1、3-6 剛體的平面運動剛體的平面運動 進動進動 一、剛體平面運動簡介一、剛體平面運動簡介剛體上每一質元的運動都平行于某一固定平面。剛體上每一質元的運動都平行于某一固定平面。剛體內垂直于固定平面的任一直線在運動中都始終保持剛體內垂直于固定平面的任一直線在運動中都始終保持垂直于該平面垂直于該平面 CCCF 運動學描述：運動學描述： 平面運動平面運動 剛體隨質心的平動剛體隨質心的平動 繞過質心垂直于運動平面轉軸的轉動繞過質心垂直于運動平面轉軸的轉動 剛體質心的速度、加速度剛體質心的速度、加速度 剛體繞質心轉動的角速度、角加速度剛體繞質心轉動的角速度、角加速度University physics AP

2、 Fang 動力學規律：動力學規律：22CiCd rFmmadtCCJM 質心運動定理：質心運動定理： 剛體繞質心的轉動規律：剛體繞質心的轉動規律： 221122KCCEJmv 剛體的動能：剛體的動能： 平面運動的平面運動的基本方程組基本方程組 思考題：思考題： 如圖示，將一質量為如圖示，將一質量為 m 的長桿用細繩從兩端水平地掛起，的長桿用細繩從兩端水平地掛起，其中一根繩子突然斷了，另一根繩子內的張力是多少？其中一根繩子突然斷了，另一根繩子內的張力是多少？ TmlUniversity physics AP Fang111,23411,812Tmgmgmgmgmg張力張力 T是多少？是多少？

3、Tml二、進動二、進動 ( Precession ) 高速自旋物體的軸在空間轉動的現象高速自旋物體的軸在空間轉動的現象Omg OCLJ剛體受到重力矩剛體受到重力矩 右手法則右手法則PCMrmg對定點對定點 O，動量矩定理：，動量矩定理：PdLM dtCmaTmg質心運動定律質心運動定律轉動定律轉動定律2lTJ2212Cmlal13mgTTmgT41mgsinmgrCPMUniversity physics AP FangCrLLUniversity physics AP FangddtddsinL進動角速度：進動角速度：sinPCdLM dtmgrdtsinCCCdLmgrJdtJ OOdts

4、inJCdL結論：結論： 只是近似討論，只適用高速自轉只是近似討論，只適用高速自轉 ； 自轉角速度越大，進動角速度越小，反之依然；自轉角速度越大，進動角速度越小，反之依然； 進動角速度與傾角無關。進動角速度與傾角無關。 章動章動 當剛體自轉角速度較小時，它的自轉軸與豎當剛體自轉角速度較小時，它的自轉軸與豎直軸的夾角大小還會有周期性變化。直軸的夾角大小還會有周期性變化。 應用舉例：應用舉例：導航系統、準直系統導航系統、準直系統槍炮管中的來復線槍炮管中的來復線 自轉剛體的進動軸過定點且與外力平行；自轉剛體的進動軸過定點且與外力平行；第四章第四章 狹義相對論基礎狹義相對論基礎二十世紀最偉大的物理學家

5、二十世紀最偉大的物理學家愛因斯坦愛因斯坦(Einstein)現代時空觀的創始人現代時空觀的創始人University physics AP Fang狹義相對論狹義相對論:廣義相對論廣義相對論:研究兩個研究兩個不同慣性系不同慣性系的觀察者所的觀察者所觀察到的物理現象有什么不同。觀察到的物理現象有什么不同。研究研究一切參照系一切參照系(不限于慣性系不限于慣性系)中中的觀察者所觀察到的物理現象有的觀察者所觀察到的物理現象有什么不同。什么不同。University physics AP Fang引言引言牛牛 頓頓 力力 學學麥克斯韋電磁場理論麥克斯韋電磁場理論熱力學與經典統計理論熱力學與經典統計理論兩

6、朵小烏云：兩朵小烏云： l 邁克耳遜邁克耳遜莫雷莫雷“以太漂移以太漂移”實驗實驗l 黑體輻射實驗黑體輻射實驗強調強調l 近代物理不是對經典理論的簡單否定近代物理不是對經典理論的簡單否定l 近代物理不是對經典理論的補充，而是全新的理論近代物理不是對經典理論的補充，而是全新的理論狹義相對論狹義相對論量子力學量子力學l 近代物理學的兩大近代物理學的兩大支柱，逐步建立了新支柱，逐步建立了新的物理理論的物理理論l 19 世紀后期，經典物世紀后期，經典物理學的三大理論體系使經理學的三大理論體系使經典物理學已趨于成熟典物理學已趨于成熟University physics AP Fang一、伽利略相對性原理一

