1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1email: 數理方程與特殊函數數理方程與特殊函數任課教師：楊春任課教師：楊春數學科學學院數學科學學院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2本次課主要內容本次課主要內容線性偏微分方程的基本解線性偏微分方程的基本解(一一)、穩態場方程的基本解、穩態場方程的基本解( (二二) )、熱傳導方程的基本解、熱傳導方程的基本解( (三三) )、波動方程的基本解、波動方程的基本解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x

2、t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3其中其中l是關于是關于x1,x2,.,xn的二階線性偏微分算子的二階線性偏微分算子 不含時二階線性偏微分方程：不含時二階線性偏微分方程：f =0時，稱方程為齊次方程，否則，方程為非齊時，稱方程為齊次方程，否則，方程為非齊次方程。次方程。(一一)、穩態場方程的基本解、穩態場方程的基本解flu 2,112nnijii jiijilabcx xx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 4(1)、定義：方程、定義：方程()lum 的解的解u稱為方程稱為方程 的基本解或

3、格的基本解或格林函數林函數.()luf m 基本解物理意義基本解物理意義 基本解反映點源作用情況，所以，基本解基本解反映點源作用情況，所以，基本解又稱為點源函數。又稱為點源函數。 方程中方程中f(m)表示場源強度。表示場源強度。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 5(2)、性質、性質定理定理1：若：若u是方程是方程 的基本解，的基本解，且且u是是 的解，則的解，則u+u是方程是方程 的基本解。且方程所有基本解均有形式：的基本解。且方程所有基本解均有形式：u+u。()lufm 0l u 證明：因為：證明：因為：l uulu

4、lu0lu()m 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6所以，所以，u+u是基本解。是基本解。又由線性偏微分方程解的結構定理得定理的后又由線性偏微分方程解的結構定理得定理的后一結論。一結論。定理定理2：若：若f(m)是連續函數，是連續函數，u(m)滿足方程：滿足方程：則如下卷積則如下卷積()lum 3000*()()rufu mmf mdm是方程是方程 的解的解.()lufm 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7證明：首先：證明：首先：其次：其次：0

5、0()()lummmm 3000*()()rl uflummfmdm3000()()rlummfmdm3000()()rmmfmdm()f m 兩點說明：兩點說明：1)、該定理表明：欲求方程：、該定理表明：欲求方程： 的的()luf m 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 8特解，只要求出其基本解即可。特解，只要求出其基本解即可。2)、物理解釋：、物理解釋：方程：方程： 的解可以理解為由靜電的解可以理解為由靜電場源場源f(m)激發的電勢激發的電勢.定理表明：求連續分布場，定理表明：求連續分布場，可以通過求點源的場來實現。可

6、以通過求點源的場來實現。()luf m 泊松方程的基本解泊松方程的基本解(1)、三維泊松方程的基本解、三維泊松方程的基本解設三維泊松方程的形式為：設三維泊松方程的形式為：3()uf mmr 于是基本解為方程：于是基本解為方程： 的解的解 .()um 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 9拉氏方程的球坐標形式為：拉氏方程的球坐標形式為：為求出基本解，考慮：為求出基本解，考慮： 的球對稱解的球對稱解.0u2222222111sin0sinsinuuurrrrrr若方程具有球對稱，當若方程具有球對稱，當r不為零時有：不為零時有：

7、20ddurdrdr得解為：得解為：12cucr若取若取121,04cc則求出則求出1, (0)4urr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 10通過驗證得：通過驗證得：于是求得三維泊松方程的基本解為：于是求得三維泊松方程的基本解為：()um 1, (0)4urr例例1、寫出三維泊松方程特解表達式、寫出三維泊松方程特解表達式由基本解和定理由基本解和定理2得三維泊松方程特解表達式為：得三維泊松方程特解表達式為：300001*()()ruufu mmmdm解：三維泊松方程為：解：三維泊松方程為：0()mu 0.8 1 0.6

