1、2021-11-20ch031函數極限PPT課件1第三章第三章 函數極限函數極限二、函數極限二、函數極限三、函數極限的性質三、函數極限的性質一、引言一、引言四、函數極限的存在性四、函數極限的存在性2021-11-20ch031函數極限PPT課件2一、引言一、引言函數極限研究的方法函數極限研究的方法溫故而知新溫故而知新要注意新知識與舊知識有什麼相同與要注意新知識與舊知識有什麼相同與不同之處？不同之處？更重要的是不同之處！更重要的是不同之處！RDf:函數函數RNf:數列數列 nAnf,)(定義、定義、 性質、性質、 收斂性收斂性不同之處？不同之處？Nnnf :)(Rxxf :)(自變量變化花樣多！

2、自變量變化花樣多！怎樣描述各種變化？怎樣描述各種變化？2021-11-20ch031函數極限PPT課件3第第3.1節節 函數的極限函數的極限（一）自變量變化的描述（一）自變量變化的描述1. 鄰域鄰域),(000 xxxxUx鄰鄰域域的的點點0 ),(),(00000 xxxxxUxNx鄰域鄰域的空心的空心點點2021-11-20ch031函數極限PPT課件42. 兩種基本變化趨勢兩種基本變化趨勢0 xx 0 xx 0 xx 趨向于無窮趨向于無窮 x x x 00, 0 xx 00, 0 xx 00, 0 xxNxN , 0NxN , 0NxN , 0 0 x x x 趨向于一點趨向于一點xO2

3、021-11-20ch031函數極限PPT課件5.)(,)(,)(,0, 0, 0,.)(0000AxfxxAxfxxAxfxxxRAxxf趨趨向向于于時時或或稱稱當當有有極極限限時時則則稱稱當當都都有有動動點點的的使使得得所所有有滿滿足足不不等等式式如如果果有有定定義義的的某某空空心心鄰鄰域域在在點點設設函函數數 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 或或記記作作定義定義1：（二）函數極限的定義（二）函數極限的定義1. 函數在一點的極限函數在一點的極限定義定義 2021-11-20ch031函數極限PPT課件6注意注意1的的含含義義是是什什麼麼？ 00 xx鄰鄰域域內內的的空空心心落

4、落入入點點 0 xx為什麼要考慮空心鄰域？為什麼要考慮空心鄰域？考慮空心鄰域，是什麼意思？考慮空心鄰域，是什麼意思？ 考慮函數在一點的極限時，不考慮函數考慮函數在一點的極限時，不考慮函數在該點處是否有定義，定義的值是什麼，在該點處是否有定義，定義的值是什麼，但是，在附近必須要有定義。但是，在附近必須要有定義。反例反例 0,10,1sin)(xxxxxf2021-11-20ch031函數極限PPT課件72021-11-20ch031函數極限PPT課件8注意注意2的的幾幾何何意意義義是是什什麼麼？Axfxx )(lim0 xOy0 xA)(xfy ),(),(, 0, 00 AUxNf 使使或或

5、A A( ) 0 x 0 x( )2021-11-20ch031函數極限PPT課件9定義定義2： （右極限）（右極限）怎樣定義單側極限？怎樣定義單側極限？記記作作為為右右極極限限以以時時趨趨向向于于則則稱稱當當有有就就使使得得只只要要正正數數都都存存在在一一個個無無論論它它多多麼麼小小正正數數對對于于任任意意給給定定的的如如果果存存在在一一個個實實數數附附近近有有定定義義在在點點設設函函數數.)(,)(,0, 0, 0,.)(000AxfxxAxfxxAxxf Axfxx )(lim0 00 xx2021-11-20ch031函數極限PPT課件10記記作作為為左左極極限限以以時時趨趨向向于于則

