1、學習必備歡迎下載學案 11函數與方程導學目標：1.結合二次函數的圖象，明白函數的零點與方程根的聯系，會判定一元二 次方程根的存在性及根的個數.2.依據詳細函數的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似值自主梳理1函數零點的定義1對于函數y f x x d，把使 成立的實數x 叫做函數y fx x d 的零點2方程 fx0 有實根 . 函數 y fx的圖象與 有交點 . 函數 yf x有 2函數零點的判定假如函數 y fx 在區間 a， b上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有 ，那么函數y fx在區間 內有零點，即存在c a， b，使得 ，這個 也就是 f x 0 的根我們不妨把這一結論稱為零點存在性

2、定理3二次函數yax2bx c a>0 的圖象與零點的關系>0 0<0二次函數yax2 bxca>0 的圖象與 x 軸的交點 ， 無交點零點個數 4.用二分法求函數fx零點近似值的步驟第一步，確定區間a， b ，驗證 ，給定精確度；其次步，求區間a，b的中點 c；第三步，運算 ：如 ，就 c 就是函數的零點；如 ，就令 b c 此時零點x0 a， c；如 ，就令 a c 此時零點x0 c， b；第四步，判定是否達到精確度：即如 |a b|<，就得到零點近似值a或 b；否就重復其次、三、四步自我檢測1 2021 ·福建 fx2 2x 3， x 0x 2ln

3、 xx>0的零點個數為a 0b 1c 2d 32如函數y fx在 r 上遞增，就函數yfx的零點 a 至少有一個b 至多有一個c有且只有一個d 可能有很多個3如下列圖的函數圖象與x 軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標的是學習必備歡迎下載a bcd4設 fx 3x 3x8，用二分法求方程3x 3x8 0 在 x 1,2內近似解的過程中得 f1<0 ， f1.5>0 ， f1.25<0 ，就方程的根所在的區間是a 1,1.25b 1.25,1.5c1.5,2d不能確定5 2021福·州模擬 如函數fx的零點與gx 4x 2x 2 的零點之差的肯定值不超過

4、0.25，就 fx可以是2a fx 4x 1b f x x 1cf x ex1d fx ln x 0.5探究點一函數零點的判定例 1判定函數y ln x 2x 6 的零點個數變式遷移 12021 ·煙臺模擬 如定義在 r 上的偶函數 fx滿意 fx 2f x，且當 x 0,1時， fx x，就函數y fx log 3|x|的零點個數是 a 多于 4 個b 4 個c3 個d 2 個探究點二用二分法求方程的近似解例 2求方程 2x3 3x 3 0 的一個近似解精確度 0.12變式遷移 22021 ·淮北模擬 用二分法討論函數fx x3 ln x 1的零點時， 第一次經運算 f0

5、<0 ， f1>0 ，可得其中一個零點x0 ，其次次應運算 以上橫2線上應填的內容為11a. 0， 2f2c. 1， 1f31b 0,1f 2d. 0， 1f12424探究點三利用函數的零點確定參數例 3已知 a 是實數，函數fx 2ax2 2x 3 a，假如函數y fx 在區間 1,1上有學習必備歡迎下載零點，求a 的取值范疇變式遷移 3如函數 f x 4x a·2x a 1 在， 上存在零點，求實數a 的取值范疇1 全面熟悉深刻懂得函數零點：1從“ 數” 的角度看：即是使fx 0 的實數 x；2從“ 形” 的角度看：即是函數fx的圖象與x 軸交點的橫坐標；3如函數 f

6、x的圖象在x x0 處與 x 軸相切，就零點x0 通常稱為不變號零點；4如函數 fx的圖象在x x0 處與 x 軸相交，就零點x0 通常稱為變號零點 2求函數y fx的零點的方法：1 代數法 求方程 fx 0 的實數根 常用公式法、因式分解法、直接求解法等；2 幾何法 對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數yfx的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點；3 二分法 主要用于求函數零點的近似值，二分法的條件fa ·fb<0 說明：用二分法求函數的近似零點都是指變號零點3有關函數零點的重要結論：1如連續不間斷的函數fx是定義域上的單調函數，就f x至多有一個零點；2連續不間斷的函

7、數，其相鄰兩個零點之間的全部函數值保持同號；3連續不間斷的函數圖象通過零點時，函數值符號可能不變滿分： 75 分一、挑選題 每道題 5 分，共 25 分 1 2021 ·天津 函數 fx 2x 3x 的零點所在的一個區間是a 2， 1b 1,0c0,1d1,222021就 fx1的值1福·州質檢 已知函數 fx log 2x 3x ，如實數 x0 是方程 fx 0 的解，且 0< x1 <x0，a 恒為負b等于零c恒為正d不小于零3以下函數圖象與x 軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是學習必備歡迎下載4函數 fx x 2x 5 1 有兩個零點x1 、x2 ，且

