1、第七章 圖形變換 圖形變換是計算機圖形學的基礎內(nèi)容之一，是圖形顯示過程中必不可少的環(huán)節(jié)。 為了從不同的方向觀察對象，要求對對象做旋轉(zhuǎn)變換；為了仔細觀察對象，要求對對象做縮放變換；為了從一個觀察點轉(zhuǎn)移到另一個觀察點，要求對對象做平移變換。 通過圖形變換，也可由簡單的圖形生成復雜的圖形，變換本身也是描述圖形的有力工具。 常見的圖形變換有：圖形的平移，旋轉(zhuǎn)，縮放，對稱變換，剪切變換。 變換的實質(zhì)是：根據(jù)模型原有的位置信息和變化的條件，計算出變換后的位置，并加以顯示。二維圖形平移 二維圖形平移是將圖形上任意一點P(x,y)在x軸方向y軸方向分別平移距離tx,ty，則變換后的新坐標x=x+txy=y+t

2、y 用矩陣表示pPtxtytytxyxyx,1001, , 二維圖形旋轉(zhuǎn) 二維圖形旋轉(zhuǎn)是將圖形繞圓點旋轉(zhuǎn)。圖形上任意一點P(x,y)旋轉(zhuǎn)后的位置為P(x,y)。 若|OP|=R,由圖可知： x=Rcos,y=Rsin x=Rcos(+)=Rcoscos-Rsinsin=x cos-y sin y=Rsin (+)=x sin+ y cospPyxxyO用矩陣表示：R cossinsincos, yxyx二維圖形縮放 二維圖形縮放是將圖形上任意一點P(x,y)在x軸方向縮放sx倍，y軸方向縮放sy倍，則變換后的新坐標x= sx xy= sy y 用矩陣表示pPSyxssyxyx00, 齊次坐標與

3、二維變換的矩陣表示 旋轉(zhuǎn)和縮放可以用一個2X2矩陣表示，平移不行 我們希望將一種變換用一個矩陣來表示，這樣就可以用矩陣合并的方法將一系列的簡單變換用一個復雜變換來表示。這不僅可以節(jié)省運算量，還可以明確一個矩陣代表一種變換的概念。齊次坐標與二維變換的矩陣表示 為了將平移也用矩陣表示，點(x,y)用齊次坐標(x,y,h)表示。因為第3維h僅僅是為了增加一個維數(shù)，沒有其他實際意義，用1代替。即一個二維平面點(x,y)用齊次坐標(x,y,1)表示。齊次坐標與二維變換的矩陣表示tyyytxxx101000111tytxyxyxcossinsincosyxyyxx 1000cossin0sincos11y

4、xyxysyxsxyx 100000011yxssyxyx平移：旋轉(zhuǎn)：縮放：齊次坐標與二維變換的矩陣表示 在齊次坐標表示下，所有的二維變換都可以用3X3矩陣表示。1010001tytx平移變換矩陣T(tx,ty)旋轉(zhuǎn)變換矩陣R()1000cossin0sincos縮放變換矩陣T(Sx,Sy)1000000yxss齊次坐標與二維變換的矩陣表示 二維變換可以統(tǒng)一表示為 Tyxyx11表示變換后的模型上任意一點表示變換前的模型上任意一點T表示變換矩陣，或者說，一個矩陣表示一種變換1yx1yx復合變換一個復雜變換也可以用一系列簡單變換（旋轉(zhuǎn)、平移、縮放）實現(xiàn)。繞任意點的旋轉(zhuǎn)1.平移圖形，使任意點與原點

5、重合2.繞原點旋轉(zhuǎn)3.平移圖形，使任意點回到原處以任意點為參考點的縮放1.平移圖形，使任意點與原點重合2.以原點為參考點縮放3.平移圖形，使任意點回到原處繞任意點的旋轉(zhuǎn)(X0,y0)(X0,y0)(X0,y0)(X0,y0)(X0,y0)繞任意點的旋轉(zhuǎn) 用矩陣表示各個過程1010001001yxT1000cossin0sincos2T 11111Tyxyx 2112211Tyxyx 32211Tyxyx1010001003yxT 32211Tyxyx32111TTyx3211TTTyx繞任意點的旋轉(zhuǎn) 整個變換過程1cossin)cos1 (0cossin0sincos0000321yyxxTT

6、TT 32211Tyxyx32111TTyx3211TTTyx Tyxyx11復合矩陣可以減少計算量不進行矩陣合并1. 一個33矩陣與一個點向量相乘得到一個點向量，需要9次乘法（忽略加法）。2. 3次變換需要39=27次乘法。復合矩陣可以減少計算量先進行矩陣合并1. 一個33矩陣與一個33矩陣相乘得到一個33矩陣，需要27次乘法（忽略加法）。2. 進行2次矩陣相乘需要54次乘法。3. 合并矩陣與一個點向量相乘得到一個點向量，需要9次乘法。復合矩陣可以減少計算量 如果模型有10000個點向量，進行繞任一點旋轉(zhuǎn)變換 不合并矩陣時計算量：1000027 合并矩陣時計算量：54+100009變換模式

7、有兩種變換模式：固定坐標系模式，活動坐標系模式 固定坐標系模式：坐標系不變、圖形變動。變換關系是指圖形變動前后之間的坐標關系 活動坐標系模式：圖形不變，坐標系變動。變換關系是指圖形在新舊坐標系中的坐標之間的關系。變換模式 活動模式與固定模式實質(zhì)一樣，即兩種變換關系完全等價，但變換參數(shù)相反。活動坐標系模式平移: tx,ty旋轉(zhuǎn):縮放:Sx,Sy固定坐標系模式平移: -tx,-ty旋轉(zhuǎn):-縮放:1/Sx,1/Sy變換模式 有時采用活動坐標系模式，是為了更好地理解變換前后兩個對應物體之間的坐標關系。例如，關于繞任意點的旋轉(zhuǎn)變換繞任意點的旋轉(zhuǎn)(X0,y0)(X0,y0)(X0,y0)(X0,y0)-(

