1、二、積分上限的函數及其導數二、積分上限的函數及其導數 三、牛頓三、牛頓 萊布尼茨公式萊布尼茨公式 一、原函數一、原函數 第三節原函數和微積分學基本定理 第五五章 科學出版社一、原函數一、原函數定義定義 1 . 滿足Ff 在區間 I 上的一個原函數 .則稱 F 為f 問題問題: 1. 在什么條件下, 一個函數的原函數存在 ?2. 若原函數存在, 有多少個原函數,它們之間有何關系？若在區間 I 上定義的兩個函數 F 及 f 科學出版社,Ff若是的一個原函數1) F + C 也是 f 的一個原函數，其中C為任意常數.證證:F Cf 是 的原函數()FC Ff2)Ff若 和是F0ff根據拉格朗日中值定

2、理的推論，知FC()C是某個常數的任意兩原函數, 則則定理定理 1.2) f 的任意兩個原函數只相差一個常數.1)F科學出版社 , ,fa b在( )dxaf tt有時也稱設上可積，則當 x 在a, b上變動時, 定義了一個積分上限 x 的函數：( )( )d , , xaxf ttxa b為變動上限積分.類似可定義積分下限函數：( )d , , xaf ttxa b( )d , , bxf ttxa b二、積分上限的函數及其導數二、積分上限的函數及其導數)(xx)(xfy xbayO科學出版社 , ,fC a b則變上限函數( )( )dxaxf tt證證:, , ,x xxa b 則有()

3、( )xxxx1x( )d( )dxxxaaf ttf tt1( )dxxxf ttx( )f()xxx0()( )limxxxxx0lim( )xf( )f x( ) x 定理定理2. , fC a b在a, b上可導, 且d( )( )d( )dxaxf ttf xx若 (稱為微積分學基本定理之一)科學出版社注注:1) 定理 2 指出連續函數的原函數是存在的.2) 其它變限積分求導：bxttfxd)(dd)(xf( )d( )ddxaf ttx ( )( )fxx并且其積分上限函數就是它的一個原函數.( )( )d( )ddxxf ttx= ( )( )fxx( )( )d=( )d( )

4、ddaxxaf ttf ttx ( )( )fxx科學出版社21) ln d ;bxtt t2e2) ( )dxxaf tt解：解：2d1) ln ddbxtt tx2ed( )ddxxaf ttx2e2) ( )dxxaf tt由( )duayf tt2exux與復合而成.2lnxx ( )(2e )xf ux例例1. 2(e )(2e )xxf xx2dln ddxbtt txd( )dduaf ttu2d(e )dxxx求下列積分上限和積分下限函數的導數：科學出版社cos ln(1 sin )xx例例2. 0sin20ln(1)dlimxxttx解解: 原式0limx00 x200sin

5、lim( cos )limxxxxx例例3. 確定常數 a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax時,0c0.b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故1.a 又由221cos1xx, 得12.c 洛洛洛洛1( 1)2 12 求科學出版社 ttf txfxd)()(0例例4. ,0)(,),0)(xfxf且內連續在設證明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(內為單調遞增函數 . 證證:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxtt

6、fxfxd)()(0()xt0.)0)(內為單調增函數，（在xF只要證0)( xF 20d)(ttfx() ( )xfx )(xf)0(x科學出版社三、牛頓三、牛頓 萊布尼茨公式萊布尼茨公式( )( ) , F xf xa b設是可積函數在上的一個原( 牛頓 - 萊布尼茨公式) 證證: 根據微分中值定理，1111( )( )( )()( )(),nniiiiiiiF bF aF xF xfxx,n令由 f 可積得( )( )( )dbaF bF af xx( )d( )( )baf x x F bF a右式記作( )baF x定理定理3.函數 , 則()/ ,ixa i b an 令1(, )iiixx( )( )( )dbaF bF af xx證畢注：科學出版社牛頓萊布尼茲公式表明，間a. b上的定積分, 只要求出 f (x) 在區間a. b上的一個原函數 F (x)，并計算它由端點 a 到端點 b 的改變量 F (b) - F (a) 即可，要求