1、第九講第九講 空間群空間群(I)(I)：點式空間群點式空間群復習：復習：點對稱操作、點對稱操作、7 7種晶系、種晶系、3232種點群、種點群、14種布拉菲格子種布拉菲格子360o/n (n = 1,2,3,4,6)1 (E, L1)2 (C2, L2)3 (C3, L3)4 (C4, L4)6 (C6, L6)1 (i, C)2 (, P), m3 (S65, Li3)4 (S43, Li4)6 (S35, Li6)+,+_,旋轉軸，旋轉軸， n 旋轉反演軸，旋轉反演軸， n 點對稱操作點對稱操作1 (E)2 (C2)3 (C3)4 (C4)6 (C6)1 (i)2 (), m3 (S65)4

2、 (S43)6 (S35)(C41, C42, C43, C44 )(C61, C62, C63, C64 , C65, C66 )(C31, C32, C33)n = 1n (iCn), Sn = Cn(h, v, d) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E)點對稱操作點對稱操作!(C21, C22) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 S3, S32(C32), S33(h), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66對稱條件對

3、稱條件晶系晶系特點特點三三 斜斜單單 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)2(C2)或或2(m)2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)a b c, abc, = = 90o abc, = = = 90oa = bc, = = = 90oa = bc, = = 90o, = 120oa = b = c, = = = 90oa = b = c, = = 菱形菱形a = bc, = = 90o, = 120o全對稱點群全對稱點群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3m點群各符號的順序點群各符號的順

4、序123三斜三斜單斜單斜正交正交四方四方三方三方六方六方立方立方只用一個符號只用一個符號第一種定向：第一種定向：c是唯一軸；第二種定向：是唯一軸；第二種定向：b是唯一軸是唯一軸2或或2沿沿a2或或2沿沿b2或或2沿沿c4或或4沿沿c2或或2沿沿a和和b2或或2沿沿ab3或或3沿沿c2或或2沿沿a、b和和a+b6或或6沿沿c2或或2 a、b和和a+b3或或3沿沿 2或或2沿沿 2或或2 a、b和和a+b2或或2沿沿a、b和和a+b4、4、2或或2沿沿 1(L1)m(P)1(C)42m (Li42L22P)2(L2)2/m (L2PC)222(3L2)mm2 (L22P)mmm (3L23PC)4

5、 (Li4)422 (L44L2)4/mmm(L44L25PC)4mm (L44P)4/m (L4PC)4(L4)62m (Li63L23P)6 (Li6)622 (L66L2)6/mmm (L66L27PC)6mm (L66P)6/m (L6PC)6(L6)23(3L24L3)m3 (3L24L33PC)432 (3L44L36L2)m3m (3L44L36L29PC)3m (Li33L23P)3(L3)3m (L33P)32(L33L2)43m (3Li44L36P)3(Li3) 從旋轉點群推導從旋轉點群推導3232種點群種點群 點群的熊夫利斯符號點群的熊夫利斯符號 1 2 3 4 622

6、2 32 422 62223 432C1 C2 C3 C4 C6 D2 D3 D4 D6 T O循環點群循環點群二面體點群二面體點群立方點群立方點群m3 m3mS2 C2h S6 C4h C6h D2h D3d D4h D6h Th Oh1 2/m 3 4/m 6/mmmm 3m 4/mmm 6/mmmm3 m3m1 2/m 3 4/m 6/mmmm 3m 4/mmm 6/mmm C1h S4 C3h C2v C3v C4v D2d C6v D3hTdmmm2463m4mm 42m43m6mm 6m2 推導推導3232種點群的種點群的熊夫利斯方案熊夫利斯方案 熊夫利斯符號熊夫利斯符號1(C1)

