1、1 本章內容本章內容 3.1 靜電場分析 3.2 導電媒質中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法 3.6 分離變量法 靜態(tài)電磁場：靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場靜電場、恒定電場和恒定磁場 時變情況下，電場和磁場相互關聯(lián)，構成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立 第1頁/共152頁23.1 靜電場分析靜電場分析 學習內容 靜電場的基本方程和邊界條件 電位函數(shù) 導體系統(tǒng)的電容與部分電容 靜電場的能量 靜電力第2頁/共152頁32. 邊界條件邊界條件0ED微分形式：ED本構關系：1.

2、 基本方程基本方程0)()(2121EEeDDenSn0ddlEqSDCS積分形式：0)(0)(2121EEeDDenn02121ttSnnEEDD或若分界面上不存在面電荷，即S S0 0，則ttnnEEDD2121或靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件第3頁/共152頁4介質2 2介質1 121212E1Ene212211221121/tantannnntntDDEEEE 在靜電平衡的情況下，導體內部的電場為0，則導體表面的邊界條件為 0EeDenSn0tSnED或 場矢量的折射關系 導體表面的邊界條件第4頁/共152頁50E由即靜電場可以用一個標量函數(shù)的梯度來表示，標量函數(shù)

3、 稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。1. 電位函數(shù)的定義電位函數(shù)的定義E 電位函數(shù)電位函數(shù)第5頁/共152頁62. 電位的表達式電位的表達式對于連續(xù)的體分布電荷，由面電荷的電位： 1( )( )d4VrrVCR故得點電荷的電位：( )4qrCR( )1( )d4SSrrSCR( )1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR線電荷的電位：rrR第6頁/共152頁7 3. 電位差兩端點乘 ，則有l(wèi)dE將d)ddd(ddyyyyxxllE上式兩邊從點P到點Q沿任意路徑進行積分，得關于電位差的說明關于電位差的說明 P、Q 兩點間的

4、電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至Q 點 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處； 電位差也稱為電壓，可用U 表示； 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關。)()(ddQPlEQPQPP、Q 兩點間的電位差兩點間的電位差電場力做電場力做的功的功第7頁/共152頁8 靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即)(CC選參考點令參考點電位為零電位確定值( (電位差) )兩點間電位差有定值 選擇電位參考點的原則選擇電位參考點的原則 應使電位表達式有意義； 應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠作電位參考點； 同一個問題只能有一個參考點。4. 電位參考點電位

5、參考點 為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即第8頁/共152頁9 例例 求電偶極子的電位. . 解解 在球坐標系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二項式展開，由于，得dr ,cos21drr302020444cos)(rrpreprqdrr代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。dqp+q電偶極子電偶極子zodq1r2rr),(rP第9頁/共152頁10ErErrdd21si

6、nCr 將 和 代入上式，解得E線方程為ErE 由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度)sincos2(430eerqr)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位線電場線電偶極子的場圖電偶極子的場圖電場線微分方程電場線微分方程：等位線方程等位線方程：第10頁/共152頁11 解解 選定均勻電場空間中的一點o為坐標原點，而任意點P 的位置矢量為r，則000( )( )ddPPooPoElErE r rrrrrrggg若選擇點o為電位參考點，即 ，則( )0o0( )PE r rrg000( )coszPE re r EE r rrr rgg 在球坐標系

7、中，取極軸與 的方向一致，即 ，則有00zEe E0Ezree z000( )()cosxzPE re E ee zE rrrrgg 在圓柱面坐標系中，取 與x軸方向一致，即 ，而 ，故 00 xEe E0E0ExzoPr 例例 求均勻電場的電位分布。第11頁/共152頁12xyzL-L( , , ) z zddlzRz 解解 采用圓柱面坐標系，令線電荷與 z 軸相重合，中點位于坐標原點。由于軸對稱性，電位與 無關。在帶電線上位于 處的線元 ，它到點 的距離 ，則22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz220220()()

