1、二面角教師版一、 基本觀點(一).求二面角的主要方法：（1） 定義法：找（作）二面角的平面角；【先證】解三角形求出角。 【后算】（2） 公式法：設二面角的度數為，則多用于求無棱二面角。(二) 求作二面角的平面角求作二面的平面角是解決二面角問題的關鍵，也是難點，通過前面教學及習題涉及到的作法有下面三種：1.定義法：利用二面角的平面角定義，在二面角棱上取一點，過該點在兩個半平面內作垂直于棱的射線、兩射線所成角就是二面角的平面角.2.三垂線法：利用三垂線定理及逆定理通過證明線線垂直，找到二面角的平面角，關鍵在找面的垂線.3.垂面法：作一與棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的

2、角為二面角的平面角. 二.求二面角的大小的基本方法為先證后算,即先由有關立幾結論找出二面角的平面角(大多數題是用三垂線法去找),然后借助于解三角形求出平面角.例題解析 1: 設P是二面角l內一點，P到面、的距離PA、PB分別為8和5，且AB7，求這個二面角的大小。解：作ACl于c，連結BCPA，l PAl又ACl，ACPAAl平面PAC lPCPB，l PBl 又PBPCP l平面PBC平面PAC與平面PBC重合，且lBCACB就是所求的二面角PAB中，PA8，PB5，AB7 P600ACB1200 2. 在三棱錐SABC中，SAB=SAC=ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5

3、.（如圖921）（）證明：SCBC；（）求側面SBC與底面ABC所成二面角的大小；（）證明：SAB=SAC=90°， SAAB，SAAC.又ABAC=A， SA平面ABC.由于ACB=90°，即BCAC， 由三垂線定理，得SCBC.（）解：BCAC，SCBCSCA是側面SCB與底面ABC所成二面角的平面角.在RtSCB中，BC=5，SB=5. 得SC=10在RtSAC中AC=5，SC=10，cosSCA=SCA=60°，即側面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°. 3.如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M

4、是線段EF的中點。（1）求證AM/平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60°。解: ()記AC與BD的交點為O,連接OE, O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，四邊形AOEM是平行四邊形，AMOE。平面BDE， 平面BDE，AM平面BDE。()在平面AFD中過A作ASDF于S，連結BS，ABAF， ABAD， AB平面ADF，AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BSDF。BSA是二面角ADFB的平面角。在RtASB中，二面角ADFB的大小為60º。（）設CP=t（0t2）,作PQAB于Q，

5、則PQAD，PQAB，PQAF，PQ平面ABF，平面ABF，PQQF。在RtPQF中，FPQ=60º，PF=2PQ。PAQ為等腰直角三角形，又PAF為直角三角形，所以t=1或t=3(舍去)即點P是AC的中點。 4.如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=，M為棱A1A上的點，若A1C平面MB1D1。 （）確定點M的位置； （）求二面角D1MB1B的大小。 解：（）連結A1D，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側面ADD1A1為矩形，A1C平面MB1D1，A1CD1M， 因此A1C在平面AD1上的射影A1DD1M，A1MD1D1A1D， A1M=因此M是A

6、1A的中點。（）引A1EB1M于E，連結D1E，則A1E是D1E在平面BA1上的射影，由三垂線定理可知D1EB1M， A1ED1是二面角D1MB1B的平面角的補角，由（）知，A1M=，則 二面角D1MB1B等于 5. 如圖所示，和都是等腰直角三角形，且它們所在的平面互相垂直， （I）求異面直線AD、BC所成的角。 （II）設P是線段AB上的動點，問P、B兩點間的距離多少時,與所在平面成的二面角?； 解：（I） 異面直線AD、BC所成角為。4分 （II）過點P作于E，過點E作于F，連結PF。 。 設，則在中， 在中，CDEAB 在中， 6.四棱錐中，底面為矩形，側面底面，（）證明：；（）設與平面