7、m (C1h)1(Ci)42m (D2d)2(C2)2/m (C2h)222(D2)mm2 (C2v)mmm (D2h)4 (S4)422 (D4)4/mmm(D4h)4mm (C4v)4/m (C4h)4(C4)62 (D3h)6 (C3h)622 (D6)6/mmm (D6h)6mm (C6v)6/m (C6h)6(C6)23(T)m3 (Th)432 (O)m3m (Oh)3m(D3d)3(C3)3m (C3v)32(D3)43m (Td)3(S6)TThTdOOhTetragonalOctahedral點群各符號的順序點群各符號的順序123三斜三斜單斜單斜正交正交四方四方三方三方六方六

8、方立方立方只用一個符號只用一個符號第一種定向：第一種定向：c是唯一軸；第二種定向：是唯一軸；第二種定向：b是唯一軸是唯一軸2或或2沿沿a2或或2沿沿b2或或2沿沿c4或或4沿沿c2或或2沿沿a和和b2或或2沿沿ab3或或3沿沿c2或或2沿沿a、b和和a+b6或或6沿沿c2或或2 a、b和和a+b3或或3沿沿 2或或2沿沿 2或或2 a、b和和a+b2或或2沿沿a、b和和a+b4、4、2或或2沿沿 第八講第八講 1414種布拉菲格子種布拉菲格子旋轉對稱性旋轉對稱性晶系、參考軸晶系、參考軸初基初基P單胞單胞 (6)有心化有心化新的點陣新的點陣(有心有心 8 種種)滿足點陣條件滿足點陣條件 + 晶系

9、不變晶系不變P點陣中高對稱位置加心點陣中高對稱位置加心(體心體心I, 全面心全面心F, 單面心單面心A, B或或C 雙面心雙面心)14種布拉菲點陣種布拉菲點陣旋轉對稱性旋轉對稱性六方格子特殊心六方格子特殊心 菱形菱形( (三方三方) )單胞單胞ABXXXX雙面心不滿足點陣條件！雙面心不滿足點陣條件！三三斜斜晶晶系系單單斜斜晶晶系系三斜三斜 P P單斜單斜 P P單斜單斜 B B單斜單斜 C = PC = P不是新點陣不是新點陣單斜單斜 B = I = F = Ab b軸為唯一軸軸為唯一軸: :B = P，C = I = F = A正交正交 P P正交正交 C C正交正交 I I正交正交 F F

10、正正交交晶晶系系正交正交 C = A = B C = A = B P ? P ?立方立方 P P立方立方 I, bccI, bcc立方立方 F, fccF, fcc四方四方 I I四方四方 P P四四方方晶晶系系立立方方晶晶系系四方四方 C = P A BC = P A B四方四方 F = IF = I單面心破壞單面心破壞4 4個個3 3次對稱性！次對稱性！非點陣非點陣非點陣非點陣六六方方晶晶系系三三方方菱菱形形晶晶系系六方六方 P P三方三方 R R底面心：正交底面心：正交側面心：非點陣側面心：非點陣+c/2體心：非六方點陣體心：非六方點陣+c/2(1/3, 2/3, 0)：P+2c/3+c

11、/3(1/3, 2/3, 2/3)：R有心化有心化(1/3, 2/3, 1/3)：R+2c/3+c/3abc正定向正定向+c/3+2c/3abc反定向反定向六六角單胞有心化后，已不具有角單胞有心化后，已不具有6 6次對稱性，卻導出有次對稱性，卻導出有3 3次對稱性的次對稱性的菱形初基單胞。菱形初基單胞。R R 點陣可由兩種軸系表示：點陣可由兩種軸系表示：R R晶系、六角晶系晶系、六角晶系a = bc, = = 90o, = 120oa = b = c, = = 菱形菱形點對稱點對稱條件條件晶系晶系點群點群三三 斜斜單單 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)

12、2(C2)或或2(m)兩個兩個2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)布拉菲布拉菲點陣點陣PP, BP, C, I, FP, IPP, I, FP1(C1), 1(Ci)m(C1h),2(C2),2/m(C2h)222(D2), mm2(C2v), mmm(D2h)42m (D2d)4 (S4),422 (D4),4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4),3m(D3d)3(C3), 3m (C3v), 32(D3),3(S6),622 (D6),6/mmm (D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6

