1、 高二數(shù)學(xué)橢圓試題 一：選擇題 1. 已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是（ ） A m2或m1 B m2 C 1m2 D m2或2m1 解：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上 m22+m，即m22m0 解得m2或m1 又2+m0 m2 m的取值范圍：m2或2m1 故選D 2. 已知橢圓，長(zhǎng)軸在y軸上、若焦距為4，則m等于（ ） A 4 B 5 C 7 D 8 解：將橢圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為， 顯然m210m，即m6， ，解得m=8 故選D 3橢圓（1m）x2my2=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是（ ） A B C D 解：由橢圓（1m）x2my2=1，化成標(biāo)準(zhǔn)方程： 由于 ， 橢圓（1m）x2my2=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)

2、是 2a=2 = 故選B 4已知點(diǎn)F1、F2 分別是橢圓 +=1（k1）的左、右焦點(diǎn)，弦AB過(guò)點(diǎn)F1，若ABF2的周長(zhǎng)為8，則橢圓的離心率為（ ） A B C D 解：由橢圓定義有4a=8 a=2，所以k+2=a2=4 k=2 從而b2=k+1=3，c2=a2b2=1 ，所以， 故選A 5已知ABC的周長(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)B （0，4），C （0，4），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（ ） A（x0） B （x0） C （x0） D （x0） 解：ABC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)B （0，4），C （0，4）， BC=8，AB+AC=208=12， 128 點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值， 點(diǎn)A的軌跡是橢圓， a

3、=6，c=4 b2=20， 橢圓的方程是 故選B 6 方程=10，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） A B C D 解：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得： 表示點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)F1（2，0 ）的距離，表示點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)F2（2，0）的距離， 所以原等式化簡(jiǎn)為|PF1|+|PF2|=10， 因?yàn)閨F1F2|=210， 所以由橢圓的定義可得：點(diǎn)P的軌跡是橢圓，并且a=5，c=2， 所以b2=21 所以橢圓的方程為： 故選D 7設(shè) 是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且，則方程x2siny2cos=1表示的曲線是（ ） A 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 B 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 C 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 D 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 解：因?yàn)椋?

4、，），且 sin+cos=，所以，（ ，）， 且|sin|cos|，所以（ ，），從而cos0， 從而x2siny2cos=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 故選 D 8.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ） A B C D 解：設(shè)點(diǎn)P在x 軸上方，坐標(biāo)為， F1PF2為等腰直角三角形 |PF2|=|F1F2| ，即 ，即 故橢圓的離心率 e= 故選D 9. 從橢圓上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且ABOP（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率是（ ） A

5、 B C D 解：依題意，設(shè)P（c，y0）（y00）， 則 +=1， y0 =， P（c ，）， 又A（a，0），B（0，b），ABOP， kAB=kOP ，即 = =， b=c 設(shè)該橢圓的離心率為e，則e2 = = = =， 橢圓的離心率 e= 故選C 10.若點(diǎn)O和點(diǎn)F 分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P 為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ） A 2 B 3 C 6 D 8 解：由題意，F(xiàn)（1，0），設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）， 則有， 解得， 因?yàn)?， 所以 = =， 此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為x0=2， 因?yàn)?x02，所以當(dāng)x0=2 時(shí)， 取得最大值， 故選C 11.如圖，點(diǎn)F 為橢圓=

6、1（ab0）的一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（ ） A B C D 解：設(shè)線段PF的中點(diǎn)為M，另一個(gè)焦點(diǎn)F，由題意知，OM=b，又OM是FPF的中位線， OM=PF=b，PF=2b，由橢圓的定義知 PF=2aPF=2a2b， 又 MF= PF=（2a2b）=ab，又OF=c， 直角三角形OMF中，由勾股定理得：（ab）2+b2=c2，又a2b2=c2， 可求得離心率 e= =，故答案選 B 12 橢圓頂點(diǎn)A（a，0），B（0，b），若右焦點(diǎn)F到直線AB的距 離等于，則橢圓的離心率e=（ ） A B C D 解：由題意可得