7、所成的角為，求二面角的大小的余弦值解：（1）取中點，連接交于點，18題圖又面面，面，即，面，（2）在面內過點作的垂線，垂足為，面，則即為所求二面角的平面角，則， 7: 如圖，在四棱錐PABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，BAD=60°，N是PB中點，截面DAN交PC于M.線面角（）求PB與平面ABCD所成角的大小；（）求證：PB平面ADMN；三垂線定理的應用（）求以AD為棱，PAD與ADMN為面的二面角的大小.解：（I）取AD中點O，連結PO，BO.PAD是正三角形，所以POAD，又因為平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD，B

8、O為PB在平面ABCD上的射影，所以PBO為PB與平面ABCD所成的角由已知ABD為等邊三角形，所以PO=BO=，所以PB與平面ABCD所成的角為45°. （）ABD是正三角形，所以ADBO，所以ADPB，又，PA=AB=2，N為PB中點，所以ANPB，所以PB平面ADMN. （）連結ON，因為PB平面ADMN，所以ON為PO在平面ADMN上的射影，因為ADPO，所以ADNO，故PON為所求二面角的平面角.因為POB為等腰直角三角形，N為斜邊中點，所以PON=45°，即所求二面角的大小為45° 8.如圖：在二面角中，、，、，為矩形，且，、依次是、的中點，求二面角的

9、大小.解：連結PDABCD為矩形ADDC, 即 又PA,PD,PAD為二面角的平面角，又PAAD，PA=ADPAD是等腰直角三角形，PDA=450，即二面角的平面角為450。9. 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AD上移動. （1）證明：D1EA1D； （2）AE等于何值時，二面角D1ECD的大小為.20解法（一）（1）證明：AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）過D作DHCE于H，連D1H、DE，則D1HCE， DHD1為二面角D1ECD的平面角.設AE=x，則BE=2xDE=1 在三角形DEC中利用面積相等來表示三垂線法：10

10、.如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長為a，側棱長為a，若經過AB1且與BC1平行的平面交上底面于DB1（1）試確定點D的位置，并證明你的結論；（2）求二面角A1AB1D的大小解：（1）D為A1C1的中點（D也可以是A1B1C1的邊A1C1中線上任一點）連結A1B與AB1交于E，則E為A1B的中點，DE為平面ABB1A1D與平面A1BC1的交線，BC1平面AB1D，BC1DE，D為A1C1的中點（2）過D作DFA1B1于F，由正三棱柱的性質，AA1DF，DF平面ABB1A1，連結EF，DE，在正三角形A1B1C1中，D是A1C1的中點，B1DA1B1a，又在直角三角形AA1D中，ADa

11、，ADB1DDEAB1，可得EFAB1，則DEF為二面角A1AB1D的平面角（10分）可求得DFa，B1FEB1AA1，得EFa，DEF，即為所求11.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐ABCD中，°，面ABCD，SAAB，求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值解：延長BA、CD相交于點E，連結SE，則SE是所求二面角的棱 6分，面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交線.又，面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，CS，所以是所求二面角的平面角 10分即所求二面角的正切值為 12. 已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，點E是SC上任意一點.（）求證：平面

12、EBD平面SAC；點到平面的距離用等體積法（）設SA=4，AB=2，求點A到平面SBD的距離；（）當的值為多少時，二面角B-SC-D的大小為120°。（點到直線的距離，B到SC的距離，在三角形SBC中利用面積等計算，再根據BD與BM的等量關系列等式）解法一：證明（）：ABCD是正方形，BDAC, SA底面ABCD，BDÌ面ABCD，SABD，SAÇAC=A，BD面SAC，又BDÌ面EBD，平面EBD平面SAC4分解（）：由（）知，BD面SAC，又BDÌ面SBD，平面SBD平面SAC，設ACBD=O，則平面SBD平面SAC=SO，過A作AFSO交

13、SO于點F,則AF面SBD，所以線段AF的長就是點A到平面SBD的距離.ABCD是正方形，AB=2，AO=，又SA=4，SAO是Rt，SO=，SO×AF=SA×AO，AF=，點A到平面SBD的距離為13. 如圖，在四棱錐中，側面底面ABCD，PA=PD=2，底面ABCD是直角梯形，其中，（）求直線PC與平面PAD所成的角；（）求二面角A-PB-C的大小。I）取AD中點O，連結OP、OC，又OC=AB=，CPO=45°，即直線PC與平面PAD所成的角為45°。6分 （II）由（I）知，OPAD，則OP平面ABCD，又BCOC，ABOA，BCPC，ABPA，

