1、2011屆高三數(shù)學一輪復習測試：數(shù)列本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。滿分150分。考試時間120分鐘。第卷(選擇題 共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的。)1(文)已知等差數(shù)列an中，a105，Sn為其前n項的和，則S19等于( )A80 B100 C95 D90答案 C解析 S1919a1019×595.(理)已知數(shù)列an滿足a11，a21，an1|anan1|(n2)，則該數(shù)列前2011項的和S2011等于( )A1341 B669 C1340 D1339答案 A解析 列舉數(shù)列各項為：1

2、,1,0,1,1,0，.20113×6701，S20112×67011341.2在函數(shù)yf(x)的圖象上有點列(xn，yn)，若數(shù)列xn是等差數(shù)列，數(shù)列yn是等比數(shù)列，則函數(shù)yf(x)的解析式可能為( )Af(x)2x1 Bf(x)4x2Cf(x)log3x Df(x)x答案 D解析 對于函數(shù)f(x)x上的點列(xn，yn)，有ynxn，因為xn是等差數(shù)列，所以xn1xnd，所以xn1xnd，這是一個與n無關(guān)的常數(shù)，故yn是等比數(shù)列故選D.3已知an為等差數(shù)列，bn為正項等比數(shù)列，公式q1，若a1b1，a11b11，則( )Aa6b6 Ba6>b6Ca6<b6

3、D以上都有可能答案 B解析 a6，b6，由q1得，a1a11.故a6>b6. 8163574924.(文)將n2(n3)個正整數(shù)1,2,3，n2填入n×n方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形就叫做n階幻方記f(n)為n階幻方對角線上數(shù)的和，如右表就是一個3階幻方，可知f(3)15，則f(n)( )A.n(n21) B.n2(n1)3C.n2(n21) Dn(n21)答案 A解析 本題以幻方為載體考查了數(shù)列的求和問題由已知可得f(n)(123n2)×.(理)若數(shù)列1,2cos，22cos2，23cos3，2kcosk，前2010項之和為0，則的值

4、為( )Ak±(kZ) B2k±(kZ)C2k±(kZ) D以上答案均不對答案 C解析 顯然當公比q2cos1時，不滿足題意，所以有0，所以2cos1，故2k±(kZ)故選C.5在如圖所示的程序框圖中，當輸出的T的值最大時，正整數(shù)k的值等于( )A6 B7 C6或7 D8答案 C解析 該程序框圖的實質(zhì)是輸出等比數(shù)列an64·n1的前k項的乘積Tka1a2ak，由于a71，所以T6T7且最大故選C.6(文)設Sn表示等差數(shù)列an的前n項和，已知，那么等于()A. B. C. D.答案B解析設其公差為d，a13d.(理)在等差數(shù)列an中，其前n項和

5、是Sn，若S15>0，S16<0，則在，中最大的是()A. B. C. D.答案B解析由于S1515a8>0，S168(a8a9)<0，所以可得a8>0，a9<0.這樣>0，>0，>0，<0，<0，<0，而0<S1<S2<<S8，a1>a2>>a8>0，所以在，中最大的是，故選B.7已知數(shù)列an，bn都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為a1，b1且a1b15，a1，b1N*，設cnabn(nN*)，則數(shù)列cn的前10項之和等于()A55 B70 C85 D100答案C解析an

6、a1(n1)·1a1n1，bnb1n1，則abna1bn1a1(b1n1)1n3cnn3，故數(shù)列cn為等差數(shù)列，首項是134，公差為1，前10項和為10×485.8設Sn是等差數(shù)列an的前n項和，點O(0,0)、A(l，Sl)、B(m，Sm)、C(p，Sp)(其中l(wèi)<m<p)，若向量與共線，則l、m、p之間的關(guān)系是()Ampl B2mplC2pml Dpml答案D解析依題意得(ml，SmSl)，(p，Sp)，由于與共線，所以有(ml)Spp(SmSl)，再設等差數(shù)列an的公差為d，代入整理可得pml，故選D.9在ABC中，是角A、B、C成等差數(shù)列的()A充分非必

