1、小波的幾個術語及常見的小波基介紹本篇是這段時間學習小波變換的一個收尾，了解一下常見的小波函數，混個臉熟，知 道一下常見的幾個術語，有個印象即可，這里就當是先作一個備忘錄，以后若有需要再深入 研究。一、小波基選擇標準小波變換不同于傅里葉變換，根據小波母函數的不同，小波變換的結果也不盡相同。 現實中到底選擇使用哪一種小波的標準一般有以下幾點：1、支撐長度小波函數 W(t)、里(6)尺度函數艙)和0(面)支撐區間，是當時間或頻率趨向于無窮 大時，w(t)、w(5)Mt)和。(Mt一個有限值收斂到 0的長度。支撐長度越長，一般需要耗 費更多的計算時間，且產生更多高幅值的小波系數。大部分應用選擇支撐長度

2、為 59之間的 小波，因為支撐長度太長會產生邊界問題，支撐長度太短消失矩太低，不利于信號能量的集中。這里常常見到 緊支撐”的概念，通俗來講，對于函數f(x)，如果自變量x在0附近的取值范圍內，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值為0,那么這個函數f(x)就是緊支撐函數， 而這個0附近的取值范圍就叫做緊支撐集。總結為一句話就是除在一個很小的區域外，函數為零，即函數有速降性2、對稱性具有對稱性的小波，在圖像處理中可以很有效地避免相位畸變，因為該小波對應的濾 波器具有線性相位的特點。3、消失矩在實際中，對基本小波往往不僅要求滿足容許條件，對還要施加所謂的消失矩 (Vanishing Momen

3、ts )條件，使盡量多的小波系數為零或者產生盡量少的非零小波系數， 這樣有利于數據壓縮和消除噪聲。消失矩越大，就使更多的小波系數為零。但在一般情況下， 消失矩越高，支撐長度也越長。所以在支撐長度和消失矩上，我們必須要折衷處理。小波的消失矩的定義為，若廣/甲dt = O其中，W(t)為基本小波，0<=p<N。則稱小波函數具有 N階消失矩。從上式還可以得出，同 任意n-1階多項式正交。在頻域內表示就是 3( 3在3=0處有高階零點(一階零點就是容許 條件)。4、正則性在量化或者舍入小波系數時，為了減小重構誤差對人眼的影響，我們必須盡量增大小 波的光滑性或者連續可微性。因為人眼對 不規則

4、”(irregular誤差比平滑”誤差更加敏感。換句話說，我們需要強加 芷則性"(regularity除件。也就是說正則性好的小波，能在信號或圖 像的重構中獲得較好的平滑效果，減小量化或舍入誤差的視覺影響。但在一般情況下，正則性好，支撐長度就長，計算時間也就越大。因此正則性和支撐長度上，我們也要有所權衡。消失矩和正則性之間有很大關系，對很多重要的小波(比如，樣條小波，Daubechies小波等)來說，隨著消失矩的增加，小波的正則性變大，但是，并不能說隨著小波消失矩的 增加，小波的正則性一定增加，有的反而變小。5、相似性選擇和信號波形相似的小波，這對于壓縮和消噪是有參考價值的。二、常見

5、的小波基以下列出的15種小波基是 Matlab中支持的15種。小波函數Haar Daubechies BiorthogonalCoifletsSymletsMorletMexicanHatMeyer小波縮寫名haardbbiorcoifsymmorlmexhmeyr表小形式haardb NbiorNr.Ndcoif Nsym Nmorlmexhmeyr舉例haardb3bior2.4coif3sym2morlmexhmeyr止交性有有無有有無無有雙止交性有有有有有無無有緊支撐性有有有有有無無無連續小波變換可以可以可以可以可以可以可以可以離散小波變換可以可以可以可以可以/、可以/、可以可以但無F

6、WT支撐長度12N-1重構：2Nr+1分解:2Nd+16N-12N-1有限長度有限長度有限長度濾波器長度22NMax(2Nr,2Nd)+26N2N-4, 4-5, 5-8, 8對稱性對稱近似對稱不對稱近似對稱近似對稱對稱對稱對稱小波函數消失矩階數1NNr-12NN-尺度函數消失矩階數-2N-1-小波函數GausDmeyerReverseBiorCgauCmorFbspShan小波縮寫名gausdmeyrbioNr.Ndcgaucmorfbspshan表小形式gaus NdmeyrbioNr.Ndcgau Ncmorfbspshan舉例gaus3dmeyrbio2.4cgau3cmorfbsps

