1、13.13.1 正交表正交表 定義定義正交表正交表 是一個 的矩陣, 其中 個列有 個水平 ，并滿足11()rmmnr L qqa) 各列元素元素的重復數相同b) 任兩列諸元素組合元素組合的重復數相同 )2(278)3(34978714941 L q; q, snL q; q, snn m1, rimmmm( 2)iq 若水平數都相同, 則記為 Ln(qm).第1頁/共92頁2正交表中字符含義正交表試驗總數因子的水平數q1 水平因子的列數11()rmmnr L qq水平數不同的數目第2頁/共92頁3No.123411111212223133342123522316231273132893921

2、393321 正交表正交表 L9(34) 第3頁/共92頁4 正交表正交表 L8(27)No.1234567111111112111222231221122412222115212121262122121722112218922121912第4頁/共92頁5正交表正交表 L8(424) 第5頁/共92頁6列正交性 :12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112L8(27)12345671-1 -1 -1 -1 -1 -1 -12-1 -1 -111113-111-1 -1114-11111-1 -

3、151-11-11-1161-111-11-1711-1 -111-1811-11-1 -11水平變換:1 -12 1 7878I XX X : 第6頁/共92頁7列正交性 :13, 02, 11: )3(4 L L9 9,101111010111011011001010111100011111x x46 Ixx第7頁/共92頁8常用的正交表如下常用的正交表如下: : ,2,2,2,3151611127844LLLL二水平正交表: ,3,3,3132771849LLL三水平正交表: ,4516L四水平正交表: ,5625L五水平正交表: ,23,24,24,24,24,32,247183416

4、63169216121631248LLLLLLL混合正交表: 第8頁/共92頁9等價和同構 兩個正交表稱為等價的，如果對其中一張表進行適當的行置換和列置換可以得到另一張表 兩個正交表稱為同構的，如果對其中一張表進行適當的行置換、列置換及水平置換可以得到另一張表第9頁/共92頁10附附. 構造正交設計的方法構造正交設計的方法A. Hardmard 矩陣一個 n n 矩陣 H 稱為 Hardmard 矩陣，若其矩陣元素都是 -1 或 1, 且 HH = nIn.1),(ijijhh Hmn4,12, 8, 4 n 第10頁/共92頁11Hardmard 矩陣的標準型：矩陣第一列元素都為 11111

5、111111111111H4去掉第一列)2(34L由 Hardmard 矩陣得到正交設計第11頁/共92頁12B. 擴大小正交設計表279LL 可以類似的得到 4L111111114444LLLL8L111111118888LLLL16L第12頁/共92頁13C. 拉丁方213132321一個 nn 的對稱矩陣, 若每行/列中，每個元素都只出現一次.3521452143214351435243521* 該矩陣為循環拉丁方第13頁/共92頁14正交拉丁方213132321acbbaccba,a)(2,c)(1,b)(3,b)(1,a)(3,c)(2,c)(3,b)(2,a)(1,9 個水平組合都

6、只出現一次.第14頁/共92頁15 21ABC(1,a)(2,b)(3,c)(2,c)(3,a)(1,b)(3,b)(1,c)(2,a)123456789No1234123456789ABCABCABC123231312abccab第15頁/共92頁16 1779年，歐拉應普魯士腓特烈大帝的請求，研究一個又閱兵式產生的問題：有6個不同的師團，各選出上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一人，能否把這36人排成6*6的方陣，使得每行每列都有各個師團各種軍銜軍官的代表？ 這個問題的一般提法是：有n個不同的拉丁字母和n個不同的阿拉伯數碼，能否把它們排成n*n的方陣，使得每行每列的n個字母和n個數碼都互

7、不相同并且行和列之間均不會出現相同的排法。這個問題稱為n階正交拉丁方問題。 歐拉猜想:第16頁/共92頁17 當 N=6, G. Tarry 在 1900 年證明該猜想成立. Bose, Shrikhande and Parker (1960) 證明當 t1 時，該猜想都不成立. 當 N=2 (mod 4), i.e., N=4t+2, t0 時，正交拉丁方設計不存在歐拉猜想:第17頁/共92頁18 10 10 正交拉丁方如下：第18頁/共92頁193 3. .2 2 無相互作用的正交設計無相互作用的正交設計例3.1. 例2.11續 對例2.11 中考慮的飲料灌注時的溢出容量問題，請利用正交表

