1、第五章第五章 S S域分析、極域分析、極點與零點點與零點決定系統的時域響應決定系統的時域響應決定系統頻率響應決定系統頻率響應決定系統穩定性決定系統穩定性系統函數的定義系統函數的定義系統零狀態下，響應的拉氏變換與激勵系統零狀態下，響應的拉氏變換與激勵拉氏變換之比叫作拉氏變換之比叫作系統函數系統函數，記作，記作H(s).可以是電壓傳輸比、電流傳輸比、轉移可以是電壓傳輸比、電流傳輸比、轉移阻抗、轉移導納、策動點阻抗或導納阻抗、轉移導納、策動點阻抗或導納)()()(sEsRsH系統函數的極零點分布系統函數的極零點分布niimjjpszsksH11)()()(j0z1z2z0p1p2p5.1 由系統函數

2、的極零點分布決定由系統函數的極零點分布決定 時域特性時域特性（1）時域特性）時域特性h(t)niimjjpszsksH11)()()(反變換niinitpiniiithekpskLthi1111)()(第 i個極點決定總特性Ki與零點分布有關（2） 幾種典型的極點分布幾種典型的極點分布(a)一階極點在一階極點在原點原點j01pSsH1)(t)(th)()(tuth（2） 幾種典型的極點分布幾種典型的極點分布(b)一階極點在一階極點在負實軸負實軸SsH1)(teth)(t)(thtej01p（2） 幾種典型的極點分布幾種典型的極點分布(c)一階極點在一階極點在正實軸正實軸j0SsH1)(teth

3、)()(tht0te1p（2） 幾種典型的極點分布幾種典型的極點分布(d)一階共軛極點在一階共軛極點在虛軸上虛軸上2121)(SsH)(.sin)(1tuttht)(th0j01j1j1p2p212)(SSsH)(.cos)(1tutth（2） 幾種典型的極點分布幾種典型的極點分布(e)共軛極點共軛極點在虛軸上在虛軸上，原點原點有一零點有一零點t)(th0j01j1j1p2p（2） 幾種典型的極點分布幾種典型的極點分布(f)共軛極點在共軛極點在左半平面左半平面2121)()(SsH)(.sin)(1tutethtt)(th0j01j1j2p1p（2） 幾種典型的極點分布幾種典型的極點分布(g)

4、共軛極點在共軛極點在右半平面右半平面2121)()(SsH)(.sin)(1tuttht)(th0j01j1j1p2p（3） 有二重極點分布有二重極點分布(a)在原點在原點有二有二重極點重極點j21)(SsH)(tht0tth)(j2)(1)(SsHtteth)()(tht0（3） 有二重極點分布有二重極點分布(b)在負實軸在負實軸上有上有二重極點二重極點（3） 有二重極點分布有二重極點分布(c)在在虛軸虛軸上有二上有二重極點重極點2212)(2)(SSsHttth1sin)(j)(tht0（3） 有二重極點分布有二重極點分布(d)在左半平面有二重共軛極點在左半平面有二重共軛極點2212)()

5、(2)(SSsHttetht1sin)(j1j1j)(tht0一階極點j二重極點j極點影響小結：極點影響小結：極點落在左半平面極點落在左半平面 h(t) 逞衰減趨逞衰減趨勢勢極點落在右半平面極點落在右半平面 h(t)逞增長趨逞增長趨勢勢極點落在虛軸上只有一階極點極點落在虛軸上只有一階極點 h(t) 等幅振蕩，不能有重極點等幅振蕩，不能有重極點極點落在原點極點落在原點 h(t)等于等于 u(t)（4） 零點的影響零點的影響221)()(asassH222)()(asssH0ztethatcos)()()cos(1)(12atgtaethat0z零點移動到原點（4） 零點的影響零點的影響零點的分布