7、han緊支撐止交性無無無無無無無緊支撐雙正交性無無有無無無無連續小波變換可以/、可以可以/、可以/、可以/、可以/、可以離散小波變換/、可以可以可以/、可以/、可以/、可以/、可以對稱性對稱對稱對稱對稱對稱對稱對稱小波函數消失矩階數-尺度函數消失矩階數-Nr-1-1、Haar小波Haar, 一般音譯為 哈爾”。也是最簡單的一Haar函數是小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小波函數, 個小波函數，它是支撐域在tC0,1范圍內的單個矩形波。Haar小波在時域上是不連續的，所以作為基本小波性能不是特別好。在Matlab中輸入命令 waveinfo('haar')可得到如下信息:

8、General characteristics: Compactlysupportedwavelet, the oldest and the simplestwavelet.scaling function phi = 1 on 0 1 and 0otherwise.wavelet function psi = 1 on 0 0.5, = -1on 0.5 1 and 0 otherwise.Compact supportyesFamilyHaarShort namehaarExampleshaar is the same as db1OrthogonalyesBiorthogonalyesD

9、WTpossibleCWTpossibleSupport width1Filters length 2Regularityhaar is notcontinuousSymmetryyesNumber of vanishing moments for psi 12、Daubechies（dbN）小波（緊支集正交小波）Daubechies, 一般音譯為多貝西”。Daubechies小波是由世界著明的小波分析學者Ingrid Daubechies（一般音譯為英格麗 多貝西）構造的小波函數，我們一般簡寫成dbN, N是小波的階數。小波函數邙t）和尺度函數 旭）中的支撐區為2N-1 , W（t）的消失矩

10、為No dbN小波具有較好的正則性，即該小波作 為稀疏基所引入的光滑誤差不容易被察覺，使得信號重構過程比較光滑。dbN小波的特點是隨著階次（序列N）的增大消失矩階數越大，其中消失矩越高光滑性就越好，頻域的局部化 能力就越強，頻帶的劃分效果越好，但是會使時域緊支撐性減弱，同時計算量大大增加，實時性變差。另外，除 N=1外，dbN小波不具有對稱性（即非線性相位），即在對信號進行 分析和重構時會產生一定的相位失真。dbN沒有明確的表達式（除了 N=1外，N=1時即為Haar小波）。在Matlab中輸入命令 waveinfo（'db'）可得到如下信息：General character

11、istics: Compactlysupported wavelets with extremal phase and highestnumber of vanishing moments for a givensupport width. Associated scaling filtersareminimum-phase filters.FamilyDaubechiesShort namedbOrder NN strictly positive integerExamplesdb1 or haar, db4, db15OrthogonalyesBiorthogonalyesCompact

12、supportyesDWTpossibleCWTpossibleSupport width2N-1Filters length2NRegularityabout 0.2 N for large NSymmetryfar fromNumber of vanishingmoments for psi N3、Symlet(symN)小波(近似對稱的緊支集正交小波)Symlet小波函數是IngridDaubechies提出的近似對稱的小波函數，它是對db函數的一種改進。Symlet小波系通常表示為 symN (N=2,3,8)。symN小波的支撐范圍為 2N-1 ,消 失矩為N,同時也具備較好的正則性

13、。該小波與 dbN小波相比，在連續性、支集長度、濾 波器長度等方面與dbN小波一致，但symN小波具有更好的對稱性，即一定程度上能夠減少對信號進行分析和重構時的相位失真。在Matlab中輸入命令 waveinfo('sym')可得到如下信息：General characteristics: Compactlysupported wavelets withleast asymmetry and highest number ofvanishing momentsfor a given support width.Associated scaling filters are nea

14、rlinear-phase filters.FamilySymletsShort namesymOrder NN = 2, 3,.Examplessym2, sym8OrthogonalyesBiorthogonalyesCompact supportyesDWTpossibleCWTpossibleSupport width2N-1Filters length 2NRegularitySymmetrynear fromNumber of vanishingmoments for psi N4、 Coiflet(coifN) /、波根據 R.Coifman 的要求，Daubechies 構造了

15、 Coiflet 小波，它具有 coifN (N=1,2,3,4,5) 這一系列。Coiflet的小波函數 W的2N階矩為零，尺度函數帕)的2N-1階矩為零。W(t)和蛆)的支撐長度為6N-1。Coiflet的照t)和小具有比dbN更好的對稱性。在Matlab中輸入命令 waveinfo('coif)可得到如下信息：General characteristics: Compactlysupportedwavelets with highest number of vanishingmoments for both phi and psi for a givensupport width