7、、伽利略相對性原理在所有慣性系中，物體運動所遵循的力學在所有慣性系中，物體運動所遵循的力學規律規律是相同的，具是相同的，具有相同的數學表達形式有相同的數學表達形式。說明說明 這里的這里的“相對性相對性”容易使人誤解為力學定律的形式隨參考容易使人誤解為力學定律的形式隨參考系不同而變化，系不同而變化， 其實質是力學定律的形式其實質是力學定律的形式不不隨所選參考系隨所選參考系不同而變化。不同而變化。時間間隔，空間距離，物體的質量，相互作用力都是與參照時間間隔，空間距離，物體的質量，相互作用力都是與參照系無關的絕對量系無關的絕對量 4-1 伽利略相對性原理和伽利略變換伽利略相對性原理和伽利略變換Uni

8、versity physics AP Fang二、伽利略變換二、伽利略變換1. 概念概念事件事件運動過程中的每一組運動過程中的每一組時間、空間坐標時間、空間坐標對應一個運動對應一個運動狀態。狀態。每一組每一組時間、空間坐標時間、空間坐標對應一個事件。對應一個事件。(x，y，z，t )絕對時間絕對時間時間的度量與參考系無關。時間的度量與參考系無關。 即即: 同樣的前后同樣的前后兩個事件之間的時間，無論在兩個事件之間的時間，無論在哪個慣性系哪個慣性系中中測量都一樣。測量都一樣。絕對空間絕對空間長度的度量與參考系無關。長度的度量與參考系無關。即即: 同樣兩點間的同樣兩點間的距離，無論在距離，無論在哪

9、個慣性系哪個慣性系中測量都一樣。中測量都一樣。2. 絕對時空觀絕對時空觀時間的流逝和空間的性質與物體的運動時間的流逝和空間的性質與物體的運動沒有任何聯系。沒有任何聯系。University physics AP Fang3. 伽利略變換伽利略變換它的導出基于以下兩個基本假設：它的導出基于以下兩個基本假設：目的目的在兩個慣性系中分析描述同一物理事件，看看在兩個慣性系中分析描述同一物理事件，看看兩個慣性系中的兩個慣性系中的時空坐標時空坐標之間的關系。之間的關系。(1) 相對性原理；相對性原理；(2) 絕對時空觀絕對時空觀t 時刻，物體到達時刻，物體到達 P 點點SStz,y,x,rt ,z ,y,

10、x rtz,y,x, vt ,z ,y,x vtz,y,x,at , z , y,x a(x )OzySuP(x, y, z)(x, y, z)OzySx rr在在t 0 時刻，物體在時刻，物體在 O 點點, S , S 系重合系重合University physics AP Fang正變換正變換utxxyy 逆變換逆變換utxxzz tt yyzz tt (1) 經典力學關于時間絕對性的觀念經典力學關于時間絕對性的觀念討論討論:(2) 經典力學關于空間絕對性的觀念經典力學關于空間絕對性的觀念(3)速度和加速度的變換關系速度和加速度的變換關系tt tt xx ut 2121xxxxtrddvt

11、 rddv由定義由定義University physics AP Fang速度變換與加速度變換式速度變換與加速度變換式tt 并注意到并注意到uvvzzyyxxuvvvvvv zzyyxxaaaaaa aa寫成分量式寫成分量式在經典力學中，質量被認為是與參照系無關的常量在經典力學中，質量被認為是與參照系無關的常量 FmamaF牛頓運動定律對不同慣性系具有相同的表達形式，也就是牛頓運動定律對不同慣性系具有相同的表達形式，也就是說，牛頓運動定律在伽利略變換下具有不變的形式。說，牛頓運動定律在伽利略變換下具有不變的形式。University physics AP Fang(1) 以以牛頓定律牛頓定律為

12、基礎導出的質點動能定律、質點動量定律為基礎導出的質點動能定律、質點動量定律 等有關定律在等有關定律在伽利略變換伽利略變換下具有規律形式不變下具有規律形式不變結論結論在慣性系在慣性系S 有有例例:tmFddvrtmrFddddv)21d(d2vmrF在慣性系在慣性系S有有tmFddvrtmrF ddddv)21d(d2v mrF注意注意: 不同慣性系中規律形式相同，不同慣性系中規律形式相同， 并不意味著每一個并不意味著每一個物理量的量值相同。物理量的量值相同。ddrr22vvUniversity physics AP Fang(3) 剛體力學、變形體力學和流體力學都是建立在質點力學剛體力學、變形