8、ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求長度為2L、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。0l第12頁/共152頁132222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當 時，上式可寫為 LRL 當 時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)域內，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上一個任意常數(shù)，則有L 002( )ln2lLrC并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇= a 的點為電位參考點，則有002ln2lLCa 00( )ln2lar第13頁/共152頁14在均勻介質中，有5. 電位的微分方

9、程電位的微分方程2在無源區(qū)域，0EED02標量泊松方程標量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第14頁/共152頁15 6. 靜電位的邊界條件 設P1和P2是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為 1和 2。當兩點間距離l0時 若介質分界面上無自由電荷，即導體表面上電位的邊界條件：0dlim21021PPllESnDDe)(21D由 和12媒質媒質2媒質媒質121l2P1P0Snn1122常數(shù)，Sn21Snn1122第15頁/共152頁16 例例3.1.4 兩塊無限大接地導體平板分別置于x = 0和 x = a 處，在兩板之間的 x = b 處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導

10、體平板之間的電位和電場。0S 解解 在兩塊無限大接地導體平板之間，除 x = b 處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解為obaxy兩塊無限大平行板兩塊無限大平行板0S1( )x2( ) x第16頁/共152頁170110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aDC

11、bDC bDCC 利用邊界條件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 處，最后得0 x 處，1(0)0 xa2( )0a 處，所以0220( )( )SxbE xxea 由此解得第17頁/共152頁18電容器廣泛應用于電子設備的電路中： 在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用； 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜 電路； 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設備的利用率； 導體系統(tǒng)的電容與部分電容導體系統(tǒng)的電容與部分電容第18頁/共152頁19 電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導

12、體系統(tǒng) 儲存電荷能力的物理量。 孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位 的比值，即qC 1. 電容電容 孤立導體的電容 兩個帶等量異號電荷（ q）的導 體組成的電容器，其電容為12qqCU 電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質 的特性參數(shù)有關，而與導體的帶電量和電位無關。第19頁/共152頁20 (1) 假定兩導體上分別帶電荷+q 和 -q ； (2) 計算兩導體間的電場強度E； 計算電容的步驟：UqC (4) 求比值 ，即得出所求電容。21dlEU (3) 由 ，求出兩導體間的電位差；第20頁/共152頁21 解解：設內導體的電荷為q q，則由高斯定理可求得內外導體間的電場4

13、4rr22qqDe,EerrababqbaqrEUba004)11(4d同心導體間的電壓ababUqC04球形電容器的電容aC04當 時，babo 例例 同心球形電容器的內導體半徑為a、外導體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為的均勻介質。求此球形電容器的電容。孤立導體球的電容孤立導體球的電容第21頁/共152頁22 例例 如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a，兩導線的軸線距離為D，且D a，求傳輸線單位長度的電容。l 解解 設兩導線單位長度帶電量分別為 和 。由于 ，故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩導線的表面上。應用高斯定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點P 的電場強度為lDa011(

14、 )()2lxE xexDx兩導線間的電位差210011d()dln2D allaDaUElxxDxa故單位長度的電容為001F/mln()ln()lCUDaaD axyzxDa第22頁/共152頁23 例例 同軸線內導體半徑為a，外導體半徑為為b，內外導體間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質，求同軸線單位長度的電容。( )2lEe內外導體間的電位差1( )dd2bblaaUEell 解解 設同軸線的內、外導體單位長度帶電量分別為 和 ，應用高斯定理可得到內外導體間任一點的電場強度為故得同軸線單位長度的電容為12F/mln( / )lCUb aab同軸線同軸線ln( / )2lb a第23頁/共15