8、L9(34) 來安排試驗，并找出好的灌注方案以減低溢出容量。第19頁/共92頁20用正交表進行設計No. 1 2 3 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 3 1 3 3 4 2 1 2 2 5 2 2 3 6 2 3 1 7 3 1 2 3 11 8 3 2 1 9 3 3 2 1. 把A，B，C 分別放入第 1， 2，3列A B C 2. 把第一列中 1,2, 3 替換成因素A 的各水平.1112223333. 類似處理第二三列.1001201401001201401001201401015201520102010154. 根據這 9 個水平組合做試驗得到 9 個響應，列入最后一列。12

9、0-243236-624-55-67135y第20頁/共92頁21對上述設計之疑問: 可比性 無重復 設計中有 y 過高的水平組合數據分析數據分析 : :1.直觀分析 2.方差分析 3.回歸建模 第21頁/共92頁22試驗結果的直觀分析No1 12 23 31 11 11 11 12 21 12 22 23 31 13 33 34 42 21 12 25 52 22 23 36 62 23 31 17 73 31 13 38 83 32 21 19 93 33 32 2T1 = -24 + 32 +36 = 44T2 = 120 62 + 4 = 64T3 = -55 67+135 = 131

10、12233344 3 14.67362 320.673 13 34.33m T / / ; m T / /; m T / / .(A). 計算均值計算均值第22頁/共92頁23(b) 畫平均溢出容量圖最佳水平組合為 A3 B2 C1第23頁/共92頁24C.計算極差計算極差 . minmax11mm, x, x -, x, xR max14.67 20.67 4.33 min14.67 20.67 4.33 20.674.3316.3358.33( 32.33)90.6795.67( 29)124.67ABCR , -, ;R ; R ; m, x, x1的極差定義為 RC RB RA主次 C

11、 B A第24頁/共92頁25結論 獲得最佳或滿意的水平組合。本例中我們得到的最佳水平組合為A3B2C1，它與9 次試驗中最好的水平組合第8號試驗是相同的。通常情況下，如果直觀分析法得到的最佳水平組合未出現在已知的部分實施的試驗中，則需要進一步分析或追加驗證試驗。 區分因子的主次。本例中因子C 是主要因子，因子B 次之，因子A 是最次要的。第25頁/共92頁26試驗結果的方差分析, , ,1,2,3ijkijkijkyi j k333111 0;ijkijk其中2 i.i.d. N(0,);ijl且服從11111111yy例如第26頁/共92頁27第一次試驗第二次試驗第三次試驗 約束 9233

12、98123873137613265322542124333132221211111cbaycbaycbaycbaycbaycbaycbaycbaycbay000321321321cccbbbaaa統計模型統計模型設因素間沒有交互作用設因素間沒有交互作用: : 第27頁/共92頁28987654321212121987654321101111101101111101111011110111101011001101111101110100110101011ccbbaayyyyyyyyyyXBy-11191367 4410380742(XX) XY(, , , , , , )9999999第28頁/

13、共92頁291231231231367 80,9991194410406, ,9999380742362,999aaaybbbccc11113211 ), 0( cmCbmBNa mA三因素在第一水平下均值之估計均值之估計為:921200 ,N),(N,q獨立同分布 911 9iy第29頁/共92頁30 (cmC (cmC (c mC (bmB (bmB (b mB (amA (amA (a mA) 00 :)00 : )00 :)00 :)00 :)0 0 : )00 :)00 : )00 : 7533133394231222861311119633133385231222741311119

14、84313336543122232131111第30頁/共92頁3116336633663369212121ccbbaa929191929291919292919192912估計的精度估計的精度 : 212)(XXcov第31頁/共92頁322231212222222( ), (), 1, 299 ()(,) ()()2( ,)2212 2() 9999jVarVar ajVar aVaraaVar aVar aCov a a22111319291)()()()( aVarVaraVarmVar主效應等估計的精度主效應等估計的精度:212231: ;92:, ;91: mcbakji第32頁/

15、共92頁331111222233334444511913438024428,;99999911913410742464176,;99999911913406362176148,;99999911967 4742932148,;99999911967 410362586,99999yeyyyeyyyeyyyeyyy 555666677778888999928;911967 406380212176,;99999911980 4362319176,;99999911980 410380751418,;99999911980 406742118728,;999999eyyyeyyyeyyyeyyye