13、體力學和流體力學都是建立在質點力學的基礎上的。的基礎上的。這樣就形成了全部經典力學的完整體系這樣就形成了全部經典力學的完整體系(2) 基于牛頓第二定律和牛頓第三定律在基于牛頓第二定律和牛頓第三定律在伽利略變換伽利略變換下具有規下具有規律形式不變。律形式不變。可以導出質點組動能定律、動量定律和角動可以導出質點組動能定律、動量定律和角動量定律在量定律在伽利略變換伽利略變換下具有規律形式不變。下具有規律形式不變。全部經典力學全部經典力學的定律不隨觀察者所選用的慣性系而改變。的定律不隨觀察者所選用的慣性系而改變。說明說明伽利略變換和伽利略的相對性原理一方面指出了力學伽利略變換和伽利略的相對性原理一方面

14、指出了力學中的中的定律定律不隨慣性系而變化，另一方面也承認描述質不隨慣性系而變化，另一方面也承認描述質點運動的很多物理量點運動的很多物理量(速度、動量、動能速度、動量、動能)確實隨觀察確實隨觀察者所選用的慣性系而不同。者所選用的慣性系而不同。University physics AP Fang例：例： 行駛船上，運動的網球行駛船上，運動的網球結論結論總之，在描述物體運動時，在不同的慣性系中一些物總之，在描述物體運動時，在不同的慣性系中一些物理量是可以不同的，但其所遵循的規律卻是相同的。理量是可以不同的，但其所遵循的規律卻是相同的。4-2 狹義相對論的基本假設與洛倫茲變換狹義相對論的基本假設與洛

15、倫茲變換University physics AP Fang一、經典力學的時空觀遇到的困難一、經典力學的時空觀遇到的困難 “以太以太”假說假說1887年，年，Michelson Morley實驗實驗:2M1M1G2GPL2211設想以太相對于太陽系是不動的設想以太相對于太陽系是不動的而干涉儀與地球固接而干涉儀與地球固接并以地球公轉速率并以地球公轉速率相對于以太運動相對于以太運動v以太風以太風1l2lO對對 光線：光線：O M1 Ovvclclt111)/11(2221cclv光相對于以太的速度為光相對于以太的速度為c對對 光線：光線：O M2 O2M2tv2222212()2vtltcvc22

16、vccv設設 l1 = l2 = l 和和 v c)21 (2222ccltv)1 (2221ccltv12ttt32/clv兩束光線的時間差兩束光線的時間差當儀器轉動當儀器轉動 / 2 后，引起干涉條紋移動后，引起干涉條紋移動222clNv邁克耳遜邁克耳遜 莫雷實驗的莫雷實驗的零零結果，說明了結果，說明了“以太以太”本身本身不不存在。存在。?04. 0N?4 . 0N 0 N12ttt可以出可以出現條紋現條紋University physics AP Fang)/11(22222ccltv1905年，年，A.Einstein 首次提出了狹義相對論的兩個假設首次提出了狹義相對論的兩個假設 m/

17、s 458 792 299 c1. 光速不變原理光速不變原理在所有的慣性系中，光在在所有的慣性系中，光在真空真空中的傳播速率具有相同的值中的傳播速率具有相同的值包括兩個意思：包括兩個意思：l 光速不隨觀察者的運動而變化光速不隨觀察者的運動而變化 l 光速不隨光源的運動而變化光速不隨光源的運動而變化 所有慣性系都完全處于平等地位，沒有任何理由選所有慣性系都完全處于平等地位，沒有任何理由選某一個參考系并把它置于特殊的與眾不同的地位。某一個參考系并把它置于特殊的與眾不同的地位。二、狹義相對論的兩個基本假設二、狹義相對論的兩個基本假設2. 相對性原理相對性原理一切物理規律在所有慣性系中具有相同的形式一

18、切物理規律在所有慣性系中具有相同的形式University physics AP Fang一切物理規律一切物理規律力學規律力學規律在牛頓力學中，與參考系在牛頓力學中，與參考系無無關關在在狹義相對論力學狹義相對論力學中，與中，與參考系參考系有有關關(1) Einstein 相對性原理相對性原理 是是 Newton力學相對性原理力學相對性原理的發展的發展討論討論(2) 光速不變原理光速不變原理與與伽利略的速度合成定理伽利略的速度合成定理針鋒相對針鋒相對(3) 時間時間、長度長度、質量質量等的測量等的測量University physics AP FangOZXYSOZ(X)YSuP(x,y,z)(