6、則稱稱當當有有就就使使得得只只要要正正數數都都存存在在一一個個無無論論它它多多麼麼小小正正數數對對于于任任意意給給定定的的如如果果存存在在一一個個實實數數附附近近有有定定義義在在點點設設函函數數.)(,)(, 0, 0, 0,.)(000AxfxxAxfxxAxxf Axfxx )(lim0定義定義3：（左極限）（左極限）00 xx 2021-11-20ch031函數極限PPT課件11一點極限與單側極限有什麼關系？一點極限與單側極限有什麼關系？.)(lim)(lim)(lim000都都存存在在且且相相等等與與存存在在的的充充分分必必要要條條件件是是xfxfxfxxxxxx 定理：定理：例例符號

7、函數符號函數 . 0, 1, 0, 0, 0, 1sgnxxxxy2021-11-20ch031函數極限PPT課件12Oyx 11 觀察圖形觀察圖形1sgnlim0 xx1sgnlim0 xxxxxxsgnlimsgnlim00 因為因為所以所以不不存存在在！xxsgnlim02021-11-20ch031函數極限PPT課件13例例1?11lim21 xxx2111lim21 xxx觀察知觀察知證證 )1(212111, 02xxxx欲使欲使 1021112xxx)1)1(2(1)1(21 xxxx只只要要0, 1 xx不不妨妨設設因因為為1)1(21 xxx 故取故取 12111,10:,

8、02xxxxx有有使使于是于是證畢證畢2021-11-20ch031函數極限PPT課件14例例2 用定義證明用定義證明2111lim0 xxx證明證明不妨設不妨設0, 1 xx211112111 xxx因因為為2) 11( 2 xx22111xxx 所所以以 2 故故取取證畢證畢有有,0:,2, 0 xx 22111xxx2021-11-20ch031函數極限PPT課件152. 函數在無窮遠的極限函數在無窮遠的極限.)(,)(,)(, 0, 0,).0(),()(AxfxAxfxAxfxNxNRAaaxf趨趨向向于于時時或或稱稱當當有有極極限限時時則則稱稱當當都都有有的的動動點點使使得得所所有

9、有滿滿足足不不等等式式如如果果有有定定義義在在區區間間設設函函數數 )()()(lim xAxfAxfx或或記記作作定義定義4：2021-11-20ch031函數極限PPT課件16第第2.2節節 函數極限的性質函數極限的性質性質性質2:（有界性）（有界性）.)(,)(lim00有有界界時時當當則則存存在在設設xfxxxfxx.)(,0, 000MxfxxM 就有就有時時使當使當和和即存在即存在 函數極限如果存在，則函數一定有界函數極限如果存在，則函數一定有界.性質性質1:（唯一性）（唯一性）函數極限如果存在，則一定是唯一的函數極限如果存在，則一定是唯一的.xy1 .)(,)(lim有有界界時時

10、當當則則存存在在設設xfxxfx .)(, 00MxfNxNM 就就有有時時使使當當和和即即存存在在2021-11-20ch031函數極限PPT課件17性質性質3:（保號性）（保號性）存存在在設設Axfxx )(lim0. 0)(,0:, 0, 0)1(0 xfxxxA就就有有使使得得則則如如果果 . 0, 0)(,0:, 0)2(0 Axfxxx則則有有有有如如果果 2021-11-20ch031函數極限PPT課件18性質性質4: （函數極限與數列極限的關系）（函數極限與數列極限的關系） .)(lim,)(lim000AxfNnxxxxAxfnnnnxx 都都有有）（的的數數列列對對每每個個

11、收收斂斂于于點點存存在在的的充充分分必必要要條條件件是是即即,)(lim0Axfxx Axfxxx)(,0:, 0, 00就就有有使使得得證明證明 必要性必要性根據假設根據假設 Axfxxxnnn)(,0:,0有有特特別別2021-11-20ch031函數極限PPT課件19 00,),(, 0,limxxNnNxxnnn就有就有使得使得自然數自然數對上述對上述根據定理假設根據定理假設得得到到于于是是即即有有注注意意到到,0,00 xxxxnn 00,),(,0 xxNnNn有有使使得得自自然然數數 Axfn)(從從而而就就有有證畢證畢Axfnn )(lim即即2021-11-20ch031函數