8、X0,y0)坐標系扶正其他變換對稱變換1. 關于x軸的對稱變換。特點: (x,y)(x,-y)2. 關于y軸的對稱變換。特點: (x,y)(-x, y)3. 關于任意直線的對稱變換 移動坐標，使坐標原點在直線上 旋轉(zhuǎn)坐標，使x軸與直線重合 對圖形以x軸做對稱變換 旋轉(zhuǎn)坐標，使x軸回到原方向 移動坐標，使坐標回到原位置其他變換 錯切變換錯切變換保持圖形上各點的某一坐標值不變，而另一坐標值關于該坐標值呈線性變化。坐標保持不變的那個坐標軸稱為依賴軸，余下的坐標軸稱為方向軸。其他變換 變換圖形、變換關系式和變換矩陣xy以y軸為依賴軸的錯切變換yx以x軸為依賴軸的錯切變換x=x+shxyy=yy=y+s

9、hyxx=x10001001)(xxyshshSH10001001)(yyxshshSH其他變換 在上述變換中，x軸（直線y =0）、y軸（直線x =0）又分別稱為參考軸。 在對以任意直線為參考軸時，要事先通過變換，將任意線與x軸或y軸重合，再按上述方法進行變換，再進行變換將任意線恢復原狀。y=yrefxy1001000110001001100100011001001refxrefrefxxyshyyshsh平移切變平移復合變換其他變換 仿射變換 仿射變換的特點是變換前的平行線在變換后依然平行。 前面提到的變換都是仿射變換。 仿射變換的關系式和變換矩陣ebyaxxfdycxy100fedbca

10、AF二維圖形的顯示流程 任何二維圖形都存在于一個圖形坐標系中。 如果這個坐標是是通用的、標準的，如大地坐標系，則這個坐標系稱為世界坐標系。 如果這個坐標是用戶按照自己熟悉或方便的方式建立的，則稱為用戶坐標系。 顯示器的范圍有限，不可能顯示所有的圖形。 常用的方法是在圖形坐標系中取一個與x軸、y軸平行的矩形窗口，只顯示窗口內(nèi)的圖形內(nèi)容。二維圖形的顯示流程 在顯示器上也建立了一個坐標系，稱為顯示坐標系或設備坐標系(DC)。 為了方便在任何尺寸的輸出設備上輸出圖形，將設備坐標系作歸一化處理，即在x,y方向上的最小值均為0，最大值均為1。這種坐標系叫歸一化設備坐標系(NDC)。 NDC的圖形在輸出時，

11、只要將坐標值分別乘以輸出設備的尺寸xmax,ymax，就可以將圖形最大限度地輸出到任何設備上。(0,0)(1,1)二維圖形的顯示流程 通常情況下，并不是整個屏幕都用來顯示圖形。往往在屏幕上劃定一個平行于設備坐標軸的矩形區(qū)域作為圖形顯示區(qū)。這個區(qū)域稱為視區(qū)。窗口到視區(qū)的變換 由于窗口和視區(qū)都平行于各自的坐標軸，只需要使用平移和縮放。窗口到視區(qū)的變換平移縮放平移窗口到視區(qū)的變換 窗口與圖形坐標軸不平行的情況 由于必須要對圖形進行裁剪，而裁剪方法主要是基于窗口邊平行坐標軸的算法，因此，必須通過變換使窗口與坐標軸平行。 如此處理后，就可用上述方法進行窗口到視區(qū)的變換。三維幾何變換 三維幾何變換是二維幾

12、何變換的簡單推廣 平移 縮放1010000100001),(zyxzyxttttttT1000000000000),(zyxzyxssssssS三維幾何變換 旋轉(zhuǎn) 旋轉(zhuǎn)復雜一點，包括繞x軸，y軸，z軸，任意軸的旋轉(zhuǎn)。 繞x軸，y軸，z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣如下：10000cossin00sincos00001)(xR10000cos0sin00100sin0cos)(yR1000010000cossin00sincos)(zR三維幾何變換 繞任意軸的旋轉(zhuǎn)xyzXxyzZY RTzyxzyx11 )(11 zRzyxzyx11111 1RTzyxzyx三維幾何變換 錯切變換 以z軸為依賴軸，則x,y坐標依

13、z坐標呈線性變換。10000100100001),(yxyxzshshshshSH三維幾何變換 對稱變換：在3維空間，對稱單元是平面。 針對任意平面的變換：xzyxzyyzx RTzyxzyx11 xySYzyxzyx11 11111 1RTzyxzyx坐標系之間的變換 同一圖形對象在坐標系與輔助坐標系之間的表示，涉及到坐標系之間的變換。XYXYTR=? RTzyxzyx11 111RTzyxzyx坐標系之間的變換 空間點（一個向量）在一個坐標系中的坐標等于該向量在坐標軸上的投影 A向量在B向量上的投影值等于A向量與B向量的單位向量之間的內(nèi)積（點乘） X軸的單位方向矢量為（a11,a12) ，可表示為： a11i+a12j; Y軸的單位方向矢量為（a21,a22) 點P(x,y)可用矢量表示為： x i+ y j 點P(x,y)在X軸上的投影可用點乘得到，即x=a11 x +a12y 同樣y=a21 x +a22y坐標系原點重合XYXYP 100001122122111aaaayxyxTR:正交矩陣TR-1=TRT1000022211211aaaa坐標系