7、要條件B充要條件C必要非充分條件D既不充分也不必要條件答案A解析2sinAsinCsin2A2cosAcosCcos2A2cos(AC)10cosBBAC2BA、B、C成等差數(shù)列但當A、B、C成等差數(shù)列時，不一定成立，如A、B、C.故是充分非必要條件故選A.10已知0<a<b<c且a、b、c成等比數(shù)列，n為大于1的整數(shù)，那么logan，logbn，logcn是()A成等比數(shù)列B成等差數(shù)列C即是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D即不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列答案D解析方法1：可用特殊值法令a2，b4，c8，n2，即可得出答案D正確方法2：a、b、c成等比數(shù)列，可設baq，caq2.(q>

8、;1，a>0)則：logbnlog(aq)n，logcnlog(aq2)n，可驗證，logan，logbn，logcn既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列故選D.11某地區(qū)的農(nóng)民收入由工資性收入和其他收入兩部分構(gòu)成.2004年該地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元，其他收入為1350元)，預計該地區(qū)自2005年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其他收入每年增加160元根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2009年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于()A4200元4400元 B4400元4600元C4600元4800元 D4800元5000元答案B解析到2009年農(nóng)民的工資性收入變?yōu)?80

9、0(16%)52409(元)，其他收入變?yōu)?3505×1602150(元)，故2009年收入為4559(元)12設f1(x)，fn1(x)f1fn(x)，且an，則a2011等于()A.2009 B.2010C.2011 D.2012答案D解析fn1(x)f1fn(x)，fn1(0)f1fn(0)，又f1(0)2，f2(0)，f3(0)，又an，a1，a2，a3，結(jié)合選項可知，an是首項為，公比為的等比數(shù)列，a2011·20102012.點評嚴格推證過程如下：····.第卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，

10、共16分，把正確答案填在題中橫線上)13(文)有1200根相同的鋼管，把它們堆放成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為_答案24解析由1200，nN，得n48，120024.(理)已知a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，則，的倒數(shù)成_數(shù)列答案等差解析因為a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，即2acb(ac)，又222222，所以，的倒數(shù)成等差數(shù)列故填等差點評可取特值探索，如a1，b，c.14在等比數(shù)列an中，an>0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3與a5的等比中項為2，bnlog2an，數(shù)列bn的前n項和為Sn，則當最大時，n的值等于_答案8或9

11、解析a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25，又an>0，a3a55，又q(0,1)，a3>a5，又a3·a54，a34，a51，q，a116，an16×n125n，bnlog2an5n，bn1bn1，bn是以b14為首項，1為公差的等差數(shù)列，Sn，當n8時，>0；當n9時，0；當n>9時，<0，當n8或9時，最大15(文)已知，且sin，sin2，sin4成等比數(shù)列，則的值為_答案解析由題意，sin22sin·sin4，sin222sin·sin2·cos2，即sin22sin·cos2，2s

12、incos2sin·cos2，即coscos2，2cos21cos.(2cos1)(cos1)0.cos，.(理)某資料室使用計算機進行編碼，如下表所示，編碼以一定規(guī)則排列，且從左到右以及從上到下都是無限延伸的，則此表中主對角線上的數(shù)構(gòu)成的數(shù)列1,2,5,10,17，的通項公式為_.11111112345613579111471013161591317211611162126答案ann22n2，nN*解析由編碼可得，第m行是首項為1，公差為m1的等差數(shù)列，則第m行的第n個數(shù)為1(n1)·(m1)，令mn，則有an1(n1)·(n1)n22n2，nN*.故填ann2

13、2n2，nN*.16正整數(shù)集合Ak的最小元素為1，最大元素為2011，并且各元素可以從小到大排成一個公差為k的等差數(shù)列，則并集A10A15中的元素個數(shù)為_答案269解析設集合Ak中的元素個數(shù)為xk，則20111(xk1)·k，xk1，x10202，x15135，x3068，故A10A15中的元素個數(shù)為x10x15x30269.三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本小題滿分12分)數(shù)列an中，a12，an1ancn(c是常數(shù)，n1,2,3，)，且a1，a2，a3成公比不為1的等比數(shù)列(1)求c的值；(2)求an的通項公式解析(1)a12