16、yy 擬合擬合與與殘差殘差: :321119 80 410380751 99999yabc 最優水平組合的估計最優水平組合的估計 第33頁/共92頁34試驗點分布的幾何解釋試驗點分布的幾何解釋第34頁/共92頁351987.56ETABCSSSSSSSSSS3222213222213()3(13.67 13.22)( 32.33 13.22)(58.33 13.22) 12331.563()3( 29 13.22)(95.67 13.22)( 27 13.22) 30592.89BBiiCCiiSSmySSmy 922221322221()( 24 13.22)(32 13.22)(135 1

17、3.22)45321.563()3(14.67 13.22)(20.67 13.22)(4.33 13.22) 409.56TiAAiiSSyySSmy ANOVA: Sum of Squares第35頁/共92頁36表3.4. 溢出容量試驗的方差分析表剔除一個最不顯著的因子 A第36頁/共92頁37表3.5.剔除A 后溢出容量試驗的方差分析表結論：因素B，C都顯著。與直觀分析法的結論一致第37頁/共92頁38 由于因素A是定性數據，因此需要引進兩個偽變量：11221,AA ;0,.1,AA ;0,.zz若 屬于其它若 屬于其它試驗結果的回歸分析試驗結果的回歸分析 = 0 + 11 z1 +

18、12 z2 + 2 B + 3 C,則一次擬合模型為：第38頁/共92頁39 一次模型 = 132.667+ 10.333 z1+ 16.333 z2 + 1.117 B + 0.200C, 系數的 t 檢驗，p值都大于 0.05第39頁/共92頁40 二次中心化模型 =0 + 11 z1 + 12 z2 + 2 (B-120) + 3 (C-15) +11 (B-120)2 + 22 (B-120)(C-15) +33 (C-15)2, 用逐步回歸可得 = 50.111 - 4.947 (B 120)2 +0.171(C 15)2, （R2 = 0.939）, 第40頁/共92頁41第41頁

19、/共92頁423.3 3.3 有交互作用的正交設計例例3.23.2某化工廠生產一種化工產品，影響采收率的4個主要因子如下。 催化劑種類催化劑種類(A): 1, 2 反應時間反應時間(B): 1.5h, 2.5h 反應反應溫度溫度(C): 80oC, 90oC 加堿量加堿量 (D): 5%, 7%. 根據經驗，認為可能存在交互作用AB 和AC。現希望通過正交試驗設計，找出好的因子水平搭配，以提高采收率。第42頁/共92頁43No1234567111111112111-1-1-1-131-1-111-1-141-1-1-1-1115-11-11-11-16-11-1-11-117-1-111-1-

20、118-1-11-111-11234567列.325476116745276543123432516L8(27)L L1818(2(27 7) )的交互作用列的交互作用列 列號列號1234567D主效應和交互效應主效應和交互效應A x BC x DA x CB x DB x CA x DABC正交表設計正交表設計第43頁/共92頁44如果上述四個主效應和六個交互效應都重要,則L8(27)之設計產生混雜。若已知 A x B, A x C, 可能顯著，其余交互效應可忽略,則有: 第44頁/共92頁45第45頁/共92頁46重要次要D A AxC C B AxB 直觀分析直觀分析第46頁/共92頁4

21、7方差分析方差分析AB，B 不顯著，納入隨機誤差重新計算其余因子的 P 值第47頁/共92頁48D，A，A C 的 p 值小于0.01，顯著C 有些也認為顯著第48頁/共92頁49最佳的水平組合為由表 3.11可取 A2B2C1D1 ，正好是第7 號試驗21211BD A C.B判斷最佳水平組合判斷最佳水平組合從表3.11 中它們的二個水平的平均響應值(m1 和m2) 可知，D 因子應取D1 水平第49頁/共92頁50本節小結 : 1.試驗目的 2.決定因素、水平 3.選正交表 )(5L :level 5 )(4L :level 4)(3L),3(2L),(3L:level 3),.(2L),

22、(2L),(2L),(2L:level 2625516132771849151611127834 4.數據分析:(a) 直觀分析 (b) 方差分析 (c) 回歸建模 第50頁/共92頁51補充：多目標試驗補充：多目標試驗例例. 在一個橡膠試驗中考慮如下四個因素，及水平 ：第51頁/共92頁52表: 橡膠試驗 結果和分析其中有 3 個響應. 結果希望靈活性和運動時間越長越好，而耐久性越短越好.第52頁/共92頁533,1141,41142,31,313,41( .) ( .) (.) iAB D MiiD AB MiiiAB MD1113 A B D M表: 橡膠試驗 結果和分析第53頁/共92