16、.FamilyCoifletsShort namecoifOrder NN = 1,2,，5Examplescoif2, coif4OrthogonalyesBiorthogonalyesCompact support yesDWTpossibleCWTpossibleSupport width 6N-1Filters length 6NRegularitySymmetrynear fromNumber of vanishingmoments for psi2NNumber of vanishingmoments for phi2N-15、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波為了

17、解決對稱性和精確信號重構的不相容性，引入了雙正交小波，稱為對偶的兩個小波分別用于信號的分解和重構。雙正交小波解決了線性相位和正交性要求的矛盾。由于它有線性相位特性，所以主要應用在信號與圖像的重構中。通常的用法是采用一個函數進行分解，用另外一個小波函婁進行重構。雙正交小波與正交小波的區別在于正交小波滿足<Wj,k，里,m>= 4k 3,m,也就是對小波函數的伸縮和平移構成的基函數完全正交，而雙正交小波滿足的正交性為<半上，里,m>=S,k,也就是對不同尺度伸縮下的小波函數之間有正交性，而同尺度之間通過平移得到的小波函數系相應的濾波器也不能由同一之間沒有正交性，所以用于分解

18、與重構的小波不是同一個函數, 個小波生成。該小波雖然不是正交小波，但卻是雙正交小波，具備正則性，同時也是緊支撐的，其 重構支撐范圍為2Nr+1 ,分解支撐范圍為2Nd+1。biorNr.Nd小波的主要特征表現在具有線性相位特性。一般來說為了獲得線性相位，需要降低對于正交性的局限，為此該雙正交小波 降低了對于正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了線性相位和較短支集的特性。在Matlab中輸入命令 waveinfo('bior')可得到如下信息：General characteristics: Compactly supportedbiorthogonal spl

19、ine wavelets for whichsymmetry and exact reconstruction are possiblewithFIR filters (in orthogonal case it isimpossible except for Haar).FamilyBiorthogonalShortnamebiorOrderNr,NdNr = 1 ,Nd = 1,3, 5r forreconstruction Nr = 2 , Nd = 2, 4, 6,8d fordecomposition Nr = 3 , Nd = 1,3, 5,7, 9Nr = 4 , Nd = 4N

20、r = 5 , Nd = 5Nr = 6 , Nd = 8Examplesbior3.1,bior5.5OrthogonalnoBiorthogonalyesCompact supportyesDWTpossibleCWTpossibleSupport widthFilters length2Nr+1 forrec., 2Nd+1 for dec.max(2Nr,2Nd)+2 but essentiallybiorNr.Ndldlreffective lengtheffectiveof Lo_Dof Hi_Dbior1.122bior1.362bior1.5102bior2.253bior2.

21、493bior2.6133bior2.8173lengthGeneral characteristics: Compactly supportedbior3.144bior3.384bior3.5124bior3.7164bior3.9204bior 4.497bior5.5911bior6.81711Regularity forpsirec.Nr-1 and Nr-2 at theknotsSymmetryyesNumberof vanishingmoments for psi dec. NrRemark: bior 4.4,5.5 and 6.8 are such that reconst

22、ruction and decomposition functions and filters are close in value.6、ReverseBior 小波由Biorthogonal而來，因此兩者形式很類似。在Matlab中輸入命令 waveinfo('bior')可得到如下信息:biorthogonal spline wavelets for whichsymmetry and exact reconstruction are possible withFIR filters (in orthogonal case it isimpossible except fo

23、r Haar).FamilyBiorthogonalShortnamerbioOrderNd,Nr Nd = 1 , Nr = 1,3, 5r forreconstruction Nd = 2 , Nr = 2, 4, 6,8d fordecomposition Nd = 3 , Nr = 1,3, 5,7, 9Nd = 4 , Nr = 4Nd = 5 , Nr = 5Nd = 6 , Nr = 8Examplesrbio3.1,rbio5.5OrthogonalnoBiorthogonalyesCompact support yesDWTpossibleCWTpossibleSupport

24、 width2Nd+1 forrec., 2Nr+1 for dec.Filters lengthmax(2Nd,2Nr)+2 but essentiallyrbioNd.Nrlrldeffective lengtheffective lengthof Hi_Dof Lo_Drbio1.122rbio1.362rbio1.5102rbio2.253rbio2.493rbio2.6133rbio2.8173rbio3.144rbio3.384rbio3.5124rbio3.7164rbio3.9204rbio4.497rbio5.511rbio6.81711Regularity forpsire