7、直線AB 的方程為即bx+ayab=0，F(xiàn)（c，0） F（c，0）到直線AB的距離 d= =，|AF|=ac 則 a2=3b2 a2=3a23c2 即3c2=2a2 = 故選B 13 已知橢圓 +=1（ab0）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的一點(diǎn)，且|PF1|PF2|的最大值的取值范圍是2c2，3c2，其中 c=則橢圓的離心率的取值范圍為（ ） A ， B ，1） C ，1） D ， 解：|PF1|?|PF2|的最大值=a2， 由題意知2c2a23c2， ， 故橢圓m的離心率e的取值范圍 故選A 14 在橢圓中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左右焦點(diǎn)，若|PF1|=2|PF2|，則該橢圓離心率的取值

8、范圍是（ ） A B C D 解：根據(jù)橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a，將設(shè)|PF1|=2|PF2| 代入得， 根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，|PF2|ac ，故，即a3c ，故 ，即，又e1， 故該橢圓離心率的取值范圍是 故選B 二：填空題 15.已知F1、F2是橢圓C ：（ab0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C 上一點(diǎn)，且若PF1F2的面積為9，則 b= 3 解：由題意知PF1 F2的面積=， b=3， 故答案為3 16若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是 4k7 解：+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓， k17k0 4k7 故k的取值范圍是4k7 故答案為：4k7 17.已知橢圓的焦距為2，則實(shí)數(shù)

9、t= 2，3，6 解：當(dāng)t25t0即t5時(shí)，a2=t2，b2=5t 此時(shí)c2=t25t=6 解可得，t=6或t=1（舍） 當(dāng)0t25t即0t5時(shí)，a2=5t，b2=t2 此時(shí)c2=a2b2=5tt2=6 解可得，t=2或t=3 綜上可得，t=2或t=3或t=6 故答案為：2，3，6 18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC頂點(diǎn)A（4，0）和C（4，0），頂點(diǎn)B在橢圓上，則= 解：利用橢圓定義得a+c=2×5=10b=2×4=8 由正弦定理得= 故答案為 19.在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，橢圓的焦距為2c，以O(shè)為圓心，a為半徑作圓M ，若過(guò)作圓M的兩條切線相互垂直，則橢圓的

10、離心率為 解：設(shè)切線PA、 PB互相垂直，又半徑OA垂直于PA，所以O(shè)AP是等腰直角三角形， 故， 解得， 故答案為 20.若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)（1，）做圓x2+y2=1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓的方程是 解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）則 即 m2+n2=1 m 即AB的直線方程為2x+y2=0 線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn) 2c2=0；b2=0 解得c=1，b=2 所以a2=5 故橢圓方程為 故答案為 三：解答題 21.已知F1，F(xiàn)2 為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn) （1）求|PF1|?|PF2|的最大值； （2）若F1PF2=60&#

11、176;且F1PF2 的面積為，求b的值 解：（1）P點(diǎn)在橢圓上，|PF1|+|PF2|=|2a=20， |PF1|0，|PF2|0，|PF1|?|PF2 |=100， |PF1|?|PF2|有最大值100 （2）a=10，|F1F2|=2c 設(shè)|PF1|=t1，|PF2|=t2， 則根據(jù)橢圓的定義可得：t1+t2=20， 在F1PF2中，F(xiàn)1PF2=60°， 所以根據(jù)余弦定理可得：t12+t222t1t2?cos60°=4c2， 由2得3t1?t2=4004c2， 所以由正弦定理可得： = 所以c=6， b=8 22.如圖，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C ：（ab0）的左、右焦點(diǎn)

12、，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1AF2=60° （）求橢圓C的離心率； （）已知AF1B的面積為 40，求a，b 的值 解：（）F1AF2=60°?a=2c? e= = （）設(shè)|BF2|=m，則|BF1|=2am， 在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|22|BF2|F1F2|cos120° ?（2am）2=m2+a2+am? m= AF1B面積 S=|BA|F1F2|sin60° ? =40 ?a=10， c=5， b=5 23.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦

13、點(diǎn) （1）求橢圓C的方程； （2）是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由 解：（1）依題意，可設(shè)橢圓C 的方程為（a0，b0），且可知左焦點(diǎn)為 F（2，0） ，從而有，解得c=2，a=4， 又a2=b2+c2，所以b2=12，故橢圓C 的方程為 （2）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為 y=x+t， 由得3x2+3tx+t212=0， 因?yàn)橹本€l與橢圓有公共點(diǎn)，所以有=（3t）24×3（t212）0，解得 4 t4， 另一方面，由直線OA與l的距離 4=，從而 t=±2， 由于

14、7;2? 4， 4，所以符合題意的直線l不存在 24.設(shè)F1，F(xiàn)2 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1斜率為1的直線?與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列 （1）求E的離心率； （2）設(shè)點(diǎn)P（0，1）滿足|PA|=|PB|，求E的方程 解：（I）由橢圓定義知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|， 得l的方程為y=x+c ，其中 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A、B 兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 化簡(jiǎn)的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2b2）=0 則 因?yàn)橹本€AB斜率為1 ，得，故a2=2b2 所以E 的離心率 （II）設(shè)

15、AB的中點(diǎn)為N（x0，y0），由（I） 知 ， 由|PA|=|PB|，得kPN=1， 即 得c=3 ，從而 故橢圓E 的方程為 25. 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F ，離心率為，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直 線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為 （） 求橢圓的方程； （） 設(shè)A，B分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn) 若，求k的值 解：（I ）根據(jù)橢圓方程為 過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為， =， 離心率為 ， =， 解得 b=，c=1， a= 橢圓的方程為； （II）直線CD：y=k（x+1）， 設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）， 由消去y得，（2+3k2）x2+6kx+3

16、k26=0， x1+x2= ，x1x2 =，又A （，0），B （，0）， =（x1 ，y1 ）?（x2y2）+（x2 +，y2 ）?（x1y1） =6（2+2k2）x1x22k2（x1+x2）2k2， =6+=8，解得 k= 26.設(shè)橢圓E ：，O為坐標(biāo)原點(diǎn) （）求橢圓E的方程； （）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒在兩個(gè)交點(diǎn)A，B 且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，關(guān)求|AB|的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由 解：（1）因?yàn)闄E圓E ：（a，b0） 過(guò)M（2 ，），N （，1）兩點(diǎn)， 所以 解得 所以橢圓E 的方程為 （2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓， 使得該圓的任意一條切線與橢

17、圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B， 且，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m 解方程組 得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0， 則=16k2m24（1+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0， 即8k2m2+4 0 ， 要使， 需使x1x2+y1y2=0， 即， 所以3m28k28=0 ，所以又8k2m2+40， 所以 ，所以， 即 或， 因?yàn)橹本€y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線， 所以圓的半徑為， ， ，所求的圓為， 此時(shí)圓的切線y=kx+m 都滿足 或， 而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為 與橢圓 的兩個(gè)交點(diǎn)為 或 存在圓心在原點(diǎn)的圓， 使得該圓的任意一條切線與

18、橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B ，且 因?yàn)椋?所以 ，當(dāng)k0 時(shí) 因?yàn)?所以， 所以， 所以 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=” 2當(dāng)k=0 時(shí)， 27.已知直線x2y+2=0 經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS 與直線分別交于M，N兩點(diǎn) （1）求橢圓C的方程； （2）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值； （3）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)T，使得TSB 的面積為？若存在，確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由 解：（1）由已知得，橢圓C的左頂點(diǎn)為A（2，0）， 上頂點(diǎn)為D（0，1），a=2，b=1 故橢圓C 的方程為（4分） （2）依題意，直線AS的斜率k存在，且k0，故可設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2）， 從而 ，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k24=0 設(shè)S（x1，y1） ，則 得 ，從而 即，（6分） 又B（2，0 ）由 得， ，（8分） 故 又k0， 當(dāng)且僅當(dāng)， 即時(shí)等號(hào)成立 時(shí)，線段MN 的長(zhǎng)度取最小值（10分