12、極限PPT課件20?1sinlim0 xx例例觀察圖形觀察圖形不不存存在在！xx1sinlim02021-11-20ch031函數極限PPT課件212221,21 nxnxnn取取0lim, 0;0lim, 0 nnnnnnxxxx顯然顯然1)22sin()( nxfn1)22sin()( nxfn從而從而1)(lim, 1)(lim nnnnxfxf不不存存在在極極限限所所以以xx1sinlim,0)(lim)(limnnnnxfxf 證明證明證畢證畢2021-11-20ch031函數極限PPT課件22AxgAxhxfxhxgxfxNxxxxxxx )(lim)(lim)(lim)()()(

13、),(0000則則且且有有證法證法1：應用函數極限與數列極限關系定理：應用函數極限與數列極限關系定理 和數列極限的夾逼定理和數列極限的夾逼定理.第第3.3節節 函數極限的存在性函數極限的存在性夾逼定理夾逼定理: :證法證法2：應用函數極限定義：應用函數極限定義.2021-11-20ch031函數極限PPT課件23第第3.4節節 兩個重要極限兩個重要極限1sinlim0 xxxexxx)11 (lim2021-11-20ch031函數極限PPT課件24?sinlim0 xxx例例利用夾逼定理討論利用夾逼定理討論考慮能否找到一個考慮能否找到一個不等式？不等式？的面積的面積扇形的面積AOCAOBAO

14、B )2, 0(tan2121sin21 xxxx即2021-11-20ch031函數極限PPT課件25)2, 0(,)0,2( xx時當) 2() 0,2(tansin xxxx)3()20(tansin xxxx由（1）式知將（1）式與（2）式結合起來，得到亦即) 1 ()2, 0(tansin xxxx2021-11-20ch031函數極限PPT課件26xxxcos1sin1 得）式去除（用時注意到當,3sin, 0sin,0 xxx )20(1sincos xxxx時因為當20 x0sin, 0coscos xxxx2021-11-20ch031函數極限PPT課件27)20(1sinc

15、os xxxxxxxcos1sin10 所以上式即從而有)20(2)2(22sin2222 xxxx2021-11-20ch031函數極限PPT課件28由夾逼定理得到令, 0 x0sin1lim0 xxx1sinlim0 xxx即2021-11-20ch031函數極限PPT課件29證證明明利利用用夾夾逼逼定定理理和和極極限限ennn )11(limexxx )11 (lim先先證證明明1, xx不不妨妨設設因因為為exxx )11 (lim證證明明極極限限例例,nx 令令1 nxn則則從而從而nxn1111 2021-11-20ch031函數極限PPT課件30ennnnnnn )11()11(

16、lim)11(lim1于于是是由由夾夾逼逼定定理理知知exxn )11(lim于是于是1)11()11()111( nxnnxnennnnnnn 11)111()111(lim)111(lim2021-11-20ch031函數極限PPT課件31exxn )11 (lim再再證證明明)111 ()111 ()111 ()1()11 ()11 (1 yyyyyyxyyyyx0, xx不不妨妨設設因因為為0, yxy則則令令2021-11-20ch031函數極限PPT課件32于于是是有有從從而而時時當當,1, yyxeeyyxyyyxx 1)111 (lim)111 (lim)11 (lim111exxxxxxxxx )11 (lim)11 (lim)11 (lim綜上所述，我們得到綜上所述，我們得到2021-11-20ch031函數極限PPT課件332.2.單調有界定理單調有界定理: :)()(lim()()(lim,)(lim,)(,()1(000000 xfxfxfxfxfxafxxxxxx 且且存存在在則則且且有有界界非非增增單單調調非非減減上上有有定定義義在在設設)()(lim()()(lim,)(lim,)(,),)2(00000