1、1全排列及其全排列及其逆序數逆序數對換對換計算計算性質性質定義定義排列排列行列式行列式行列式行列式概概念念n不不同同行行、不不同同列列的的 個個元元素素的的乘乘積積展展開開式式中中項項的的符符號號!n展展開開式式中中所所有有項項的的項項數數為為性性質質經經轉轉置置的的行行列列式式的的值值不不變變互互換換行行列列式式的的兩兩行行（列列），其其值值反反號號某某一一行行（列列）各各元元素素的的公公因因子子可可提提到到行行列列式式外外某某一一行行（列列）的的所所有有元元素素均均為為兩兩數數之之和和，則則此此行行列列式式等等于于兩兩個個行行列列式式之之和和k某某一一行行（列列）所所有有元元素素的的 倍倍

2、加加至至另另一一行行（列列），其其值值不不變變展展開開式式=()=1nAa Aiij ijj按按 行行展展開開=()=1nAa Aij iji按按 列列展展開開j j行列式行列式計計算算0A 證證明明AA 反反證證法法0Ax 有有非非零零解解( )r An 應應用用克克萊萊姆姆法法則則伴伴隨隨矩矩陣陣求求逆逆證證明明可可逆逆判判定定線線性性相相關關（無無關關）1234ijrkr 常常用用方方法法：利利用用運運算算把把行行列列式式化化為為 上上三三角角形形行行、用用定定義義計計算算、化化三三角角形形行行列列式式計計算算、展展列列式式，從從而而算算得得行行列列式式的的值值 將將行行列列式式按按某某

3、行行或或某某列列展展開開. .開開法法、利利用用范范德德蒙蒙行行列列式式計計算算 1112131112131221222321222322313233313233322,2,2AB8.C12D2. aaaaaaaAaaaBaaaaAmBaaaaaaammmm設設且且則則. . . . . C 1231223311223311231212312,_A B .C2 2 D AA 設設是是三三階階矩矩陣陣 則則. . . . . . . . C5分塊矩陣分塊矩陣初等變換初等變換特殊矩陣特殊矩陣 概念概念矩陣矩陣運算及其性質運算及其性質 方陣的運算方陣的運算 矩陣的秩矩陣的秩 矩陣的逆矩陣的逆矩陣及其

4、運算矩陣及其運算概概念念mnmn 個個數數排排成成的的 行行 列列的的表表格格特特殊殊矩矩陣陣單單位位矩矩陣陣對對稱稱矩矩陣陣TijjiAAaa反反對對稱稱矩矩陣陣,0TijjiiiAAaaa 正正交交矩矩陣陣1TTTAAA AEAA 伴伴隨隨矩矩陣陣對對角角矩矩陣陣*AAA AA E 0()ijaij 運運算算,TAB kA AB A 方方陣陣的的冪冪初初等等變變換換初初等等矩矩陣陣概概念念性性質質()PAPA APP初初等等矩矩陣陣 左左（右右）乘乘 所所得得就就是是對對作作了了一一次次與與 同同樣樣的的行行（列列）變變換換111,( )(),1( )()EEEkEijijiikEkEki

5、jij 等等價價,ABPAQBPQ其其中中 與與 可可逆逆矩陣及其運算矩陣及其運算逆逆矩矩陣陣求求法法定定義義法法1*1AAA 伴伴隨隨矩矩陣陣法法1A EE A 初初等等變變換換法法（）（）11111100,000000AABBAABB 分分塊塊矩矩陣陣法法證證法法定定義義法法0A ( )r An 反反證證法法8 0min,0(123456789)0( ),max,min,0m nrrTm nn lR Am nifDR ArifDR ArR AR AA BR AR BP QR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BABR AR Bn 矩矩陣陣秩

6、秩的的性性質質性性質質性性質質性性質質性性質質性性質質性性質質性性質質性性質質性性 ； 若若，則則 若若可可逆逆，則則 若若，則則質質 122 (1),;(2),(),();(3),;(4),.A (1)(2)B (1)(4).C (2)(3)D3(2)(4)ABEAABnA BABEBAEA BnABA BnAB下下列列命命題題中中如如果果矩矩陣陣則則 可可逆逆且且如如果果 階階矩矩陣陣滿滿足足則則如如果果矩矩陣陣均均 階階不不可可逆逆 則則必必不不可可逆逆如如果果矩矩陣陣均均 階階不不可可逆逆 則則必必不不可可逆逆正正確確的的是是_. . . . . . . *11,4(3)1. 31AB