6、只影響時域函數的幅度零點的分布只影響時域函數的幅度和相移，不影響振蕩頻率和相移，不影響振蕩頻率tethatcos)()()cos(1)(12atgtaethat幅度多了一個因子多了相移結論H(s)的極點決定了自由響應的振蕩頻率，的極點決定了自由響應的振蕩頻率，與激勵無關與激勵無關自由響應的幅度和相位與自由響應的幅度和相位與H(s)和和E(s)的零的零點有關，即零點影響點有關，即零點影響 K i , K k 系數系數E(s)的極點決定了強迫響應的振蕩頻率，的極點決定了強迫響應的振蕩頻率，與與H(s) 無關無關用用H(s)只能研究零狀態響應，只能研究零狀態響應， H(s)中零中零極點相消將使某固有

7、頻率丟失極點相消將使某固有頻率丟失。激勵E(s)的極點影響激勵激勵E(s)的極點也可能是復數的極點也可能是復數增幅，在穩定系統的作增幅，在穩定系統的作用下穩下來，或與系統用下穩下來，或與系統某零點相抵消某零點相抵消等幅，穩態等幅，穩態衰減趨勢，暫態衰減趨勢，暫態0Rekp0Rekp0Rekp例：周期矩形脈沖輸入下圖電路，求其暫態和穩例：周期矩形脈沖輸入下圖電路，求其暫態和穩態響應態響應。T)(tetRC) (te)(0tv（1）求）求e(t)的拉氏變換的拉氏變換)1 ()1 (1)1 (1)(0sTsnsnTseeseessE（2）求系統函數）求系統函數H(s)sCsRCssHRC111)(j

8、（3）求系統完全響應的拉氏變換）求系統完全響應的拉氏變換)(0sV)1)()1 ()().()(0sTsessesHsEsV)()()(000sVsVsVst暫態穩態(5) 求第一個周期引起的響應的拉氏變換V01(t)()1 ()().()(101ssesEsHsVs（4）求暫態響應，它在整個過程中是一樣的。sKsVt10)(TseessVK11)(01tTteeetv.11)(0固定常數衰減因子（7）求第一周期的穩態響應）求第一周期的穩態響應seessesVsVsVTsts1.11)()1()()()(00110)().1 ()(.111 )()()(10tuetueeetvttTTs1)(

9、1tVost0（8）整個周期矩形信號的穩態響應0100) 1()()()(nssTntunTtunTtvtv暫態響應穩態響應完全響應BBATeeA11TeeB115.2 由系統函數決定系統頻由系統函數決定系統頻率特性率特性什么是系統頻率響應？什么是系統頻率響應？不同頻率的正弦激勵下系統的穩態響應不同頻率的正弦激勵下系統的穩態響應一般為復數，可表示為下列兩種形式：一般為復數，可表示為下列兩種形式：)()()()()()(jjejHjHjjIjRjHtEtem0sin)(2020)(sEsEmniiijjpskjskjsksHsEsR10000)()()(由正弦激勵的極點決定的穩態響應如系統是穩定

10、的，該項最后衰減為零000)(jeHjH000)(jeHjHjeHEsRjskjmjsj2)()(0000jeHEsRjskjmjsj2)()(0000)sin()(000tHEtrm)()(000002)(tjtjmweejHEsR穩態響應有關的tEtem0sin)(幅度該變相位偏移000)(jeHjH)()()(jjejHjH若 換成變量 0系統頻率特性幅頻特性相位特性用幾何法求系統頻率特性用幾何法求系統頻率特性nllmiijnmniimjjeMMMNNNkpjzjkjH11)(212111)()()(j1p1z111jeNzj111jeMpj2p例：已知例：已知 試求當試求當時的幅頻和相