14、BC=AB，PB=PB，RtPCBPAB。作CEPB，垂足為E，連結AE，則AEPB，AEC為二面角APBC的平面角。9分在RtPCB中，故二面角APBC的大小為120°。12分14. 已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,ABDC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中點.（）證明：面PAD面PCD；（）求AC與PB所成角的余弦值；（）求面AMC與面BMC所成二面角的余弦.(等體積法求點B到ACM的距離，利用解三角形求出B到CM的距離）本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關知識及思維能力和空間想象能力.考查應用向量知識解決數學問題的能力.滿分12分

15、.方案一：（）證明：PA面ABCD,CDAD,得：CDPD.因而,CD與面PAD內兩條相交直線AD,PD都垂直,CD面PAD.又CD面PCD,面PAD面PCD.（）解：過點B作BE/CA,且BE=CA,則PBE是AC與PB所成的角.連結AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2,所以四邊形ACBE為正方形. 由PA面ABCD得PEB=90°在RtPEB中BE=,PB=, （）解：作ANCM,垂足為N,連結BN.在RtPAB中,AM=MB,又AC=CB,AMCBMC,BNCM,故ANB為所求二面角的平面角.CBAC,得CBPC,在RtPCB中,CM=MB,所以CM=AM.在等腰三角

16、形AMC中,AN·MC=,. AB=2,故所求的二面角的余弦值為15. 如圖, 已知在三棱柱中，三個側棱都是矩形，點為的中點 ， () 求證;() 求證;() 求異面直線與所成角的余弦值（圖形的補全法） 16如圖，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成600的二面角，求直線BD與平面ABEF所成角的正弦值。AFEBDC ABCDA1D1C1B117如圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1與面ABCD所成角的大小；（2）二面角C1BDC的正切值（3）二面角（射影法）18過正方形ABCD的頂點A作PA平面ABCD，設PA=AB=a，(1)求二面角

17、的大小;(2)求二面角C-PD-A三垂線定理，點到平面的距離是關鍵19. 如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA.(1) 證明： BE平面PAB；(2) 求二面角ABEP的大小（3）PB與面PAC的角（等體積法求點到平面的距離） 20 如圖,在底面為直角梯形的四棱錐,BC=6 (1) 求證:(2) 求二面角的大小.（3）求二面角B-PC-A的大小21如圖，直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF平面ACE.（）求證AE平面BCE；（）求二面角BACE的大小；（三垂線

18、定理）（）求點D到平面ACE的距離.（等體積法）ABCDP 22.如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知，（）證明平面；（）求異面直線與所成的角的大小； （）求二面角的正切值 25如圖三棱錐 P-ABC中，PC平面ABC，PC = ，D是 BC的中點，且ADC是邊長為 2的正三角形，求二面角 P-ABC的大小。DPCAB解：由已知條件，D是BC的中點 CD =BD =2 又ADC是正三角形 AD =CD =BD =2 D是ABC之外心又在BC上 ABC是以BAC為直角的三角形， ABAC， 又 PC面ABC PAAB (三垂線定理) PAC即為二面角 P-AB-C之平面角， 易求 PAC =30&#

19、176;26.如圖在三棱錐 S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE 垂直平分SC，且分別交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD為棱，BDE與BDC為面的二面角的度數。（距離法球二面角）EDBASC解： BS =BC，又DE垂直平分SC BESC，SC面BDE BDSC，又SA面ABC SABD，BD面SAC BDDE，且BDDC 則 EDC就是所要求的平面角 設 SA =AB =a， 則 BC =SB =a 且 AC = 易證 SACDEC CDE =SAC =60°27. 如圖：ABCD是矩形，AB =8，BC =4，AC 與 BD 相交于O點，P是

