1、上節課內容回想上節課內容回想多自在度體系的振動方程多自在度體系的振動方程多自在度體系的自振頻率方程；多自在度體系的自振頻率方程；多自在度體系的自振頻率和振型；多自在度體系的自振頻率和振型；振型的正交性振型的正交性; ;振型的規范化振型的規范化 )()()()(tftYKtYCtYMP nmimjm1mnij10)(tfPn)(tfPi)(tfPj)(1tfP, I iF,S iF,D iF0,iPiSiDiIfFFF)()()(I,1,1,tymFtycFtykFiiinjjijiDnjiijiS)()()()(11tftyktyctymPinjiijnjjijii上節課內容回想上節課內容回想

2、多自在度體系的振動方程多自在度體系的振動方程多自在度體系的自振頻率方程；多自在度體系的自振頻率方程；多自在度體系的自振頻率和振型；多自在度體系的自振頻率和振型；振型的正交性振型的正交性; ;振型的規范化振型的規范化 0:2MK剛度法022122222211122111nnnnnnnmkkkkmkkkkmk 0)1(2ZIM柔度法： 012IM 0IM力的平衡變形的疊加上節課內容回想上節課內容回想多自在度體系的振動方程多自在度體系的振動方程多自在度體系的自振頻率方程；多自在度體系的自振頻率方程；多自在度體系的自振頻率和振型；多自在度體系的自振頻率和振型；振型的正交性振型的正交性; ;振型的規范化

3、振型的規范化只能得到位移的相對值只能得到位移的相對值 121112121222n12nnnnnnXXXXxxxxxxxxx上節課內容回想上節課內容回想多自在度體系的振動方程多自在度體系的振動方程多自在度體系的自振頻率方程；多自在度體系的自振頻率方程；多自在度體系的自振頻率和振型；多自在度體系的自振頻率和振型；振型的正交性振型的正交性; ;振型的規范化振型的規范化 0iTjXMX 0iTjXKX22ji彈性體系作自在振動時，第彈性體系作自在振動時，第i i振型的振型的慣性力在第慣性力在第j j振型的位移上不做功。振型的位移上不做功。上節課內容回想上節課內容回想多自在度體系的振動方程多自在度體系的

4、振動方程多自在度體系的自振頻率方程；多自在度體系的自振頻率方程；多自在度體系的自振頻率和振型；多自在度體系的自振頻率和振型；振型的正交性振型的正交性; ;振型的規范化振型的規范化 方根為基準以“加權平方和”的平中元素大小，使）調整（最大的一個元素為）規定第一個、最后或（振型標準化1211jTjiXMXZ niijijTjjxmXMXa12 10.7 自振頻率和振型的適用計算方法10.7.1 瑞雷法求根本頻率利用能量守恒原理計算體系第一頻率的近似方法。maxmaxT),(txy)(tyi變情勢能動能應變能 22MxdxEI 22EIydxEI MEIyy 彎矩和截面曲率的關系在小變形條件下可認為

5、與曲率相等21T=2mV2max01( )( )2lEI x Yxdx 10.7 自振頻率和振型的適用計算方法10.7.1 瑞雷法求根本頻率利用能量守恒原理計算體系第一頻率的近似方法。maxmaxT),(txy)(tyi)sin()(,txYtxy形式設梁的自由振動取簡諧2,( )cos(),-( )sin()y x tY xty x tY xt llniiidxxYxEIYmdxxYxmT02max01222max)()(21)()(21 lniiilYmdxxYxmdxxYxEI0122022)()()()(無妨用知的構造自重W=mg作為荷載產生的靜力位移曲線 ，近似取代未知的振型函數 。

6、)(xY)(xYnii ilYWdxxYxW10max)()(21 lniiiliniiYWdxxYxWYWdxxYxWg0122012)()()(lniiiYmdxxYxmT01222max)()(21的選擇。法，關鍵在于振型函數只是一種近似的求解方)(xY凡屬滿足構造幾何邊境條件的延續函數均可 例10-9 用瑞雷法求等截面簡支梁的根本頻率xxllaxY24)(解 1假設振型函數Yx為拋物線28)(laxY lniiilYmdxxYxmdxxYxEI0122022)()()()(40224202422120)(1664mlEIdxxxllamdxlaEIllmEIl29545.10例10-9

7、 用瑞雷法求等截面簡支梁的根本頻率433224)(xlxxlEIqxY解 2假設振型函數Yx為滿跨均布荷載q作用下的靜力位移曲線)(2)(2lxxEIqxY EIlqdxxYxEIl120)()(5202 2920263057631EIlmqdxxmYlmEIl28767. 9例10-9 用瑞雷法求等截面簡支梁的根本頻率lxaxYsin)(解 3假設振型函數Yx為正弦曲線lxlaxYsin)(2 mEIl28696. 9正弦曲線）(8696. 923mEIl自重位移曲線）(8767. 922mEIl拋物線）(9545.1021mEIl按照多種不同振型函數的假設，用瑞雷法求的一系列近似頻率中，最