11、位時的幅頻和相位1221)(23ssssH11M11 j0145414. 1M)231)(231)(1(1)(jsjsssH2M1 j202215517. 0M3M31 j03375932. 1M 0000321135)751545(1211) 1(jMMMjH5.3 一階系統和二階非諧振系統的一階系統和二階非諧振系統的S平面分析平面分析已知該系統的已知該系統的H(s)的極零點在的極零點在S平面平面的分布，確定該系統的幅頻特性和的分布，確定該系統的幅頻特性和相頻特性的漸近線相頻特性的漸近線（1）一階系統）一階系統一零點，一在實軸的一零點，一在實軸的極點極點一在原點的零點，一一在原點的零點，一在

12、實軸的極點在實軸的極點只有無窮遠處的零點只有無窮遠處的零點一在實軸的極點一在實軸的極點11)(pszsKsH1)(pssKsH1)(psksH例：求一高階系統的頻率特性例：求一高階系統的頻率特性+U1 +U2CRRCssscRRsUsUsH11)()()(12MN-1/RC)()(jeMNjH01, 0, 0MNRCMN21,2011,45,MNMNRCRCRC12UURC10900450, 1,MN例：例： 求一階低通濾波器的頻率特性求一階低通濾波器的頻率特性RC+U1_+U2_RCsRCRUUsHCsCs11.1)(1112M沒有零點RC1j)(11)(jeMkjH12UURC111, 0

13、12UURCM0124521,2,1UURCMRC012900,UUM045090RC1幅頻特性相位特性（2） 二階非諧振系統的二階非諧振系統的S平面分析平面分析只考慮單極點使系統逞低通特性只考慮一極點和一零點使系統逞高通特性中間狀態是個常數低通高通)(jH總體是個帶通例：1V2V1R1C3KV2C2R)(11)()()(211122111112pspssCRkCRsCRssCRksVsVsH)(21)(2111121111211211)(jjjjjeVVeMMNCRkeMeMeNCRkjH1111CRp2221CRp221111CRCR)(21111211)(jeMMNCRkjH2M1M1N

14、2221CRp1111CRp高通低通2M1M 較小時較小時 起作用起作用0,11111CRM)(1121121)(jeCRMMkNjH2M1Nj0)(,)(45)(,1,21)(022jkHjCRjH221CR0k221CR2p0190)(, 0)(jjH 逐漸增加高通)(j)(jH0900450221CR2 較大時較大時 起主要作用起主要作用)(1121111)(jeCRMMkNjH1Mj011090)(, 0)(1,21)(,45)(jHCRjHj111CR0低通特性k1p11)(jeMkjH0121290,NM 逐漸增加11111CRp2221CRp112211CRCRk)(jH帶通09

15、0090)(j22111122,11CRCRCRCR01212111190,0,1jNMCRM)(21111211)(jeMMNCRkjH0)()(00jkkejHj例：若已知H(s)零極點分布如圖(a)-(h)試粗略給出它們的)(jH)(a22pj1M2M11p)(2121211)()(1 )(jeMMjHpspssH)(jH)(b22pj1M2M)(21121211)()()(jeMMNjHpspsssH)(jH1N)(c22pj1M2M)(21212122121)()()(jeMMNNjHpspsssH)(jH1N2N)(d2j1M2M)(21112211)()()(jeMMNjHsss

16、sH)(jH1N)(e122jpj1M2M)(211212211)()()(jeMMNjHsssH)(jH1N1111jp)( f122jpj1M2M)(211212222211)()()(jeMMNjHsSsH1N111jp2N1j2j2j12)(jH)(g122jpj1M2M)(2112122211)()()(jeMMNjHsSsH111jp1)(jH)( fj2M221222212222)()(jHsSsH1N2N1j2j2j12)(jH1M5.4 5.4 二階諧振系統的二階諧振系統的S S域分析域分析諧振頻率衰減阻尼因子頻率變化影響高品質因素（一）諧振頻率ARLC)(111)(21ps