7、 3.C 6D 93AAAAAA設設 為為三三階階方方陣陣, ,為為 的的伴伴隨隨矩矩陣陣則則. . . . . . D 11 ,0,1,2,3,1,2,3,22A 0B 2.C 4D 8TijijAaAaijA設設 是是三三階階矩矩陣陣 其其中中則則. . . . . . BD 111213212223212223111213313233311132123313123132323 ,222100100010010 ,010 ,100 ,201021001ABD5.CaaaaaaAaaaBaaaaaaaaaaaaPPPBP P AP P AAP PA設設則則. . . . . .13.P P

8、1 2211 2* 22* 2222222 ,A () =2()B () =2()C () =2()D ()4=2TTTAnAAAAAAAAAAAAAAAAAAAEAAEE設設 是是 階階可可逆逆矩矩陣陣 則則下下列列等等式式不不成成立立的的是是. . . . . . . CB 21324264 2,=0,123A12B11.C11D.1 26aABABaaBaBaBaB設設, , 是是的的非非零零矩矩陣陣 且且則則_時時， 的的秩秩必必為為 . . 時時， 的的秩秩必必為為時時， 的的秩秩必必為為 . . 時時， 的的秩秩必必為為 C *1111011 ,()1.2343519A 3B 2.

9、C 1D 13.7aAAAr Aaa已已知知是是 的的伴伴隨隨矩矩陣陣 若若則則. . 或或. . . AD 2 ,()()_A 4B 3.C 2D81.AAAr Ar AE設設 為為四四階階矩矩陣陣 且且滿滿足足則則秩秩秩秩. . . . . . 12111213141413121121222324242322213132333434333231414243444443424110001010000101000aaaaaaaaaaaaaaaaABaaaaaaaaaaaaaaaaP 設設, , 211111121212211000001001000001( )( )( )()PABAA P P

10、BP A PCP P ADP A P 其其中中 可可逆逆，則則 C13(2)( )( )( )()An nABABABAABBABCABDAB 設設 為為階階可可逆逆矩矩陣陣，交交換換 的的第第1 1行行與與第第2 2行行得得矩矩陣陣，分分別別為為 ， 的的伴伴隨隨矩矩陣陣，則則 交交換換的的第第1 1列列與與第第2 2列列得得到到 交交換換的的第第1 1行行與與第第2 2行行得得到到 交交換換的的第第1 1列列與與第第2 2列列得得到到- - 交交換換的的第第1 1行行與與第第2 2行行得得到到- -CD14C()1()2R AR A ,1( )20( )20( )20()20abbAbab

11、AbbaAababBababCababDabab 設設3 3階階矩矩陣陣若若 的的伴伴隨隨矩矩陣陣的的秩秩等等于于 ，則則必必有有 或或 或或 且且 且且19156000060060600301 A1623 D17線性組合線性組合向量向量n維向量維向量向量定義向量定義n維向量組維向量組 線性表示線性表示向量線性運算向量線性運算 線性相關線性相關 向量組的秩向量組的秩 n 維維向向量量與與向向量量空空間間n維維向向量量運運算算加加法法、數數乘乘、內內積積Schmidt正正交交化化線線性性表表出出概概念念判判定定1 12 2xxxs s方方程程組組有有解解充充要要條條件件充充分分條條件件,121,

12、2ss 線線性性無無關關， 線線性性相相關關向向量量組組等等價價,11st 與與， ，可可互互相相線線性性表表出出線線性性相相關關概概念念判判別別充充分分條條件件充充要要條條件件(,12)0 xs 齊齊次次方方程程組組有有非非零零解解(,)1rss (1,2,)1isis 某某可可由由其其余余個個向向量量線線性性表表出出1nn 個個 維維向向量量多多數數向向量量可可由由少少數數向向量量線線性性表表出出 n 維維向向量量與與向向量量空空間間向向量量空空間間n維維向向量量線線性性無無關關概概念念判判別別充充要要條條件件充充分分條條件件(,12,)0 xs 齊齊次次方方程程組組只只有有零零解解(,)

13、12rss () ii 向向量量不不能能由由其其余余向向量量線線性性表表出出階階梯梯形形向向量量組組極極大大線線性性無無關關組組概概念念求求法法向向量量組組的的秩秩矩矩陣陣的的秩秩 12121122121122121112 ,.,A,.,.=0.B,.,.0.C,.1.,.0.D,.,.sssssssssssk kkkkkk kkkkkk kkkk 向向量量組組線線性性無無關關的的充充分分必必要要條條件件是是_ _ _ _ _ _ _存存在在全全為為零零的的一一組組數數使使存存在在不不全全為為零零的的一一組組數數使使對對于于任任何何一一組組不不全全為為零零的的數數都都有有中中任任意意兩兩個個向