8、小值總是最正確值準確解 10.8 多自在度體系的強迫振動 振動體系的位移曲線外形，可由振型描畫； n個振型都是獨立的，彼此線性無關； 一切振型都是兩兩“M-正交和“K-正交振型分解法 n個自在度體系的強迫振動問題轉化為n個彼此獨立的單自在度體系的強迫振動問題解耦 10.8.1 主坐標的定義和本質 可表示為振動體系位移向量對于各階振型Y(t),Xj數學的實際根底： n個線性無關的振型；關鍵在于振型系數的選擇；組合系數體系的主坐標 n2211X)(X)(X)(Y(t)tatatan )(Y(t)taX矩陣形式：Tntatatata)()()()(21主坐標向量 10.8.1 主坐標的定義和本質表示

9、也可用幾何坐標向量主坐標向量)(Y)(tta 左乘用MXTi n2211X)(X)(X)(Y(t)tatatan taMtYMXiiTi)( taKtYKXiiTi)(同理 廣義剛度廣義質量iTiiiTiiXKXKXMXM iTjiiTjXMXXKX2iiiMK2ji iiiMK 10.8.2 多自在度無阻尼體系的強迫振動 )()()(tftYKtYMP 分方程耦聯的二階非齊次常微個未知數,tyni性常微分方程個一個未知數的二階線線性變換，解耦為n體系的強迫振動個彼此無關的單自由度n 10.8.2 多自在度無阻尼體系的強迫振動 )()()(tfXtYKXtYMXPTiTiTi )()()()(

10、2taMtYKXtaMtYMXiiiTiiiTi iPiiiiMtFtata)()()(2 振型的廣義荷載第itfXtFPTiPi)()(法）振型分解法（振型疊加化整為零，各個擊破 10.8.3 多自在度有阻尼體系的強迫振動振型分解法) 1 )()()()(tftYKtYCtYMP )()()()(tfXtYKXtYCXtYMXPTiTiTiTi )()()()(2taMtYKXtaMtYMXiiiTiiiTi 正交性暫時假定存在正交性不存在CC )(0jiXCXiTj iTiiiiTiXCXCtaCtYCX)()( )()()()(tFtaKtaCtaMPiiiiiii )()()()(tF

11、taKtaCtaMPiiiiiii iiiiMC2振型的廣義阻尼比主坐標空間屬于第 iiPiiiiiiiMtFtatata)()()(2)(2 瑞雷阻尼矩陣)2 KbMbC10iiiMbbC)(210iiiiMC2)(2110iiibb的選擇非常關鍵和10bb實驗確定jjjiiibbbb2121101022122022ijiijjijijjijibb iTiiXCXC 廣義剛度廣義質量iTiiiTiiXKXKXMXM振型分解法的應用步驟) 3 iiX和振型求自振頻率. 1運動微分方程解耦建立. 2iPiiiiiiiMtFtatata)()()(2)(2 PiTiPiiTiifXFXMXM)(.

12、 3tai位移響應求主坐標空間中的動態taataetaiiiiiiiitiiisin)0()0(cos)0()(dteFMittPiiiii)(sin)(1)(0間內的動態位移響應坐標變換，求得幾何空. 4 iniiXtataXtY1)()()( )0(1)0()0(1)0(YMXMaYMXMaTiiiTiiikgmmlmImNE1050;10;105;/101 . 244211計阻尼）自由振動位移響應（不例：利用振型分解法求smYmYTT/15. 025. 010. 0)0(012. 0015. 001. 0)0(mmmm5 . 2m5 . 2m5 . 2m5 . 2解：求自振頻率和振型TT

13、TXXXsss1414. 111011414. 11416.0696.95149.33321131211333231606.41,596.19,933. 4mlEImlEImlEI1310smlEI求廣義質量 kgXXMkgXXMkgXXMTTT42001050410502100105021050420010504105033322211133331050IImM mIa2211008. 1102 . 15 . 1110501414. 1142001)0(tatataiiiiiisin)0(cos)0()(tttatttattta323432423212121sin1022. 6cos1097

14、. 1)(sin1028. 1cos10)(sin10306. 0cos1008. 1)( )()(taXtYtttttt3322114sincossincossincos622. 097. 100000028. 1100000006 .30108111414. 10414. 111110 )()(taXtYtttttt3322114sincossincossincos622. 097. 128. 11060.30108880. 079. 20027.43153622. 097. 128. 1106 .3010810動力學小結 掌握彈性體系振動自在度的概念及其確定方法； 了解單自在度體系自在振動方程的建立及其解答，振幅與初始條件的關系； 重點掌握構造自振周期及頻率的公式及計算方法。公式要記。 單自在度體系強迫振動中，重點搞清動力系數的概念，掌握簡諧荷載和突加荷載動力系數的求法。了解瞬時沖量作用下“等效靜荷載的求法； 了解阻尼對自在振動的振幅及強迫振動動力系數的影響 動力學小結2) 多自在度體系自在振動，重點要掌握兩個自在度體系自振頻率的計算，主振型的概念與求法，主振型正交性原理； 會用能量法計算頻率，了解集中質量法； 會計算兩個自在度體系在簡諧荷載下強迫振動的振幅動力學小結3) 剛度方式方程和柔度方式方程可以互換。對于多自