17、pssCsLsCGsZdjjLCCGCGp220222, 1122衰減因素 諧振頻率 LC10CG2220d(二)阻尼衰減因子 的影響CG20若 不變，則共軛極點總是落在以原點為圓心，以 為半徑的左半圓弧上000) 1 (01jp 02jpt)(th00)2(0jdjdj0jdjp1djp2)(tht等幅震蕩衰減震蕩00021dpp)(tht 臨界不起振01p2p2022, 12120cGppp實數根本不起振（三）頻率變化影響當頻率變化時 在S平面沿著虛軸移動，將 代入Z(s)， 則為系統頻率特性，幅度、相位均沿 變化。jsjs)(jZ)()(21121)(1)(1)(21jjjejZeMMN

18、CpjpjjCjZ21)(j討論 的前提下， 不變 而 變化的情況0) 1 (090012102111. 0)(90)(00jejZjMMNz1z1p2p0)(jZ0090090)(j00)2()(90)(9000001212111jZjMMNz1z1p2p0)(jZ0090090)(j1N0) 3(GCNNCjZMMMMNjNz12121)(20)(909001121211211010210111z1p2p0)(jZ0090090)(j斜邊乘高直 角邊之積0jG11N1z1p2p0j0)(90)(180,0)(9090021002121101021011jZMMjjNz0)(jZ009009

19、0)(jG10)4( 顯著增長，而 增長緩慢些21MM1N(四)高品質因素的影響品質因素定義為品質因素定義為 包括了包括了 兩方面的影響兩方面的影響 高，若諧振頻率一定，則高，若諧振頻率一定，則 小，損小，損耗小，容易震蕩，頻率特性尖銳耗小，容易震蕩，頻率特性尖銳 低，則相反低，則相反200GcQ, 0QQ例如：當 時的情況 10Q20:1:202000Q0jdj當 在 附近時0)()(9029001010202010111hjddhjjeMjeMMN01000900900211)()(11)()1 (11)(211)(00211hhhhjjjjjtgjGjZjGjeeCeMeMeNCjZ21

20、)45(1)(00jZGMaxjZ0000)(jZ2121)45(1)(00jZGMaxjZ000)(jZ21QfffBQjj021012001020201012245)(,45)(, 1, 1邊帶帶寬 高帶窄Q0例如：高階系統（極零點靠近虛軸）1i2C1CL2v無損電路，即 很小)()(1)()1(1)()()(2222121212122212sssCCLCCCssLCsCsIsVsZ21212122111CCCCLLC1p2p3p1z2zj1212090090)(jZ)(j1p2p3p1z2zj1212090)(jZ)(j有非?？拷撦S的零極點090)(jZ)(j5.5 全通網絡和最小相移

21、網絡5.5全通網絡和最小相移網絡系統位于極點左半平面，零點位于右半系統位于極點左半平面，零點位于右半平面，且零點極點對于平面，且零點極點對于 軸互為鏡象對軸互為鏡象對稱則，這種系統函數成為全通函數，此稱則，這種系統函數成為全通函數，此系統成為全通系統，或全通網絡系統成為全通系統，或全通網絡。全通，即幅頻特性為常數全通，即幅頻特性為常數相移肯定不是零相移肯定不是零j全通網絡的零極點分布1N2N3N1z2z3z1p2p3p1M2M3M332211NMNMNM從對稱零點極點之和為180度逐漸減少最后為-360度)()()(2222sssssHKjH)()()(321321321321)(jeMMMN

22、NNKjHK01800360)(j例：一些對稱性強的網絡可能是全通網絡一些對稱性強的網絡可能是全通網絡LLCCRLRsLRssLRsLRsH)(最小相移網絡零點位于右半平面，矢量夾角的絕對值零點位于右半平面，矢量夾角的絕對值較大較大零點為于左半平面，矢量夾角的絕對值零點為于左半平面，矢量夾角的絕對值較小較小定義：零點僅位于左半平面或虛軸上的定義：零點僅位于左半平面或虛軸上的網絡函數稱為網絡函數稱為“最小相移網絡最小相移網絡”非最小相移網絡可以看成最小相移網絡非最小相移網絡可以看成最小相移網絡和全通網絡的極聯和全通網絡的極聯相互抵消乘jjj0900360)(j222222min)()()()(s