20、平面 ABCD外一點，PO面ABCD，PO =4，M 是 PC 的中點，求二面角 M-BD-C 大小。解：取OC之中點N，則 MNPOSRNMOBDPAC PO面ABCD MN面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 過 N 作 NRBD 于 R，連MR， 則 MRN即為二面角 M-BD-C的平面角過 C 作 CEBD于S DBAEC 28.如圖ABC與BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，ABC =DBC =，求二面角 A-BD-C的余弦值。解：過 A作 AECB的延長線于E， 連結 DE， 面ABC面BCD AE面BCD E點即為點A在面BCD內的射影 EBD為ABD在面BCD內的射

21、影 設 AB =a 則AE =DE =ABsin60°= AD = ， sinABD = 又 考慮到我們求的是二面角 A-BD-E，而二面角 A-BD-C與A-BD-C互補 二面角 A-BD-C的余弦值為。 29已知正方體 AC'，M、N分別是BB'，DD'的中點，求截面 AMC'N與面ABCD，CC'D'D所成的角。DBDACBACMN由于AMC'N在面ABCD上的射影即 則平行四邊形DM'C'N是四邊形AMC'N在CC'D'D上的射影， 30.如圖 AC面BCD，BD面ACD，若AC

22、=CD =1，ABC =30°，求二面角的大小。（等體積法求點D到ABC的距離）BFEACD解：作DFAB于F，CEAB于E， 在RtABC中， ， 同理 即所求角的大小為。31 三棱錐 A-BCD中，BAC =BCD =90°，DBC =30°，AB =AC =，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度數。DOABC解：由已知條件BAC =90°，AB =AC， 設BC的中點設為O，則OA =OC =BC = 解之得： 32. 如圖，四面體ABCD的棱BD長為2，其余各棱的長均是，求：二面角ABDC、ABCD、BACD的大小.解析：(1)取BD的中點O

23、，連AO、OC.在ABD中，ABAD，BD2，ABD是等腰直角三角形，AOBD，同理OCBD.AOC是二面角ABDC的平面角又AOOC1，AC，AOC90°.即二面角ABDC為直二面角.(2)二面角ABDC是直二面角，AOBD，AO平面BCD.ABC在平面BCD內的射影是BOC.SOCB,SABC,cos.即二面角ABCD的大小是arccos.(3)取AC的中點E，連BE、DE.ABBC，ADDC，BDAC，DEAC，BED就是二面角的平面角.在BDE中，BEDE，由余弦定理，得cos-二面角BACD的大小是-arccos.33. 如圖所示，四棱錐PABCD的底面是邊長為a的菱形，A

24、60°，PC平面ABCD，PCa,E是PA的中點.(1)求證平面BDE平面ABCD.(2)求點E到平面PBC的距離.(3)求二面角AEBD的平面角大小.解析：(1)設O是AC，BD的交點，連結EO.ABCD是菱形，O是AC、BD的中點，E是PA的中點，EOPC，又PC平面ABCD，EO平面ABCD，EO平面BDE，平面BDE平面ABCD.(2)EOPC，PC平面PBC，EO平面PBC，于是點O到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離.作OFBC于F，EO平面ABCD，EOPC，PC平面PBC，平面PBC平面ABCD，于是OF平面PBC，OF的長等于O到平面PBC的距離.由條件可知，

25、OB,OF×a，則點E到平面PBC的距離為a.(3)過O作OGEB于G，連接AG OEAC，BDAC AC平面BDEAGEB(三垂線定理) AGO是二面角AEBD的平面角OEPCa,OBa EBa.OGa 又AOa.tanAGOAGOarctan.34. 如圖，已知正方體ABCD的棱長為1，E、F分別在棱AB、BC上，G在對角線BD1上，且AE，BF，D1GGB12，求平面EFG與底面ABCD所成的二面角的大小.解析：設G在底面ABCD上的射影為H，HBD，GH作HMEF于M，連GM，由三垂線定理知GMEF，則GMH就是平面BFG與底面ABCD所成的二面角的平面角，tan.下面求HM