14、，a22c，a323c，a1、a2、a3成等比數(shù)列，(2c)22(23c)，解得c0或c2.當c0時，a1a2a3，不符合題意舍去，故c2.(2)當n2時，a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，ana112(n1)cc.又a12，c2，故ann2n2(n2,3，)當n1時，上式也成立，ann2n2(n1,2，)18(本小題滿分12分)(文)數(shù)列an的前n項和記為Sn，a11，an12Sn1(n1)(1)求an的通項公式；(2)等差數(shù)列bn的各項為正數(shù)，前n項和為Tn，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比數(shù)列，求Tn.解析(1)由an12Sn1可得an2Sn11(n2)，兩

15、式相減得an1an2an，an13an(n2)，又a22S113，a23a1，故an是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，an3n1.(2)設bn的公差為d，由T315得，b1b2b315，可得b25，故可設b15d，b35d，又a11，a23，a39，由題意可得(5d1)(5d9)(53)2，解得d2或10.等差數(shù)列bn的各項均為正數(shù)，d2，b13，Tn3n×2n22n.(理)設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，且an2SnSn10(n2)，(1)求數(shù)列Sn的通項公式；(2)設Sn，bnf()1.記PnS1S2S2S3SnSn1，Tnb1b2b2b3bnbn1，試求Tn，并證明Pn&

16、lt;.解析(1)解：an2SnSn10(n2)，SnSn12SnSn10.2.又a1，Sn(nN)(2)證明：Sn，f(n)2n1.bn2()11()n1.Tn()0·()1()1·()2()n1·()n()1()3()5()2n11()nPn<.19(本小題滿分12分)(文)已知a12，點(an，an1)在函數(shù)f(x)x22x的圖象上，其中n1,2,3，.(1)證明數(shù)列l(wèi)g(1an)是等比數(shù)列；(2)設Tn(1a1)(1a2)(1an)，求Tn及數(shù)列an的通項分析從題設入手，點(an，an1)在函數(shù)f(x)x22x的圖象上可得，an1a2an，兩邊同時加

17、1得an11(an1)2，取對數(shù)即可解決問題由第(2)問的形式知可由(1)問繼而求出1an的表達式則Tn可求解析(1)由已知an1a2an，an11(an1)2.a12，an1>1，兩邊取對數(shù)得：lg(1an1)2lg(1an)，即2.lg(1an)是公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知lg(1an)2n1·lg(1a1)2n1·lg3lg32n11an32n1(*)Tn(1a1)(1a2)(1an)320·321··32n1312222n132n1.由(*)式得an32n11.(理)設函數(shù)f(x)3x21，g(x)2x，數(shù)列an滿足條件：

18、對于nN*，an>0，且f(an1)f(an)g，又設數(shù)列bn滿足條件：bnlogana(a>0且a1，nN*)(1)求證：數(shù)列an為等比數(shù)列；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)設k，LN*，且kL5，bk，bL，求數(shù)列bn的通項公式解析(1)證明：f(x)3x21，g(x)2x，f(an1)f(an)g(an1)，3(an1)213a12(an1)3.數(shù)列an是以3為公比的等比數(shù)列(2)證明：bnlogana，logaan，logaan1.logaloga3.數(shù)列是以為首項，公差為loga3的等差數(shù)列(3)解：為方便起見，記數(shù)列的公差為d，由于(kL)d.又bk，bL，(13L)

19、(13k)(kL)d.d3.(nk)d(13L)3(nk)3(kL)3n1.kL5，163n.bn.20(本小題滿分12分)(文)已知數(shù)列an中，a1，an1an(nN*)(1)求數(shù)列an中的最大項；(2)求數(shù)列an的通項公式解析(1)當n1時，a2a1>0.a2>a1，當n2時，an1an<0，an1<an.故當n2時，數(shù)列an是遞減數(shù)列綜上所述，對一切nN*都有a2an.數(shù)列an中的最大項為a2.(2)由a1，an1an(nN*)，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，an，得an，an.(理)數(shù)列an滿足a11，a22，an2ansin2，n1,2,3，