8、 x1<x2，就 a x1<2,2< x2<5bx 1>2， x2>5 cx 1<2， x2>5d 2<x1<5， x2>55 2021廈·門月考 設函數f x4x4，x1， gx log 2x，就函數hx fxx2 4x3， x>1gx的零點個數是a 4b 3c 2d 1題號12345答案二、填空題 每道題 4 分，共6定義在 r 上的奇函數fx12 分 滿意：當x>0 時，fx 2006x log2 006x，就在 r 上，函數fx零點的個數為 72021 深·圳模擬 已知函數f x x2x，

9、gxx lnx，h xxx1 的零點分別為x1， x2， x3，就 x1， x2 ，x3 的大小關系是 8 2021 ·山東 如函數fx ax x aa>0，且 a 1有兩個零點，就實數a 的取值范疇是 三、解答題 共 38 分9 12 分 已知函數fx x3 x2證明：存在x0 0， 1x12 4.2 ，使 fx0 x0.1012 分已知二次函數fx 4x2 2p 2x 2p2 p 1 在區間 1,1 內至少存在一個實數 c，使 fc>0 ，求實數p 的取值范疇，11 14 分2021 杭·州調研 設函數 f xax2bx c，且 f1 b3a3a>2

10、c>2b，求證： 241a>0 且 3<a< ；2函數 fx在區間 0,2內至少有一個零點；3設 x1， x2 是函數 f x的兩個零點，就2|x1 x2 |<57.4學習必備歡迎下載答案自主梳理1 1 fx 02 x 軸零點2.fa ·fb<0a，bf c 0c3.x1,0 x2,0x1,0兩個一個無4.fa ·fb<0fc f c 0 f a ·fc<0fc ·fb<0自我檢測1 c 當 x 0 時，令 x2 2x 3 0，解得 x 3；當 x>0 時，令 2 ln x 0，解得 x e2，

11、 所以已知函數有兩個零點2 b3.b4.b5.a課堂活動區例 1解題導引判定函數零點個數最常用的方法是令fx 0，轉化為方程根的個數，解出方程有幾個根，函數yfx就有幾個零點，假如方程的根解不出，仍有兩種方法判定：方法一是基本方法，是利用零點的存在性原理，要留意參考單調性可判定零點的唯獨性；方法二是數形結合法，要留意作圖技巧解方法一設 fx ln x 2x6，y ln x 和 y2x 6 均為增函數，fx 也是增函數又f1 0 2 6 4<0， f 3 ln 3>0 ，fx 在1,3 上存在零點又fx為增函數，函數在1,3上存在唯獨零點方法二在同一坐標系畫出y ln x 與 y6

12、2x 的圖象，由圖可知兩圖象只有一個交點，故函數 y ln x 2x 6 只有一個零點變式遷移 1b 由題意知 f x是偶函數并且周期為2.由 fx log 3|x| 0，得 fx log 3|x |，令 y f x， ylog 3|x|，這兩個函數都是偶函數，畫兩函數y 軸右邊的圖象如圖，兩函數有兩個交點，因此零點個數在x0， xr 的范疇內共4 個 例 2解題導引用二分法求函數的零點時，最好是利用表格，將運算過程所得的 各個區間、 中點坐標、 區間中點的函數值等置于表格中，可清晰地表示出逐步縮小零點所在區間的過程，有時也可利用數軸來表示這一過程；學習必備歡迎下載在確定方程近似解所在的區間時

13、，轉化為求方程對應函數的零點所在的區間，找出的區間 a， b 長度盡可能小，且滿意fa ·fb<0 ；求方程的近似解，所要求的精確度不同得到的結果也不同，精確度，是指在運算過程中得到某個區間a， b后，直到 |a b|< 時，可停止運算，其結果可以是滿意精確度的最 后小區間的端點或區間內的任一實數，結果不唯獨解設 f x 2x3 3x3.經運算， f 0 3<0 ， f1 2>0 ， 所以函數在 0,1 內存在零點，即方程 2x3 3x 3 0 在0,1內有解 取0,1的中點 0.5，經運算f0.5<0 ，又 f1>0 ，所以方程2x3 3x 3

14、0 在 0.5,1 內有解，如此連續下去，得到方程的一個實數解所在的區間，如下表.a， ba， b20,10.5f 0.5<00.5,10.75f0.75>00.5,0.750.625f0.625<00.625,0.750.687 5f0.687 5<0的中點f a b0.687 5,0.75|0.687 5 0.75| 0.062 5<0.1至此，可以看出方程的根落在區間長度小于0.1 的區間 0.687 5,0.75 內，可以將區間端點 0.687 5 作為函數fx零點的近似值因此0.687 5 是方程 2x3 3x 3 0 精確度 0.1 的一個近似解變式遷