8、0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1130000()14mmrmdmr例例2 討論粒子散射滿足的定態薛定諤方程定解問題：討論粒子散射滿足的定態薛定諤方程定解問題：其中：其中：u(x,y,z)表示波函數；表示波函數；v(x,y,z)表示作用勢；表示作用勢；k表示表示入射平面波矢量；入射平面波矢量； 表示入射波振幅。表示入射波振幅。222222( , )( , )( , ) ( , )( , )( ,),ik rikzmu x y zk u x y zv x y z u x y zheu x y zefrxyzr ( ,)f 0.8 1 0.6

9、 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 12表達式表達式 描述沿描述沿 z方向運動的入射粒子的平面方向運動的入射粒子的平面波波 :解：基本解滿足的方程為：解：基本解滿足的方程為：由傅立葉變換和留數定理可以求出基本解為：由傅立葉變換和留數定理可以求出基本解為：2( ,)ik refr 描述粒子被散射后從散射中心向外發散的球面出射波的描述粒子被散射后從散射中心向外發散的球面出射波的表達式為：表達式為： 1ikze2( , )( , )( , )u x y zk u x y zx y z 1( )4ikrg rer 0.8 1 0.6 0.4 0.2

10、 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13由定理由定理2得：得：由無窮遠條件：由無窮遠條件：22( )( ) ( )mug rv r u rh 0300020() ()2ik rrrmev r u r drhrr 12( ,)ik rikzeuefr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 14(2)、平面泊松方程的基本解、平面泊松方程的基本解設平面泊松方程的形式為：設平面泊松方程的形式為：2()uf mmr 于是基本解為方程：于是基本解為方程： 的解的解 .()um 所以：所以：12( ,

11、)ik rikzeuefr 0300020() ()2ik rrrmev r u r drhrr 03200020( )( , )( ) ( )2ik r rik rikzremerfev r u r drrhrr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 15拉氏方程的柱坐標形式為：拉氏方程的柱坐標形式為：為求出基本解，考慮：為求出基本解，考慮： 的柱面對稱解的柱面對稱解.0u22222110uuurrrrrz若方程具有柱對稱若方程具有柱對稱(或園對稱或園對稱)，當，當r不為零時有：不為零時有：0ddurdrdr得解為：得解為

12、：12lnucrc若取若取121,02cc 則求出則求出1ln, (0)2urr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 16通過驗證得：通過驗證得：于是求得二維泊松方程的基本解為：于是求得二維泊松方程的基本解為：()um 泊松方程基本解的物理意義：泊松方程基本解的物理意義：三維泊松方程基本解相當于置于原點處電量為三維泊松方程基本解相當于置于原點處電量為0 0的正點電荷在空間的正點電荷在空間m m處產生的電勢。處產生的電勢。平面泊松方程的基本解相當于過坐標原點的電荷密平面泊松方程的基本解相當于過坐標原點的電荷密度為度為0的無限

13、長導線在的無限長導線在m處產生的電勢。處產生的電勢。1ln, (0)2urr ( (二二) )、熱傳導方程的基本解、熱傳導方程的基本解(1)(1)、熱傳導方程柯西問題的基本解、熱傳導方程柯西問題的基本解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 17(a) (a) 定義：稱定義：稱的基本解的基本解( (或格林函數或格林函數) )。200(,),(,0)( ,0)0 xxga gxxttxttu x 的解為的解為熱傳導方程柯西問題熱傳導方程柯西問題2( , ),(,0)( ,0)0 xxua uf x txttu x (b) (b

14、) 求基本解求基本解( (格林函數格林函數) ) 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 18設一維設一維熱傳導方程柯西問題為：熱傳導方程柯西問題為：采用傅立葉變換求基本解。采用傅立葉變換求基本解。則其基本解滿足：則其基本解滿足：2020()4()0001( , ,)2()x xat tg x t x teatt2( , ),(,0)( ,0)0 xxua uf x txttu x 200(,),(,0)( ,0)0 xxga gxxttxttg x 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2