23、頁54第54頁/共92頁55表: 對三個響應排序，計算秩和（從小到大）第55頁/共92頁56FactorsABDMT1144144125.5125.5124124102102T27070808094.594.595.595.5T311911994.594.59494111111T4757510810895.595.599.599.5m1363631.37531.375313125.525.5m217.517.5202023.62523.62523.87523.875m329.7529.7523.62523.62523.523.527.7527.75m418.7518.75272723.8752

24、3.87524.87524.875R18.518.511.37511.3757.57.53.8753.875表: 四因素的秩和秩和A1B1D1M3 與前面的結果一致.第56頁/共92頁57表: 四因素的秩和另一種算法（分區間）秩和另一種算法（分區間）第57頁/共92頁58FactorsABDMT17878676768685353T23434414145454848T35959474750505656T43838545446465252m119.519.516.7516.75171713.2513.25m28.58.510.2510.2511.2511.251212m314.7514.7511.

25、7511.7512.512.51414m49.59.513.513.511.511.51313R11116.56.55.755.752 2表: 秩和A1B1D1M3 與前面的結果一致.第58頁/共92頁593.4 3.4 水平數不等的試驗設計431229812161636437161618 4 2,23 ,4 2,42,42,42,2 3,LLLLLLL:混合水平正交表第59頁/共92頁60例例3.3. 某鋼廠生產一種合金，為降低合金的硬度需要進行退火熱處理，希望通過試驗尋找合理的退火工藝參數，以降低硬度。現考察如下因子與水平：第60頁/共92頁61表3.15. 合金硬度試驗的方案、結果和分析

26、第61頁/共92頁62從圖形得到最佳水平：A2B2C1圖3.2. 硬度指標與三因子的關系圖第62頁/共92頁63折算系數表:AAABBBCCCRr R0.4520.6 0.450.382Rr R0.714 1.15 0.71 1.633Rr R0.7140.3 0.710.426主次 B C A第63頁/共92頁64方差分析表剔除不顯著的因子，再重新作方差分析第64頁/共92頁65方差分析表 對因子C，顯然取C1 = 空氣比C2 = 水節省成本， 對因子A，退火溫度越低應該越節省成本，但也不能盲目地取低水平。 與前面直觀分析法得到的結果綜合起來考慮，建議取A2B2C1 為最佳水平組合，并在該水

27、平組合下追加試驗以驗證其是否為最優。第65頁/共92頁66擬水平法擬水平法：例例3.4. 如果在例3.1 的試驗中還要考慮碳酸飲料中二氧化碳含量(D) 這個因子對溢出容量的影響，而二氧化碳含量只有D1 = 0.5 和D2 =0.6(g/100mL) 兩種，這時如果直接用混合水平正交表就要用L18(2137)，需要做18 次試驗。可用L9(34)第66頁/共92頁673.5 3.5 用正交表進行設計的原則 正交表的自由度為試驗次數減一； 正交表中各列的自由度為該列的水平數減一； 各因子的自由度為該因子的水平數減一； 各交互作用的自由度為該交互作用中各因子對應的自由度的乘積；遵循自由度原則遵循自由

28、度原則第67頁/共92頁68例如： 因子的自由度應等于所在列的自由度； 交互作用的自由度應等于所在列的自由度或其之和； 所有因子與交互作用的自由度之和不能超過所選正交表的自由度。4713918273,3,3,LLL第68頁/共92頁69 混雜現象：一列上出現的因子和交互作用不止一個避免混雜現象避免混雜現象例例3.5. 在降低柴油機耗油率的研究中，根據專業技術人員的分析，影響耗油率(g/kWh) 的4 個主要因子和水平為：第69頁/共92頁70 用正交表L8(27) 及相應的交互作用表 (表3.7 和3.8)：若已知 D 和其它三個因子沒有交互作用，即交互作用A D，B D，C D 為零，故設計