15、2頁242 部份電容部份電容在多導體系統(tǒng)中，任何兩個導體間的電壓都要受到其余導體 上的電荷的影響。因此，研究多導體系統(tǒng)時，必須把電容的 概念加以推廣，引入部分電容的概念。 在由N個導體組成的系統(tǒng)中，由于電位與各導體所帶的電荷之間成線性關系，所以，各導體的電位為1(1, 2 ,)Nii jjjqiN式中：(1 , 2 ,)iiiN 自電位系數(shù)()i jij 互電位系數(shù)（1） 電位系數(shù)電位系數(shù)第24頁/共152頁25 i j 在數(shù)值上等于第i 個導體上的總電量為一個單位、而其余 導體上的總電量都為零時，第 j 個導體上的電位，即i j 只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質 參數(shù)有關，

16、而與各導體的電位和帶電量無關；具有對稱性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNii jjqqqqi jNqi j 0 ； 電位系數(shù)的特點：第25頁/共152頁26若已知各導體的電位，則各導體的電量可表示為 1(1, 2 ,)Nii jjjqiN 式中：(1 , 2 ,)iiiN 自電容系數(shù)或自感應系數(shù) ()i jij 互電容系數(shù)或互感應系數(shù) （2） 電容系數(shù)電容系數(shù)第26頁/共152頁27 i j 在數(shù)值上等于第 j個導體上的電位為一個單位、而其余導 體接地時，第 i 個導體上的電量，即 i j 只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質 參數(shù)有關，而與各導體的

17、電位和帶電量無關；具有對稱性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNiijjqi jNi i 0 、 ；0()ijij 電容系數(shù)的特點：第27頁/共152頁28將各導體的電量表示為 式中：（3） 部分電容部分電容(1, 2 ,)iN()Nijiji iij iCC111()()NNNNii jjijjijiijiijijijijjj ijq 導體 i 與導體 j 之間的部分電容()ijijCij 導體 i 與地之間的部分電容 NjjiiiC1第28頁/共152頁29 Ci i 在數(shù)值上等于全部導體的電位都為一個單位時，第 i 個導 體上的電量； Ci j 只與各導體的形狀

18、、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質 參數(shù)有關，而與各導體的電位和帶電量無關；具有對稱性，即Ci j = Cj i 。Ci j 0 ； Ci j 在數(shù)值上等于第 j 個導體的電位為一個單位、其余 導體都接地時，第 i 個導體上的電量；()ij 部分電容的特點：第29頁/共152頁30 在多導體系統(tǒng)中，把其中任意兩個導體作為電容器的兩個電極，設在這兩個電極間加上電壓U，極板上所帶電荷分別為 ，則比值 稱為這兩個導體間的等效電容。q/q U（4）等效電容等效電容如圖所示，有三個部分電容112212CCC、導線 1 和 2 間的等效電容為11221121122C CCCCC導線 1 和大地間的等效電容

19、為12222111222C CCCCC導線 2 和大地間的等效電容為12113221211C CCCCC1 12 212C22C11C大地大地上空的平行雙導線大地上空的平行雙導線第30頁/共152頁31 如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所作的總功將全部轉換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所作的總功。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。 任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立(或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力

20、而作功。靜電場的能量靜電場的能量 第31頁/共152頁321. 靜電場的能量靜電場的能量 設系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為 。 充電過程中某一時刻的電荷量為q、電位為 。 (01) 當增加為(+ d)時，外電源做功為: (q d)。 對從0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為101d2qq 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電場能量We ，即12eWq 對于電荷體密度為的體分布電荷，體積元dV中的電荷dV具有的電場能量為1dd2eWqV第32頁/共152頁33VWVed21SWSSed21故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，電場能量為111dd222i

21、iiieSiiSiiSSiiiWSSq 對于多導體組成的帶電系統(tǒng)，則有iq 第i個導體所帶的電荷i 第i個導體的電位式中：第33頁/共152頁342. 電場能量密度電場能量密度 從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。EDwe21電場能量密度：1d2eVWD E V電場的總能量：積分區(qū)域為電場所在的整個空間2111ddd222eVVVWD E VE E VEV 對于線性、各向同性介質，則有2111222ewD EE EE 第34頁/共152頁35由于體積V外的電荷密度0，若將上式中的積分區(qū)域擴大到整個場空間，結果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域內，當閉合面S無限擴大時，則有211

