1、1.4概率空間一、概率的公理化定義一、概率的公理化定義二、概率性質(zhì)二、概率性質(zhì)三、事件概率計算三、事件概率計算通過規(guī)定通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來來定義概率定義概率. 1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫年，前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫給出了概率的哥洛夫給出了概率的公理化定義公理化定義. 在學習幾何和代數(shù)時，知道公理是數(shù)學體系的基礎(chǔ)在學習幾何和代數(shù)時，知道公理是數(shù)學體系的基礎(chǔ). 數(shù)數(shù)學上的學上的“公理公理”，就是一些不加證明而公認的前提，然后，就是一些不加證明而公認的前提，然后以此為基礎(chǔ)，推演出所討論對象的進一步內(nèi)容以此為基礎(chǔ)，推演出所討論對象的進一步內(nèi)容.一、概率的公理化定義一、

2、概率的公理化定義柯氏公理體系是現(xiàn)代概率論的基石柯氏公理體系是現(xiàn)代概率論的基石. 定義定義( (概率概率) )：設(shè)：設(shè)(,F) ，對，對 定義在定義在F上的實值集函數(shù)上的實值集函數(shù)P(A), 若滿足若滿足F A1) 非負性：對非負性：對 ; 10F, APA2) 規(guī)范性規(guī)范性: :P() = 1; ;3) 可列可加性可列可加性, ,對對 ,1,2,FjiAAiAjii 有有 11iiiiAPAP 則稱則稱P是是(,(,F) )上的上的概率概率( (測度測度),),P(A)是事件是事件A的概率的概率. . 三元體三元體(,F, P)稱為稱為概率空間概率空間. 0)()1( P證明證明), 2 ,

3、1( nAn.,1jiAAAjinn 且且則則 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nnAPP1)( 1)(nnAP 1)(nP0)( P. 0)( P二、概率性質(zhì)二、概率性質(zhì)概率的有限可加性概率的有限可加性證明證明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 則則有有, ,是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件若若( (2 2) )nAAA,21).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,)3(APB

4、PABPBPAPB,ABA 則則且且為兩個事件,為兩個事件,設(shè)設(shè)證明證明BA,BA 因為因為).(ABAB 所以所以,)( AAB又又. )()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于是于是).(1)(APAPAA 則則的對立事件,的對立事件,是是設(shè)設(shè)(4)(4), 1)(, SPAASAA因為因為).(1)(APAP 證明證明)()(1AAPSP 所以所以. )()(APAP ).()()()(,)()5(ABPBPAPBAPBA有對于任意兩事件加法公式一般AB),(ABBABA,)( ABBA且且).()()(ABBPAP

5、BAP 故故又由性質(zhì)又由性質(zhì)3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 由圖可得由圖可得證明證明推廣推廣 三個事件和的情況三個事件和的情況)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 個事件和的情況一般加法公式個事件和的情況一般加法公式)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 右端共有 項.12 n推論推論：概率具有次可加性：概率具有次可加性 .11 niiniiAPAP（6 6）概率的連續(xù)性：）

6、概率的連續(xù)性：).(lim)(:,);(lim)(:,121121mmmmmmmmAPAPAAAAAPAPAAAA則若則若兩兩互不相容。兩兩互不相容。證：證：231211AAAAAAAmm ,123121mmmAAAAAAAA 而而,112211mmmAABAABAB令：11)(mmmmBPAPAP1)(mmBPmkkmBP1limmkkmBP1)(lim).(limmmAP解解),()()1(BPABP 由圖示得由圖示得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由圖示得由圖示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互

7、互斥斥與與的的值值三三種種情情況況下下求求在在下下列列和和的的概概率率分分別別為為設(shè)設(shè)事事件件BASSAB例例1三、事件概率計算三、事件概率計算,ABABA由圖示得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPABAP)()()()3(ABPBPABP.838121 , ABA且且SABAB.81)()3(.)(,2131,ABPABPBA的值三種情況下求在下列和的概率分別為設(shè)事件例例1例例2 將一顆骰子拋擲將一顆骰子拋擲4次，問至少出一次次，問至少出一次“6”點的概率是多少？點的概率是多少？令令 事件事件A=至少出一次至少出一次“6”點點A發(fā)生發(fā)生出出1次次“6”點點