29、實際上成為第70頁/共92頁71第71頁/共92頁72水平選取C 是最主要的，C 列的 m2 比 m1 小，于是因子C 取水平C2A 對響應的影響也很大，A 列 m2 比 m1 小，于是因子A 取水平A2BC 對耗油率的影響居第三位 因子D 取水平D1B2C2最佳水平組合A2B2C2D1，需要追加驗證試驗第72頁/共92頁73分辨度 分辨度III 設計：在假定二階和二階以上交互作用可忽略的情況下，主效應之間沒有混雜，但至少有一個主效應與某個二階交互作用混雜； 分辨度IV 設計：在假定三階和三階以上交互作用可忽略情況下，主效應之間，主效應和二階交互作用沒有混雜，但至少有一個主效應與某個三階交互作

30、用混雜； 分辨度V 設計：在假定三階和三階以上交互作用可忽略情況下，主效應之間，主效應和二階交互作用之間，以及任兩對二階交互作用沒有混雜。第73頁/共92頁74例 3.5 (續)第一個是分辨度IV 的設計，而第二個為分辨度III 的設計。當試驗者對模型不十分清楚時，通常取分辨度級別高的設計，因此常推薦第一個試驗方案。第74頁/共92頁75利用正交表消除利用正交表消除 / / 減輕系統誤差減輕系統誤差若例 3.1 中試驗分別由 (甲，乙，丙) 三人操作，第75頁/共92頁763.6 3.6 正交設計的優良性準則 按照小節介紹的效應稀疏原則和有序原則，我們應采用設計I，以保證主效應的估計例3.5

31、的試驗中有4 個因子，選用L8(27)：第76頁/共92頁77 將設計進行分類； 給出比較不同設計的準則。通過上述討論可知，從一個正交表Ln(qm) 中取出 s 列組成的 個設計可能有不同的效果，于是提出了下面急需解決的問題:ms第77頁/共92頁78設某試驗中有 5 個二水平因素, A, B, C, D, E. 若選用 L8(27)， 增加一列 I 如下： NoIABDC56E11111111121111-1-1-1-1311-1-111-1-1411-1-1-1-11151-11-11-11-161-11-1-11-1171-1-111-1-1181-1-11-111-1由點乘可知, I=

32、ABD=BCE=ACDE 最大分辨度與最小低級混雜最大分辨度與最小低級混雜第78頁/共92頁79應用點乘，我們有如下結論: 除了單位列 I, 每一列有相同的正數與負數; 任意兩列的點乘之和都為 0; 單位列 I 點乘任何一列都不改變結果; 任意 2 列點乘的結果為表中某一列 對任何一列 A, A2=I, AI=A第79頁/共92頁8025-2設計的兩種表示第80頁/共92頁81某些記號某些記號: 字母: A, B, 字: AB, BC, ABD, 字長: 字中字母的個數 生成字: 字中字母點乘為 I 定義關系: I = ABD = BCE 定義對照子群: I, ABD, BCE, ACDE第8

33、1頁/共92頁82混雜混雜我們記 1, 2, 3, 4, 5 代替 A, B, C, D, E I = 124 = 235= 1345則我們有1 = 24 = 1235 = 3452 = 14 = 35 = 123453 = 1234 =25 = 1454 = 12 = 2345 = 1355 = 1245 = 23 = 13413 = 234 = 125 = 4515 = 245 = 123 = 34主效應 A, 交互效應 BD, ABCE 和 CDE 都是混雜的(3.5)第82頁/共92頁83字長型字長型: 記 Ai(D) 表示設計D 的生成字中字長為 i 的字的 個數. 稱W(D) =

34、(A1(D), , As (D) 為設計 D 的字長型 (word-length pattern). 分辨度分辨度： 字長型中所有字的最小字長，即 若Ai(D) = 0, i 0, 則 D 的分辨度為 t。例如, 由(3.5) 式，設計D0 的字長型為W(D0) = (0, 0, 2, 1, 0),第83頁/共92頁84例例:o23-1 (I = 123)，分辨度為 III， w = ( 0, 0, 1 )o24-1 (I = 1234)，分辨度為 IV，w = ( 0, 0, 0,1 )o25-2 (I = 124 = 134 (=2345),分辨度為 III，w = ( 0, 0, 2, 1,0 )最大分辨度最大分辨度:稱一個 qs-k FFD 有最大分辨度，如果不存在比 D 有更大分辨度的qsk 設計。第84頁/共92頁85例求上面兩個設計的字長型和分辨度.設有兩個設計的混雜情況如下：第85頁/共