23、sssHsHj5.6 系統穩定性一個穩定系統對于有界激勵信號產生有一個穩定系統對于有界激勵信號產生有界的響應函數界的響應函數穩定性是系統自身的性質之一，系統是穩定性是系統自身的性質之一，系統是否穩定與激勵情況無關否穩定與激勵情況無關系統沖激響應和系統函數能表征系統的系統沖激響應和系統函數能表征系統的穩定性穩定性穩定性的三種情況穩定性的三種情況穩定系統：穩定系統：H(s)全部極點落在左半平面全部極點落在左半平面（除虛軸外）（除虛軸外）不穩定系統：不穩定系統：H(s)有極點在右半平面，有極點在右半平面，或虛軸有二階以上重極點，不收斂。或虛軸有二階以上重極點，不收斂。邊界穩定系統：邊界穩定系統：H(

24、s)有一階極點，等幅有一階極點，等幅震蕩震蕩0)(limtht穩定系統對零極點的要求 在右半平面不能有極點，全在左半在右半平面不能有極點，全在左半面面 在虛軸上只能有一階極點在虛軸上只能有一階極點 分子方次最多比分母方次高一次，分子方次最多比分母方次高一次，即：轉移函數即：轉移函數 策動點函數策動點函數 中分母的中分母的 的因子只能是的因子只能是 的形式，其中的形式，其中 都是正值，乘得的都是正值，乘得的系數也是正值系數也是正值。 )(sH)(sH)(sHnm 1nm)()()(sBsAsH)(sB)(),(),( ,22dscbssassdcba, 從最高次冪到最低次冪無缺項，從最高次冪到最

25、低次冪無缺項，b 0 可以為零?？梢詾榱?。要么全部缺偶次項要么全部缺偶次項要么全部缺奇次項要么全部缺奇次項 的性質也使用于的性質也使用于)(sB)(sB)(sA2. 羅斯羅斯-霍爾維茲準則霍爾維茲準則設n階線性連續系統的系統函數為 01110111)()()(asasbsabsbsbsbsAsBsHnnnnmmmm式中，mn，ai(i=0, 1, 2, , n)、bj(j=0, 1, 2, , m)是實常數。H(s)的分母多項式為 0111)(asasasasAnnnn H(s)的極點就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項式。 A(s)為霍爾維茲多項

26、式的必要條件是：A(s)的各項系數ai都不等于零，并且ai全為正實數或全為負實數。若ai全為負實數，可把負號歸于H(s)的分子B(s)，因而該條件又可表示為ai0。顯然， 若A(s)為霍爾維茲多項式， 則系統是穩定系統。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項式為霍爾維茲多項式的準則，稱為羅斯羅斯-霍爾維茲準則霍爾維茲準則(R-H準則準則)。羅斯-霍爾維茲準則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(羅斯準則)。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項式為霍爾維茲多項式的準則，稱為羅斯羅斯-霍爾維茲準則霍爾維茲準則 (R-H準則)。羅斯-霍爾維茲準則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(羅斯準則)

27、。 若n為偶數，則第二行最后一列元素用零補上。羅斯陣列共有n+1行(以后各行均為零)，第三行及以后各行的元素按以下規則計算： 羅斯判據羅斯判據(羅斯準則羅斯準則) 指出： 多項式A(s)是霍爾維茲多項式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。 若第一列元素的值不是全為正值， 則表明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符號改變的次數(從正值到負值或從負值到正值的次數)等于A(s)=0在右半平面根的數目。根據羅斯準則和霍爾維茲多項式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號相同(全為正值)，則H(s)的極點全部在左半平面， 因而系統是穩定系統。 若羅斯陣列第一列元素值的符號不完全相同， 則系統