8、出出2次次“6”點點出出3次次“6”點點 出出4次次“6”點點直接計算直接計算A的概率較麻煩的概率較麻煩, 我們先來計算我們先來計算A的的對立事件對立事件A=4次拋擲中都未出次拋擲中都未出“6”點點的概率的概率.技巧篇：技巧篇：1. 1.利用性質(zhì)計算概率利用性質(zhì)計算概率 主要舉例說明如何利用主要舉例說明如何利用逆事件的概率公逆事件的概率公式式和和概率加法公式概率加法公式計算隨機事件的概率計算隨機事件的概率)(1)(APAP于是于是 =0.5181296625 因此因此 = =0.482)(AP6666由于將一顆骰子拋擲由于將一顆骰子拋擲4次次,共有共有 =1296種等可能結(jié)果種等可能結(jié)果,55

9、55A而導致事件而導致事件 =4次拋擲中都未出次拋擲中都未出“6”點點的結(jié)果數(shù)有的結(jié)果數(shù)有 =625種種 兩事件互斥時的加法公式兩事件互斥時的加法公式 兩事件的一般加法公式兩事件的一般加法公式 )()()(BPAPBAP)()()()(ABPBPAPBAPABAABB技巧篇：技巧篇：2. 2.概率加法公式應(yīng)用舉例概率加法公式應(yīng)用舉例 推廣推廣: 三個事件和的概率為三個事件和的概率為 P P( (A AB BC C)=)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC) - P(AC) + P(ABC) n個事件和的概率為個事件和的概率為 njijiniiniiAAPAPAP111)()()

10、(nkjikjiAAAP1)()() 1(211nnAAAP例例3. 甲、乙兩人先后從甲、乙兩人先后從52張牌中各抽取張牌中各抽取13張張,求以求以下兩情況下甲或乙拿到下兩情況下甲或乙拿到4張張A的概率的概率. 1) 甲抽后不放回，乙再抽甲抽后不放回，乙再抽; 2) 甲抽后將牌放回，乙再抽甲抽后將牌放回，乙再抽. . 解：設(shè)解：設(shè)A=甲拿到甲拿到4張張A， B=乙拿到乙拿到4張張A1)1)A、B互不相容互不相容計算計算P(A)和和P(B)時用古典概型時用古典概型1339135293513481352948CCCCCC13529482CC求求P(A B)P(A B)=P(A)+P(B)2) A、

11、B不是互不不是互不相容相容P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)1352135294894813529482CCCCCC注意區(qū)分事件是否相容！注意區(qū)分事件是否相容！設(shè)設(shè)Ai =第第i封信裝入第封信裝入第i個信封個信封 i =1,2,3 A=沒有一封信裝對信封沒有一封信裝對信封 某人將三封寫好的信隨機裝入三個寫好地址的某人將三封寫好的信隨機裝入三個寫好地址的信封中，（一個信封里只有一封信）問沒有一信封中，（一個信封里只有一封信）問沒有一封信裝對信封的概率？封信裝對信封的概率？直接計算直接計算P(A)不易，我們先來計算不易，我們先來計算)(AP綜合題目例綜合題目例4配配對對 問問題題 =至少

12、有一封信裝對信封至少有一封信裝對信封則則A321AAAA)()(321AAAPAP)()()()()()()(321323121321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP31! 3! 2)()()(321APAPAP其中61! 31)()()(323121AAPAAPAAP61! 31)(321AAAP代入計算代入計算 的公式中的公式中)(AP應(yīng)用加法公式應(yīng)用加法公式321AAAA)()(321AAAPAP!313133233231211! 31! 31! 21)(1)(APAP于是于是!1) 1(! 31! 21)!1) 1(! 31! 211 (11nnnn推廣到推廣到n封信封信,用類似

13、的方法可得用類似的方法可得:把把n 封信隨機地裝入封信隨機地裝入n個寫好地個寫好地址的信封中址的信封中, 沒有一封信配對的沒有一封信配對的概率為概率為:實際中的各種配對問題實際中的各種配對問題學生和學習證配對學生和學習證配對;人和自己的帽子配對人和自己的帽子配對;兩副撲克牌配對兩副撲克牌配對;球箱號碼配對球箱號碼配對附附 錄錄1介紹介紹柯爾莫哥洛夫柯爾莫哥洛夫2介紹介紹范劍青范劍青 柯爾莫哥洛夫 ( A. H. 1903-1987 ) 1939年任蘇聯(lián)科學院院士.先后當選美,法,意,荷,英,德 等國的外籍院士 及皇家學會會員. 為 20 世紀最有影響的俄國數(shù)學家.俄國數(shù)學家 柯爾莫哥洛夫為開創(chuàng)