15、移2d 由于f0<0 ， f 12>0，而fx x3 ln x 12中的x3 及 ln x 1 在2112， 上是增函數，故fx在 2， 上也是增函數，11故 fx 在 0， 2 上存在零點，所以x0 0， 2 ，其次次運算應運算011和 在數軸上對應的中點20 21x124.例 3解如 a 0， fx2x 3，明顯在 1， 1 上沒有零點，所以a 0.令 4 8a3 a 8a2 24a 4 0， 3± 7解得 a當 a2. 372時， f x 0 的重根 x372 1,1 ，當 a 372時， fx0 的重根 x372. 1,1 ，y fx恰有一個零點在1,1 上；學習

16、必備歡迎下載當 f 1 ·f 1 a 1 a 5<0 ，即 1<a<5 時， y fx在1,1 上也恰有一個零點當 yfx在 1,1 上有兩個零點時，就a>0 8a2 24a 4>0 1< 1 <12af 1 0f 1 0a<0 8a2 24a 4>0，或 1< 1 <1，2af 1 0f 1 0解得 a 5 或 a< 372. 37綜上所述實數a 的取值范疇是a>1 或 a2.變式遷移 3解方法一換元 設 2x t，就函數fx 4x a·2x a1 化為 gt t2 at a 1 t0， 函數

17、fx4x a·2x a 1 在 ， 上存在零點，等價于方程t2 at a1 0，有正實數根1當方程有兩個正實根時， a24 a 1 0a 應滿意t1 t2 a>0，t1·t2 a 1>0解得： 1<a 2 22； 2當方程有一正根一負根時，只需t1·t 2 a 1<0，即 a<1；3當方程有一根為0 時， a 1，此時方程的另一根為1.綜上可知 a 2 22.方法二令 gtt 2 at a1 t0 ， 1當函數 gt在0， 上存在兩個零點時， a2 4 a 1 0a實數 a 應滿意 >0，2g 0 a 1>0解得 1<

18、;a 222；2當函數gt在 0， 上存在一個零點，另一個零點在 ， 0時，實數a 應滿意g0 a1<0 ，解得 a< 1；3當函數 gt的一個零點是0 時， g0 a 1 0，a 1，此時可以求得函數gt的另學習必備歡迎下載一個零點是1.綜上 123 知 a 2 22.課后練習區11 b 由于 f 1 2 3<0， f0 1>0，所以 fx在區間 1,0上存在零點 2 a3c能用二分法求零點的函數必需在給定區間a ，b上連續不斷， 并且有 fa ·f b<0.a 、b 中不存在fx<0 ，d 中函數不連續 4 c5 b 當 x1 時，函數 f x

19、 4 x 4 與 gx log 2 x 的圖象有兩個交點，可得 hx有兩個零點，當 x>1 時，函數 f x x2 4x 3 與 gx log 2 x 的圖象有 1 個交點，可得函數 hx 有 1 個零點，函數 h x共有 3 個零點 6 3解析函數 fx為 r 上的奇函數，因此f0 0，當 x>0 時， fx 2 006 xlog 2 006x 在區1間0 ， 2 006內存在一個零點，又fx為增函數，因此在0， 內有且僅有一個零點根據對稱性可知函數在 ， 0內有且僅有一解，從而函數在r 上的零點的個數為3.，7 x1<x2<x3解析令 x 2x0，即 2xx，設 y

20、 2xy x；令 x ln x 0，即 ln x x， 設 y ln x， y x.在同一坐標系內畫出y 2x ， y ln x， y x，如圖： x1<0<x2<1，令 xx 10，就2x x 10，15 x即 x32，352>1，所以 x1<x2<x3.8 a>1解析 設函數 yaxa>0 ，且 a 1和函數 y x a，就函數 fx ax x aa>0，且 a 1 有兩個零點， 就是函數 y axa>0，且 a 1與函數 y x a 有兩個交點， 由圖象可知當 0<a<1時兩函數只有一個交點，不符合；當 a>1 時，由于函數 y axa>1的圖象過點 0,1，而直線yx a 所過的點肯定在點0,1的上方，所以肯定有兩個交點， 所以實數a 的取值范疇是a>1.9證明令 gx f x x.2 分111114，g2 f 228g0，g0g1<0.8 分·2學習必備歡迎下載又函數 gx在0，1上連續，10 分21所以存在 x