26、的值.建立如圖所示的直角坐標系，據題設可知.H(，)、E(，0)、F(1，)直線EF的方程為，即 4x-6y-10.由點到直線的距離公式可得HM，tg·，arctg.說明 運用解析法來求HM的值是本例的巧妙所在.35. 如圖，設ABCA1B1C1是直三棱柱，E、F分別為AB、A1B1的中點，且AB2AA12a,ACBCa.(1)求證：AFA1C(2)求二面角CAFB的大小分析 本小題考查空間幾何垂直的概念和二面角的度量等知識.解 (1)ACBC，E為AB中點，CEAB又ABCA1B1C1為直棱柱，CE面AA1BB連結EF，由于AB2AA1AA1FE為正方形AFA1E，從而AFA1C(

27、2)設AF與A1E交于O，連結CO，由于AFA1E，知AF面CEA1COE即為二面角CAFB的平面角AB2AA12a,ACBCaCEa,OEa,tanCOE2.二面角CAFB的大小是arctan2.36如圖是長方體，AB=2，求二平面與所成二面角的大小解析：平面ABCD平面，平面與平面的交線l為過點且平行于AC的直線直線l就是二平面與所成二面角的棱又平面，過作AHl于H，連結AH則為二面角的平面角可求得因此所求角的大小為或37. 在正方體中，且，.求：平面AKM與ABCD所成角的大小解析：由于BCMK是梯形，則MK與CB相交于EA、E確定的直線為l，過C作CFl于F，連結MF，因為MC平面AB

28、CD，CFl，故MFlMFC是二面角M-l-C的平面角設正方體棱長為a，則，在ECM中，由BKCM可得，故因此所求角的大小為或38. 如圖，將邊長為a的正三角形ABC按它的高AD為折痕折成一個二面角（1）若二面角是直二面角，求的長；（2）求與平面所成的角；（3）若二面角的平面角為120°，求二面角的平面角的正切值解析：（1）若，AC=a，（2），ADDC，AD平面為與平面所成的角，在Rt中，于是（3）取的中點E，連結AE、DE，AED為二面角的平面角，在RtAED中，39如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點M在側棱上，=60°（I）證明：M在側棱的中點（II）求二面角的大小

29、。FG證（I）略 解（II）：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點作交于點，則點為AM的中點，過F點在平面ASM內作，GF交AS于G，連結AC，ADCADS，AS-AC，且M是SC的中點，AMSC， GFAM，GFAS，又為AM的中點，GF是AMS的中位線，點G是AS的中點。則即為所求二面角. ，則，又，是等邊三角形，G在中，二面角的大小為 F40（2008山東）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F分別是BC, PC的中點.（）證明：AEPD; （）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角EAFC的余弦值.分析：第1題容易發現，

30、可通過證AEAD后推出AE平面APD，使命題獲證，而第2題，則首先必須在找到最大角正切值有關的線段計算出各線段的長度之后，考慮到運用在二面角的棱AF上找到可計算二面角的平面角的頂點S，和兩邊SE與SC，進而計算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值為）二、三垂線法三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規律。如（例2）過二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知點B作另一半平面FC1C的垂線，得垂足

31、O；再過該垂足O作棱FC1的垂線，得垂足P，連結起點與終點得斜線段PB，便形成了三垂線定理的基本構圖（斜線PB、垂線BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度數。41(2009山東卷理) 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。（1） 證明：直線EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 證（1）略E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 解（2）因為AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,BCF為正三角

32、形,取CF的中點O,則OBCF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,過O在平面CC1F內作OPC1F,垂足為P,連接BP,則OPB為二面角B-FC-C的一個平面角, 在BCF為正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值為.42（2008天津）如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知（）證明平面；（）求異面直線與所成的角的大小；（）求二面角的大小分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD平面PAB后，容易發現平面PAB平面ABCD，點P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一個

33、點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂ABCEDP線定理中的斜線與射影內容，從而可得本解法。（答案：二面角的大小為）三補棱法本法是針對在解構成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決43（2008湖南）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補充完整（延長AD、BE相交于點F，連結PF.）再在完整圖形中的PF.上找一個適合的點形成二面角的平面角解之。（）證略解: （）延長AD、BE相交于點F，連結PF.ABCEDPFGH過點A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因為BAF60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中點G，連接AG.則AGPF.連結HG，由三垂線定理的逆定