14、現(xiàn)代數(shù)學的一系列重要分支作出重大貢獻. 他建立了在測度論基礎(chǔ)上的概率論公理系統(tǒng), 奠定了近代概率論的基礎(chǔ). 他又是隨機過程論的奠基人之一,其主要工作包括: 20年代 關(guān)于強大數(shù)定律、重對數(shù)律的基本工作; 1933年在概率論的基本概念一文中提出的概率論公理體系(希爾伯特第6問題) 30年代建立的馬爾可夫過程的兩個基本方程; 用希爾伯特空間的幾何理論建立弱平穩(wěn)序列的線性理論; 40年代完成獨立和的弱極限理論,經(jīng)驗分布的柯爾莫哥洛夫統(tǒng)計量等; 在動力系統(tǒng)中開創(chuàng)了關(guān)于哈密頓系統(tǒng)的微擾理論與K系統(tǒng)遍歷理論; 50年代中期開創(chuàng)了研究函數(shù)特征的信息論方法, 他的工作及隨后阿諾爾德的工作解決并深化了希爾伯特第

15、13問題用較少變量的函數(shù)表示較多變量的函數(shù) ;60年代后又創(chuàng)立了信息算法理論; 1980年由于它在調(diào)和分析, 概率論,遍歷理論 及 動力系統(tǒng)方面 出色的工作獲沃爾夫獎; 他十分重視數(shù)學教育,在他的指引下,大批數(shù)學家在不同的領(lǐng)域內(nèi)取得重大成就.其中包括.M.蓋爾范德,B.阿諾爾德, .西奈依等人. 他還非常重視基礎(chǔ)教育, 親自領(lǐng)導了中學 數(shù)學教科書的編寫工作.統(tǒng)計學界的領(lǐng)袖范劍青 范劍青，美國普林斯頓大學統(tǒng)計與金融工程終身教授，The Annals of Statistics 雜志主編。福建莆田人，1982年畢業(yè)于復旦大學數(shù)學系，隨后考入中國科學院應(yīng)用數(shù)學所攻讀碩士。1986年進入美國加州柏克萊

16、大學攻讀博士學位，師從國際著名的統(tǒng)計學家 Bickel 教授和Donoho教授， 范教授多年來擔任范教授多年來擔任The Annals of Statistics，Journal of American Statistical Association， Probability Theory and Related Fields等頂尖刊物的副主編，并于等頂尖刊物的副主編，并于2004年任年任 The Annals of Statistics 的主編，成為該雜志創(chuàng)刊的主編，成為該雜志創(chuàng)刊70多年多年來唯一的亞裔主編。來唯一的亞裔主編。他還當選為他還當選為美國統(tǒng)計學會院士美國統(tǒng)計學會院士（Fello

17、w）、國際數(shù)理研究院院士和國際統(tǒng)計研究院院士。）、國際數(shù)理研究院院士和國際統(tǒng)計研究院院士。由于范教授的杰出成就，香港中文大學聘請他為統(tǒng)計學講座由于范教授的杰出成就，香港中文大學聘請他為統(tǒng)計學講座教授、統(tǒng)計系系主任（教授、統(tǒng)計系系主任（2000-2003）。）。 文章引用次數(shù)位列世界數(shù)學家排名榜的第文章引用次數(shù)位列世界數(shù)學家排名榜的第6名，也是名，也是十杰十杰內(nèi)內(nèi)唯一的亞裔學者唯一的亞裔學者。該項排名是由科學資料學會（。該項排名是由科學資料學會（ISI）根據(jù)）根據(jù)最近十年的資料整理得出，刊于最近十年的資料整理得出，刊于科學之窗科學之窗2002第三期。第三期。而后，他每年都在世界數(shù)學家文章引用次數(shù)排名榜的十杰內(nèi)。而后，他每年都在世界數(shù)學家文章引用次數(shù)排名榜的十杰內(nèi)。 范劍青 用統(tǒng)計方法主攻四個方向：用統(tǒng)計方法主攻四個方向：金融學、生金融學、生物信息、機器學習和生物統(tǒng)計物信息、機器學習和生物統(tǒng)計。 由于范劍青教授對統(tǒng)計學重要而廣泛的由于范劍青教授對統(tǒng)計學重要而廣泛的貢獻，而榮獲貢獻，而榮獲2000年度的年度的COPSS獎，獎，人們將其比同數(shù)學中的人們將其比同數(shù)學中的費爾茲（費爾茲（Fields）獎，也獎，也統(tǒng)計學界公認的最高