19、x,y,z)rr 設設S新時空變換關系應滿足：新時空變換關系應滿足：1. 兩個基本假設；兩個基本假設；2.，新時空變換，新時空變換將退化為伽利略變換。將退化為伽利略變換。對慣性系對慣性系 S慣性系慣性系tt 0tczyx22222 有有，由光速不變原理，由光速不變原理0 tc z y x22222 tx x 在兩個參考系中兩者形式完全相同在兩個參考系中兩者形式完全相同變換關系變換關系(線性線性)：tx t 待定系數待定系數,cvUniversity physics AP Fang三、洛倫茲坐標變換三、洛倫茲坐標變換 udtdx,0 x 設設 S相對相對S的速度為的速度為u: o0udtdxdt

20、dx constu :o/ )x t (x x 對對對對/ )0 t (0 udtdx X XOOu)utx( x tx t 0 xt)cu(2tc )cu1(222222 222222zyx)c( 0tczyx22222 比較兩式，可求得待定系數。比較兩式，可求得待定系數。University physics AP Fang22cu1/1 222cu1c/u 22c/u1utxx 22c/u1cuxtt 2y y z z 正變換正變換22c/u1utxx 22c/u1cuxtt 2 yy zz 逆變換逆變換 洛倫茲變換的物理意義：洛倫茲變換的物理意義：（2） x不僅與不僅與 x數值有關，且與

21、數值有關，且與 t有關。有關。 t不僅與不僅與 t數值有關，且與數值有關，且與 x有關。有關。 u 反映空間測量與時間測量相互影響和制約反映空間測量與時間測量相互影響和制約 相對時空觀相對時空觀（1） 2222 20 xyzc t具有不變的形式具有不變的形式 University physics AP Fang（3）光速是物體運動的極限速度）光速是物體運動的極限速度 例：測量空間和時間例：測量空間和時間22c/u1utxx 12 xx x 22c/u1tux 22c/u1cuxtt 212 t t t 22c/u1cxut 2 cu 22c/u1洛倫茲變換失去意義洛倫茲變換失去意義結論：任何運

22、動物體的速度都不會超過光速。結論：任何運動物體的速度都不會超過光速。（4）當）當 cu 洛倫茲變換簡化為伽利略變換式洛倫茲變換簡化為伽利略變換式22c/u1utxx utxx tt 結論：低速情況下，相對論時空觀可退化為絕對時空觀。結論：低速情況下，相對論時空觀可退化為絕對時空觀。University physics AP Fang四、四、閔科夫斯基空間閔科夫斯基空間 洛倫茲不變量洛倫茲不變量（Lorentz invariant）1908年，年，H.Minkowski發展了狹義相對論發展了狹義相對論的四維空間理論。的四維空間理論。)ct, z , y, x( 四維時空空間四維時空空間 閔科夫斯

23、基空間中，閔科夫斯基空間中，一事件對應一個時空點一事件對應一個時空點（世界點），（世界點），質點運動時將在其中留下質點運動時將在其中留下蹤跡曲線蹤跡曲線，稱為一條，稱為一條世界線。世界線。)ctx( 21utxx 21cuxtt 2)c/xt ( 定義：定義：22x)ct(s 為一事件為一事件)ct, x(與原點之間的時空間隔，有與原點之間的時空間隔，有2222 x tc s 222)c/xt (c 22)ctx( 22x)ct( 2s 時空間隔時空間隔 s 為洛倫茲變換下的不變量。為洛倫茲變換下的不變量。University physics AP Fang例例1：假定一個粒子在假定一個粒子在

24、 S 系中以系中以4/c的恒定速度相對的恒定速度相對 S運動，其運動軌道與運動，其運動軌道與x 軸成軸成60度角，若度角，若S 系沿系沿x 軸軸相對于相對于 S的速度為的速度為c8 . 0，求粒子在，求粒子在 S 系中的運動方程？系中的運動方程？c8 . 0u S S解：解： S 系中，粒子運動方程：系中，粒子運動方程： t60cos)4/c( xo t60sin)4/c( yo 洛倫茲變換可知，洛倫茲變換可知，22c/u1utxx )c/u1c/uxt(60cos4c222o t )c84. 0(x )c/u1c/uxt(60sin4cy y222o t )c11. 0(y 4/c 兩慣性兩慣性系的結果系的結果相差較大相差較大o60University physics AP Fang例例2： 地面上有一跑道長地面上有一跑道長1