22、 O( O()DRR) 、2111d O(.d ) O()0SSDSSR RR故11dd22SVDSE D V 推證：()DDD ()ddVSD VDSE D R0S11dd22eVVWVDV1()d2VDDV第35頁/共152頁36 例例 半徑為a 的球形空間內均勻分布有電荷體密度為的電荷，試求靜電場能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一，利用 計算 VeVEDWd21 根據(jù)高斯定理求得電場強度 3220()3raEerar故VEVEVEDWVVVed21d21d2121220210第36頁/共152頁37)

23、()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二：利用 計算 VeVWd21 先求出電位分布 故5202022021154d4)3(221d21arrraVWaVe第37頁/共152頁38 已知帶電體的電荷分布，原則上，根據(jù)庫侖定律可以計算帶電體電荷之間的電場力。但對于電荷分布復雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力往往是非常困難的，因此通常采用虛位移法來計算靜電力。 虛位移法虛位移法：假設第i個帶電導體在電場力Fi的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功dAFidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We。根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關系為dddSiieWF gW其

24、中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。 具體計算中，可假定各帶電導體的電位不變，或假定各帶電導體的電荷不變。靜電力靜電力第38頁/共152頁391. 各帶電導體的電位不變各帶電導體的電位不變 此時，各帶電導體應分別與外電壓源連接，外電壓源向系統(tǒng)提供的能量11dd()dNNSiiiiiiWqq1111dd()d22NNeiiiiiiWqq系統(tǒng)所改變的靜電能量即d2dSeWW此時，所有帶電體都不和外電源相連接，則 dWS0，因此2. 各帶電導體的電荷不變各帶電導體的電荷不變ddiieF gW 式中的“”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來實現(xiàn)的。ddiieF gWeiiWFg 不變e

25、iiWFg q不變第39頁/共152頁40例例 有一平行金屬板電容器，極板面積為lb，板間距離為d，用一塊介質片（寬度為b、厚度為d，介電常數(shù)為）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應，求介質片所受的靜電力。0()lx bbxCdd所以電容器內的電場能量為220001()22ebUWCUlxxd0200()2exUWbUFxd不變由 可求得介質片受到的靜電力為eiiWFg不變 解解 平行板電容器的電容為部分填充介質的平行板電容器部分填充介質的平行板電容器dbU0lx由于由于0，所以介質片所，所以介質片所受到的力有將其拉受到的力有將其拉進電容器的趨勢進電容器的趨勢第

26、40頁/共152頁4122022 ()eqdqWCblxx2020()2 ()exqWdqFxblxx 不變000()bUqCUlxxd200()2xbUFd 此題也可用式 來計算eiiWFg q不變設極板上保持總電荷q不變，則由此可得由于同樣得到第41頁/共152頁423.2 導電媒質中的恒定電場分析導電媒質中的恒定電場分析 由J J E E 可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導體中產生電場的電荷作定向運動，但導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產生的電場稱為恒定電場。 恒定電場與靜電場重要區(qū)別： （1 1）恒定電場可以存在導體內部。 （2 2

27、）恒定電場中有電場能量的損耗, ,要維持導體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。 恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質。 第42頁/共152頁43EJ0d0dlESJCS00EJE0)(恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件1. 1. 基本方程基本方程 恒定電場的基本方程為微分形式：積分形式：0 J)(rJ 恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強度)(rE 線性各向同性導電媒質的本構關系0)(EEJ0 E 恒定電場的電位函數(shù)0E02由若媒質是均勻的，則 均勻導電媒質中均勻導電媒質中沒有體分布電荷沒有體分布電荷第43頁/共152頁442. 恒定