20、.(1)求a3，a4，并求數(shù)列an的通項公式；(2)設bn，Snb1b2bn.證明：當n6時，|Sn2|<.分析考慮到遞推關(guān)系式中的sin和cos，可以對n分偶數(shù)和奇數(shù)進行討論，從而求得數(shù)列an的通項公式，然后再求出數(shù)列bn的前n項和公式，用數(shù)學歸納法進行證明解析(1)因為a11，a22，所以a3(1cos2)a1sin2a112，a4(1cos2)a2sin22a24.一般地，當n2k1(kN*)時，a2k11cos2a2k1sin2a2k11，即a2k1a2k11.所以a2k1k.當n2k(kN*)時，a2k2a2ksin22a2k.所以a2k2k.故數(shù)列an的通項公式為an(2)由

21、(1)知，bn，Sn，Sn，得，Sn1.所以Sn22.要證明當n6時，|Sn2|<成立，只需證明當n6時，<1成立(1)當n6時，<1成立(2)假設當nk(k6)時不等式成立，即<1.則當nk1時，×<<1，由(1)、(2)所述可知，當n6時，<1.即當n6時，|Sn2|<成立21(本小題滿分12分)設曲線yx2x2lnx在x1處的切線為l，數(shù)列an的首項a1m，(其中常數(shù)m為正奇數(shù))且對任意nN，點(n1，an1ana1)均在直線l上(1)求出an的通項公式；(2)令bnnan(nN)，當ana5恒成立時，求出n的取值范圍，使得bn1

22、>bn成立解析(1)由yx2x2lnx，知x1時，y4，又y|x1x12，直線l的方程為y42(x1)，即y2x2，又點(n1，an1ana1)在l上，a1m，an1anm2n.即an1an2nm(nN)，a2a12m，a3a22×2m，anan12×(n1)m.各項迭加得，an2(12n1)(n1)ma1n2(m1)n.通項公式ann2(m1)n(nN)(2)m為奇數(shù)，為整數(shù)，由題意知，a5是數(shù)列an中的最小項，5，m9，令f(n)bnn3(m1)n2n310n2，則f (n)3n220n，由f (n)>0得，n>(nN)，即n>(nN)時，f(n

23、)單調(diào)遞增，即bn1>bn成立，n的取值范圍是n7，且nN.22(本小題滿分14分)設數(shù)列xn的所有項都是不等于1的正數(shù)，前n項和為Sn，已知點Pn(xn，Sn)在直線ykxb上(其中常數(shù)k0，且k1)，又ynlog0.5xn.(1)求證：數(shù)列xn是等比數(shù)列；(2)如果yn183n，求實數(shù)k、b的值；(3)如果存在t、sN*，st，使得點(t，ys)和(s，yt)都在直線y2x1上，試判斷，是否存在自然數(shù)M，當n>M時，xn>1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由解析(1)證明：點Pn，Pn1都在直線ykxb上，k，(k1)xn1kxn.常數(shù)k0，且k1，(非

24、零常數(shù))數(shù)列xn是等比數(shù)列(2)由ynlog0.5xn，得xn()yn8n6858n1，8，k.Pn在直線ykxb上，Snkxnb，令n1得bS1x1.(3)xn>1恒成立等價于yn<0，存在t，sN，使得(t，ys)和(s，yt)都在y2x1上，ys2t1，yt2s1，得ysyt2(ts)易證yn是等差數(shù)列，設其公差為d，則有ysyt(st)d，st，d2<0.，得ysyt2(ts)2，又ysyty1(s1)(2)y1(t1)(2)2y12(st)4，2y12(st)42(ts)2y12(ts)1>0，即數(shù)列yn是首項為正，公差為負的等差數(shù)列，一定存在一個自然數(shù)M，使

25、即解得ts<Mts.MN，Mts，即存在自然數(shù)Mts，使得當n>M時，xn>1恒成立 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u

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