15、1 0.5 0 0.5 1 n 19(c) (c) 基本解與定解問題的解之間的關系基本解與定解問題的解之間的關系定理定理3 3：無界區域上波動方程定解問題：無界區域上波動方程定解問題的解為：的解為：0000000( , )( , ;,)(,)tu x tg x t xtfxtdx dt 2( , ),(,0)( ,0)0 xxua ufx txttu x 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 20(a) (a) 定義：稱定義：稱的基本解的基本解( (格林函數格林函數) )。200()()(0, )( , )0( , 0)0

16、xxga gxxtttgtg l tg x的解為有界的解為有界熱傳導方程問題熱傳導方程問題2(, ), (0,0 )(0 , )( , )0(, 0 )0 xxua ufx txl ttutu l tux(2)(2)、有界區域上熱傳導方程的基本解、有界區域上熱傳導方程的基本解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 21設一維設一維熱傳導方程邊值問題為：熱傳導方程邊值問題為：下面采用分離變量法求基本解。下面采用分離變量法求基本解。則其基本解滿足：則其基本解滿足：2(, ), (0,0 )(0 , )( , )0(, 0 )0

17、xxua ufx txl ttutu l tux200()()(0, )( , )0( , 0)0 xxga gxxtttgtg l tg x(b) (b) 求基本解求基本解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 22首先，由齊次化原理得：首先，由齊次化原理得：令令 則：則：(1) (1) 分離變量：分離變量：( , )( )( )w x tt t x x200(0, )( , )0( , )()()xxtwa wtwtw l tw x txxt tt 200000( ,)() ()xxxxltwa wtwww x txxt

18、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 23得到兩個常微分方程：得到兩個常微分方程：(2) (2) 固有值問題為：固有值問題為：固有值為：固有值為：2,1,2.nnnl20ta t 0xx0(0)0,( )0xxxx l固有函數為：固有函數為：( )sin,1, 2,nnxxxnl 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 24(3) (3) 另一個常微分方程的解為：另一個常微分方程的解為： 2222,1,2,natlnntta en (4) (4) 一般解為

19、：一般解為：222211( , )( , )sinnatlnnnnn xw x twx ta el(5) (5) 由初始條件和齊次化原理得：由初始條件和齊次化原理得：22202()00012( , ;,)sinsinnattlnnxnxg x t xtelll 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 25所以，求得基本解為：所以，求得基本解為：22202()00012( , ;,)sinsinnattlnnxnxg x t xtelll(c) (c) 基本解與定解問題的解之間的關系基本解與定解問題的解之間的關系定理定理4 4：

20、有界區域上熱傳導方程定解問題：有界區域上熱傳導方程定解問題2(, ), (0,0 )(0 , )( , )0(, 0 )0 xxua ufx txl ttutu l tux的解為：的解為：00000000( , )( , ;,)(,)tlu x tg x t xtfxtdx dt 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 26(a) (a) 定義：稱定義：稱的基本解的基本解( (格林函數格林函數) )。22002() (),(,0)( ,0)0,( ,0)0 xxtga gxxttxttg xgx 的解為的解為無界區域波動方程無

21、界區域波動方程222( , ),(,0)( ,0)0,( ,0)0 xxtua uf x txttu xux ( (三三) )、波動方程的基本解、波動方程的基本解(1)(1)、無界區域上波動方程的基本解、無界區域上波動方程的基本解( (以一維為例以一維為例) ) 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 27(b)(b)、由齊次化原理和達朗貝爾公式得基本解為：、由齊次化原理和達朗貝爾公式得基本解為：00()000()1( , ;,)()2xa ttxa ttg x t xtsxdsa(c) (c) 基本解與定解問題的解之間的關系基本解與定解問題的解之間的關系定理定理5 5：無界區域上波動方程定解問題：無界區域上波動方程定解問題的解為：的解為：0000000( , )( , ;,)(,)tu x tg x t xtfxtdx dt 222( , ),(,0)( ,0)0,( ,0)0 xxtua uf x txttu xux 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 28(