尺寸及資料都一樣，當構造溫度號桿的尺寸及資料都一樣，當構造溫度由由T1T1變到變到T2T2時時, ,求各桿的溫度內力各桿線膨脹系數分別為求各桿的溫度內力各桿線膨脹系數分別為i ; i ; T= T2 -T1) T= T2 -T1) ABC12BCAD123A11L2L3L2 2、靜不定問題存在溫度應力。、靜不定問題存在溫度應力。PAN1N3N2解：解：1 1平衡方程平衡方程0sinsin21NNX0coscos321NNNY2 2變形方程變形方程cos31LL3 3本構方程本構方程iiiiiiiLTAELNL由變形和本構方程消除

15、位移未知量由變形和本構方程消除位移未知量, ,聯立求解得聯立求解得 / cos21)cos(331132311121AEAETAENN / cos21cos)cos(233113231113AEAETAENaa aaN1N2 例例 階梯鋼桿的上下兩端在階梯鋼桿的上下兩端在T1=5T1=5時被固時被固 定定, ,上下兩段的面上下兩段的面積為積為 = = cm2 cm2 ， = =cm2cm2，當溫度升至，當溫度升至T2=25T2=25時時, ,求求各桿的溫度應力各桿的溫度應力 彈性模量彈性模量E=200GPaE=200GPa，線膨脹系數，線膨脹系數 =12.5 =12.5 2 2變形方程變形方程

16、解：解：1 1平衡方程平衡方程021NNY0NTLLLC11063 3本構方程本構方程2211 ; 2EAaNEAaNLTaLNT由變形和本構方程消除位移未知量由變形和本構方程消除位移未知量22112EANEANT4 4聯立求解得聯立求解得kN 3 .3321 NN5 5溫度應力溫度應力MPa 7 .66111ANMPa 3 .33222AN本本 章章 小小 結結1軸向拉伸和緊縮時的重要概念：內力、應力、軸向拉伸和緊縮時的重要概念：內力、應力、 變形和應變等相應的計算和公式：變形和應變等相應的計算和公式： 內力、內力圖；正應力公式；應力內力、內力圖；正應力公式；應力-應變本構關系應變本構關系圣維南原理；應力集中；斜截面應力公式圣維南原理；應力集中；斜截面應力公式2資料力學性能最主要、最根本的實驗低碳鋼拉伸資料