28、電場的邊界條件恒定電場的邊界條件0d lEC0dSJS媒質2 2媒質1 121212E1Ene0)(21JJen0)(21EEen 場矢量的邊界條件nnJJ21即ttEE21即 導電媒質分界面上的電荷面密度nnnSJJJeDDe)()()(221122211121場矢量的折射關系212211221121/tantannnntntJJEEEE第44頁/共152頁45 電位的邊界條件nn221121, 恒定電場同時存在于導體內部和外部，在導體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因 而導體表面不是等位面；ab11、 說明：第45頁/共152頁46媒質媒質2 2媒質媒質1

29、12122E1E)(12媒質媒質2 2媒質媒質1 12012Ene1E)0(1 如 21、且 290，則 10， 即電場線近似垂直于與良導體表面。 此時，良導體表面可近似地看作為 等位面； 若媒質1為理想介質，即 10，則 J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即導體中 的電流和電場與分界面平行。第46頁/共152頁47恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。

30、第47頁/共152頁48恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬基本方程ED,EEJ0202nnttDDEE2121 nnttJJEE2121 靜電場（ 區(qū)域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,Ed0,d0SCDSEl0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本構關系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應物理量靜電場EEDJqI恒定電場GC第48頁/共152頁49 例例一個有兩層介質的平行板電容器，其參數(shù)分別為 1、 1和 2、 2，外加電壓U。求介質面上的自由電荷密度。 解解：極板是理想導體，為等位面，電流沿z方向。1212nnJJJJJ 由由12121122,JJJJEE

31、12121211221212()()ddddUUUE dE dJJU12nnSDD 由由121212,SSDJDJ 下下上上21122121212112()SDDJUdd 介介U1d2d11, 22, zo第49頁/共152頁50 例例 填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為a，外導體半徑為，外導體半徑為c，介質的分界面，介質的分界面半徑為半徑為b。兩層介質的介電常數(shù)為。兩層介質的介電常數(shù)為 1和和 2 、電導率為、電導率為 1和和 2 。設內導體的電壓為。設內導體的電壓為U0 ，外，外導體接地。求：（導體接地。求：（1）兩導體之間的電流密度和電場強度分布

32、；（）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（2）介質分界面上的自）介質分界面上的自由電荷面密度。由電荷面密度。J1212I外導體外導體內導體內導體介質2 2介質1abc11、22、0U第50頁/共152頁51 （1 1）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為I,I,則由 可得電流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介質中的電場：222()2JIEebc 解解 電流由內導體流向外導體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布。可先假設電流為I，由求出電流密度 的表達式，然后求出 和 ，再由 確定出電流 I。J012ddbcabUEE1E2E第51頁/共152頁521202

33、1()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故兩種介質中的電流密度和電場強度分別為120212ln()ln()UIb ac bps sss=+01212ddlnln22bcabIbIcUEEab由于于是得到第52頁/共152頁5312011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b Sne D （2）由 可得，介質1內表面的電荷面密度為介質2外表

34、面的電荷面密度為兩種介質分界面上的電荷面密度為J2112I第53頁/共152頁54 工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導率遠遠小于金屬材料的電導率，但畢竟不為零，因而當在電極間加上電壓U 時，必定會有微小的漏電流 J 存在。 漏電流與電壓之比為漏電導，即UIG 其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即IUGR1漏電導漏電導第54頁/共152頁55(1) 假定兩電極間的電流為I；(2) 計算兩電極間的電流密度 矢量J；(3) 由J = E 得到 E ;(4) 由 ，求出兩導 體間的電位差；(5) 求比值 ，即得出 所求電導。21dlEUUIG/ 計算電

35、導的方法一計算電導的方法一： 計算電導的方法二計算電導的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為U； (2) 計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由 得到E; (4) 由 J = E 得到J; (5) 由 ，求出兩導體間 電流； (6) 求比值 ，即得出所 求電導。ESSJIdUIG/ 計算電導的方法三計算電導的方法三：靜電比擬法：CG第55頁/共152頁56 例例 求同軸電纜的絕緣電阻。設內外的半徑分別為a、b，長度為l ，其間媒質的電導率為、介電常數(shù)為。解解：直接用恒定電場的計算方法電導)/ln(2ablUIG絕緣電阻ablGRln211baablIlIlEUln2d2dlba則IlIJ2