14、向量量線線性性無無關關 C 111121322122233313233111121314221222324331323314 :,:,A. B.C. 2 D.TTTaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa設設 則則正正確確的的命命題題是是_ 相相關關 相相關關 無無關關 無無關關 無無關關 無無關關 相相關關 無無關關. .B 123123123123123123123123123 ,(1),(2),(3),(4),A (1)(2)B (3)(43).C ( 設設向向量量組組, , 均均為為三三維維向向量量, ,現現有有四四個個命命題題若若 不不能能由由線線性性表表示示 則則線線性性相相關關

15、. .若若線線性性相相關關 則則 不不能能由由線線性性表表示示. .若若 能能由由線線性性表表示示 則則線線性性無無關關. .若若線線性性無無關關 則則 能能由由線線性性表表示示. .以以上上正正確確的的是是_. . . . 1)(4)D (2)(3). . .C 1234123412312344123412341234123 ,A,B,.C,.D,4.AB 設設矩矩陣陣經經過過初初等等變變換換變變為為, ,且且線線性性無無關關, ,線線性性相相關關, ,則則不不能能由由線線性性表表示示. .能能由由線線性性表表示示 但但表表法法不不唯唯一一能能由由線線性性表表示示 且且表表法法唯唯一一能能否

16、否由由線線性性表表示示不不能能確確定定. .C 12 ,.,A1B.C1.D1.5srrrrr 如如果果向向量量組組的的秩秩為為則則下下列列命命題題正正確確的的是是_ _ _ _ _向向量量組組中中任任意意個個向向量量都都線線性性無無關關. .向向量量組組中中任任意意 個個向向量量都都線線性性無無關關向向量量組組中中任任意意個個向向量量都都線線性性. .相相關關向向量量組組中中任任意意個個向向量量都都線線性性相相關關 D 12341134224334423512312345 ,2.,A 1 B 2. C 3. D64.r 已已知知四四維維向向量量組組線線性性無無關關 且且向向量量則則. . .

17、 CD 12341223344112233412233441112233441 ,A,B,.C,7.D,. 設設向向量量組組 線線性性無無關關 則則與與向向量量組組 等等價價的的向向量量組組是是_ _. . ._24A325A1 26 齊次齊次線性方程組線性方程組解的性質解的性質 解的結構解的結構 解的判定解的判定非齊次非齊次線性方程組線性方程組矩矩陣陣形形式式0Ax 有有非非0 0解解判判定定( )r An 基基礎礎解解系系Axb 階階梯梯形形初初等等行行變變換換 有有解解判判定定( )= ( )r Ar A解解的的結結構構導導出出組組01 1nnxx 0有有非非 解解1,n 線線性性相相關

18、關1 1nnxx有有解解1,n 可可由由線線性性表表出出向向量量形形式式解解的的結結構構特特解解、通通解解自自由由變變量量解解的的性性質質,01212AxbAx 若若是是的的兩兩個個解解，則則是是的的解解1 12 2,0012kAxkAx + +若若是是的的兩兩個個解解，則則是是的的解解0+AxbAxAxb 若若 是是的的解解， 是是的的解解, ,則則是是的的解解 1231212321123,2, 2, (), 3230A 4 B 3. C 2. D 11. .AxbAx 已已知知是是非非齊齊次次方方程程組組的的三三個個不不同同的的解解 那那么么下下列列向向量量 中中是是導導出出解解的的向向量

19、量共共有有_個個. .個個個個個個 A 12 2,1,1,1, 2, 10,211135AB.121135142131CD1212622TTAxA要要使使都都是是齊齊次次線線性性方方程程組組的的解解 只只要要系系數數矩矩陣陣 為為_. . . . . . B 12121212,2,()10AB.3C(D(. .nAxbr AnAxkkkk 已已知知是是 元元非非齊齊次次線線性性方方程程組組的的 個個不不同同的的解解若若秩秩, ,則則的的通通解解是是_ _ _ _ _ _. . ) ) ) ) D ,00,AB.CD4TTAnAAAxA Ax設設 為為 階階矩矩陣陣, ,是是 的的轉轉置置矩矩陣陣 對對于于線線性性方方程程組組 和和 必必有有