25、c.Nd-1 and Nd-2 at theknotsyesSymmetryNumberof vanishingmoments for psi dec. NdRemark: rbio 4.4,5.5 and 6.8 are such that reconstruction anddecomposition functions and filters are close in value.7、Meyer 小波Meyer小波的小波函數和尺度函數都是在頻率域中進行定義的，它不是緊支撐的，但 它的收斂速度很快。在Matlab中輸入命令 waveinfo('meyr')可得到如下信息：G

26、eneral characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet.MeyerFamilyShortnamemeyrBiorthogonalyesCompact support noDWTpossiblebut without FWTFIR based approximation provides FWTCWTpossibleSupport widthinfiniteEffective support-8 8Regularityindefinitely derivableSymmetryyes8、Dmeyer 小波Dmeyer即離散的Me

27、yer小波，它是 Meyer小波基于FIR的近似，用于快速離散小波 變換的計算。在Matlab中輸入命令 waveinfo('dmey')可得到如下信息：Definition: FIR based approximation of theMeyer Wavelet.FamilyDMeyerShort name dmeyOrthogonalyesBiorthogonal yesDWTpossibleCWTpossible9、Gaussian 小波Gaussian小波是高斯密度函數的微分形式，它是一種非正交與非雙正交的小波，沒有 尺度函數。在Matlab中輸入命令 waveinfo

28、('gaus')可得到如下信息：Definition: derivatives of the Gaussianprobability density function.gaus(x,n) = Cn * diff(exp(-xA2),n) wherediff denotesthe symbolic derivative and where Cn issuch thatthe 2-norm of gaus(x,n) = 1.FamilyGaussianShort namegausWavelet name gaus"n"OrthogonalnoCompact su

29、pportnoDWTnoCWTpossibleSupport width infiniteEffective support-5 5Symmetryyesn even => Symmetryn odd => Anti-Symmetry10、MexicanHat(mexh)小波Mexican Hat函數為Gauss函數的二階導數。因數它的形狀像墨西哥帽的截面，所以 我們稱這個函數為墨西哥草帽函數。它在時域和頻率都有很好的局部化，但不存在尺度函數,所以此小波函數不具有正交性。在Matlab中輸入命令 waveinfo('mexh')可得到如下信息：Definition:

30、 second derivative of theGaussianprobability density functionmexh(x) = c * exp(-xA2/2) * (1-xA2)where c = 2/(sqrt(3)*piA1/4)FamilyMexican hatShort namemexhOrthogonal noBiorthogonal noCompact support noDWTnoCWTpossibleSupport width infiniteEffective support -5 5Symmetryyes11、Morlet 小波Morlet小波是高斯包絡下的單

31、頻率正弦函數，沒有尺度函數，是非正交分解。在Matlab中輸入命令 waveinfo('morl')可得到如下信息：Definition:morl(x) = exp(-xA2/2) * cos(5x)FamilyMorletShort namemorlOrthogonalnoBiorthogonal noCompact support noDWTnoCWTpossibleSupport width infiniteEffective support卜4 4Symmetryyes12、ComplexGaussian 小波屬于一類復小波，沒有尺度函數。在Matlab中輸入命令 wa

32、veinfo('cgau')可得到如下信息:Definition: derivatives of the complexGaussianfunctioncgau(x) = Cn * diff(exp(-i*x)*exp(-xA2),n)where diff denotesthe symbolic derivative and where Cn is aconstantFamilyComplex GaussianShort namecgauWavelet name cgau"nOrthogonalnoBiorthogonal noCompact support noDW

33、TnoComplex CWTpossibleSupport width infiniteSymmetryyesn even => Symmetryn odd => Anti-Symmetry13、ComplexShannon Wavelets : shan在Matlab中輸入命令 waveinfo('shan')可得到如下信息：Definition: a complex Shannon wavelet isshan(x) =FbA0.5*sinc(Fb*x)*exp(2*i*pi*Fc*x)depending on two parameters:Fb is a ba

34、ndwidth parameterFc is a wavelet center frequencyThe condition Fc > Fb/2 is sufficient toensure thatzero is not in the frequency supportinterval.FamilyComplex ShannonShort nameshanWavelet nameshan"Fb"-"Fc"OrthogonalnoBiorthogonalnoCompact supportnoDWTnocomplex CWTpossibleSupport width infinite14、ComplexFrequ