13、(C6),62 (D3h)6 (C3h),23(T), m3 (Th),432 (O), m3m (Oh)43m (Td),第九講第九講 點式空間群點式空間群空間群：空間群：所謂結晶學空間群就是能使三維周期物所謂結晶學空間群就是能使三維周期物體（無限大晶體）自身重復的幾何對稱對稱操作的體（無限大晶體）自身重復的幾何對稱對稱操作的集合，構成數學意義上的群。集合，構成數學意義上的群。 晶體宏觀對稱性是晶體結構（原子排列對稱性）即微觀對晶體宏觀對稱性是晶體結構（原子排列對稱性）即微觀對稱的反映。稱的反映。 晶體的宏觀外形是作為一個連續整體來看的有限圖形，而晶體的宏觀外形是作為一個連續整體來看的有限圖

14、形，而晶體的微觀結構是不連續排列的原子在三維空間無限展開。晶體的微觀結構是不連續排列的原子在三維空間無限展開。 宏觀對稱性的點群中對稱要素必須交于一點，只有方向的宏觀對稱性的點群中對稱要素必須交于一點，只有方向的概念。微觀對稱性中對稱要素無須交于一點，要引入平移和概念。微觀對稱性中對稱要素無須交于一點，要引入平移和位置的概念。位置的概念。點式空間群：點式空間群：由全部作用于同一個公共點由全部作用于同一個公共點上的對稱操作完全確定，或者說僅由點對稱操上的對稱操作完全確定，或者說僅由點對稱操作和平移對稱操作組合而產生。作和平移對稱操作組合而產生。? 螺旋軸或滑移面不是其基本對稱元素。螺旋軸或滑移面

15、不是其基本對稱元素。? 點式空間群在單胞中一定至少有一個位置具有與點式空間群在單胞中一定至少有一個位置具有與空間群點群相同的空間群點群相同的位置對稱性位置對稱性晶系晶系點群點群布拉菲布拉菲點陣點陣三三 斜斜單單 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方PPPPPPP1,1m,2,2/m222, mm2, mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3, 3m, 32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23, m3,432, m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,

16、P4/m,P4,P31m,P3, P3m1, P312, P3,P23, Pm3,P432, Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222, Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3, R3m, R32, R3,P321, P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23, Im3,I432,Im3mI43m,F23, Fm3,F432, Fm3mF43m,42m (Li42L22P)62m

17、(Li63L23P)6m2 (Li63P3L2)4m2 (Li42L22P)30o45o3 (L3)3m (L33P)32 (L33L2)3 (L3C)3m (L33L23PC)3m131m3213123m131m晶系晶系點群點群布拉菲布拉菲點陣點陣三三 斜斜單單 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方PPPPPPP1,1m,2,2/m222, mm2, mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3, 3m, 32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23, m3,432, m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,Pm

18、mmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3, P3m1, P312, P3,P23, Pm3,P432, Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222, Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3, R3m, R32, R3,P321, P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23, Im3,I432,Im3mI43m,F23, Fm3,F432,

19、Fm3mF43m,非點式對稱操作非點式對稱操作? 螺旋軸：螺旋軸：11種，種，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65? 滑移面：滑移面：a、b、c；n；d點對稱操作：點對稱操作：r = Rr r=xa + yb +zc r=xa + yb +zc空間群操作：空間群操作：r = R|tr = Rr + t (賽茲算符賽茲算符) 對非點式操作對非點式操作 t = ，而對于，而對于點式操作點式操作t = = 0 = tN+P1abc+P1,_,_,_,_+_,+P2abcP2/m+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-反映面，鏡面反映面，鏡面Pm+,-+,-+,-+,-Bm+,-+,-+,-1/2+,1/2-+,-1/2+,1/2-1/4單斜單斜 B B滑移面滑移面Cm+,+,+,+,+,+Bm+,-+,-+