28、是不穩定系統。 綜上所述，根據H(s)判斷線性連續系統的方法是：首先根據霍爾維茲多項式的必要條件檢查A(s)的系數ai(i=0, 1, 2, , n)。 若ai中有缺項(至少一項為零)，或者ai的符號不完全相同，則A(s)不是霍爾維茲多項式， 故系統不是穩定系統。若A(s)的系數ai無缺項并且符號相同，則A(s)滿足霍爾維茲多項式的必要條件，然后進一步再利用羅斯-霍爾維茲準則判斷系統是否穩定。 例例 4.8-2 已知三個線性連續系統的系統函數分別為 2321)(1232312)(5322)(233234522341sssssHsssssssHsssssH判斷三個系統是否為穩定系統。 解解 H1

29、(s)的分母多項式的系數a1=0，H2(s)分母多項式的系數符號不完全相同，所以H1(s)和H2(s)對應的系統為不穩定系統。H3(s)的分母多項式無缺項且系數全為正值，因此，進一步用R-H準則判斷。H3(s)的分母為 232)(233ssssAA3(s)的系數組成的羅斯陣列的行數為n+1=4，羅斯陣列為 2221dc0023dc根據式(4.8 - 20)和式(4.8 - 21)， 得 2022221222312122dc0000221002012100dc因為A3(s)系數的羅斯陣列第一列元素全大于零，所以根據R-H準則，H3(s)對應的系統為穩定系統。 例例 4.8-3 圖 4.8-4 所

30、示為線性連續系統的S域方框圖表示。圖中，H1(s)為 圖圖 4.8-4 例例 4.8-3 圖圖 )10)(1()(1sssKsHK取何值時系統為穩定系統。 F(s)X(s)H1(s)Yf(s)解解 令加法器的輸出為X(s)， 則有 )()()()()()()()()(11sYsFsHsXsHsYsYsFsXfff由上式得 KsssKsHsHsFsYsHsFsHsHsYff1011)(1)()()()()()(1)()(23111122111dc0010dcK根據H(s)的分母構成羅斯陣列，得 由式(4.8-20)和式(4.8-21)計算陣列的未知元素，得到陣列為 KK11101110010K根

31、據R-H準則，若 和-K0，則系統穩定。 根據以上條件，當K0時系統為穩定系統。 01110K4.8.5 拉普拉斯變換與傅里葉變換拉普拉斯變換與傅里葉變換 0)()()(dtetfdtetfjFtjtjdtetfsFst)()(0Res 若f(t)為因果信號，則f(t)的傅里葉變換F(j)和單邊拉普拉斯變換F(s)分別為 由于s=+j，因此，若能使=Res等于零，則F(s)就等于F(j)。但是，能否使等于零，這取決于F(s)的收斂域。 F(s)的收斂域為Res0, 0為實數，稱為收斂坐標收斂坐標。0可能小于零，可能等于零，也可能大于零。 1. 00 如果00，則F(s)的收斂域包含j軸(虛軸)

32、，F(s)在j軸上收斂。若令=0，即令s=j，則F(s)存在。這時，f(t)的傅里葉變換存在，并且令s=j，則F(s)等于F(j)。 即 jssFjF)()(例如， ，其單邊拉普拉斯變換為) 1()()1(2tetft2)(sesFs2Res 的傅里葉變換為)(tf2)()(jesFjFjjs2. 0=0 miiiNjsKsFsF1)()( 若收斂坐標0=0，F(s)的收斂域為Res0，F(s)的收斂域不包含j軸，故F(s)在j軸上不收斂。若令s=j，則F(s)不等于F(j)。和虛軸上都有極點，并且虛軸上的極點為m個一階極點ji(i=1, 2, , m)。將F(s)展開為部分分式，表示為 式中，FN(s)表示左半平面極點對應的分式。令FN(s)的原函數為fN(t)，則F(s)的原函數為 )()()()()(11tftfeKtfsFLtfMNmitjiNimitjiMteKtfi1)()( 的傅里葉變換為)(tf)()