36、lIJE2設由內導體流向外導體的電流為I。第56頁/共152頁57012222000, 0U 方程通解為21CC 例例 在一塊厚度h 的導電板上， 由兩個半徑為r1和r2的圓弧和夾角為 0的兩半徑割出的一段環(huán)形導電媒質，如圖所示。計算沿 方向的兩電極之間的電阻。設導電媒質的電導率為。 解：解： 設在沿 方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿 方向流動，而且電流密度是隨 變化的。但容易判定電位 只是變量 的函數(shù)，因此電位函數(shù) 滿足一維拉普拉斯方程代入邊界條件可以得到10020/,CUCU 環(huán)形導電媒質塊r1hr2 0J第57頁/共152頁58電流密度00UJEe 兩電極之間的電流21002001

37、ddlnrSrUU hrIJSee hr故沿 方向的兩電極之間的電阻為0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以00UEee 第58頁/共152頁59恒定磁場的基本方程和邊界條件 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位 電感 恒定磁場的能量 磁場力 3.3 恒定磁場分析第59頁/共152頁600HJB微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 邊界條件邊界條件本構關系：SnnJHHeBBe)(0)(2121SttnnJHHBB21210或若分界面上不存在面電流，即J JS S0 0，則積分形式: :0)(0)(2121HHeBBenn或002121ttnnHHBB恒

38、定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件第60頁/共152頁61 矢量磁位的定義 磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標量 的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由AA 0BBA 即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。 磁矢位的任意性是因為只規(guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。0A()AAA 1. 恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位恒定磁場的矢量磁位和標量磁位第61頁/共152頁62 磁矢位的微分方程在無源區(qū)：ABHJ0

39、A0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表達式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ( )111()( )()( )( )()J rJ rJ rJ rRRRR31()RRR 第62頁/共152頁63 磁矢位的邊界條件dddSSCBSASAl( )( )d4VJ rA rVR由此可得出（可以證明滿足 ） 0A對于面電流和細導線電流回路，磁矢位分別為( )( )d4SSJrA rSR面電流：細線電流：d( )4CIlA rR 利用磁矢位計算磁通量：ddCSAlBS12ttAA

40、0Ad0SAS12nnAA12AA12()nSeHHJ/HA 121211()nSeAAJ第63頁/共152頁64 例例 求小圓環(huán)電流回路的遠區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為a，回路中的電流為I 。 解解 如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均與 無關，計算xz平面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圓環(huán)電流小圓環(huán)電流aIxzyrRdlrIP第64頁/共152頁65對于遠區(qū)，

41、有r a ，所以21 21 2112121 ( )sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001( )(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerrrrrr202sin4yI aer r由于在 =0面上 ，所以上式可寫成yeerr于是得到20022( )sinsin44I aISA reerr rrrr第65頁/共152頁6611(sin)()sinrBAeAerArrr rrrr03(2cossin )4rISeerrr式中S =a2是小圓環(huán)的面積。 載流小圓環(huán)可看作為磁偶極子， 為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則mpISrr02( )sin

42、4mpA rerrrr或 03( )4mA rprrrrrr03( )(2cossin )4mrpB reerrrrr第66頁/共152頁67 解解：先長度為2L的直線電流的磁矢位。電流元 到點 的距離 。則22()RzzddzI le I z( , , )Pz 0221()d4()LzLIA rezzz220ln() 4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例例 求無限長線電流 I 的磁矢位，設電流沿+z方向流動。與計算無限長線電荷的電位一樣，令 可得到無限長線電流的磁矢位 L 01( )ln2zIA reCxyzL-L( , , ) z zddzI l

43、e I zR第67頁/共152頁682. 恒定磁場的標量磁位恒定磁場的標量磁位 一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導電流（J0）的空間 中，則有即在無傳導電流（J0）的空間中，可以引入一個標量位函數(shù)來描述磁場。 標量磁位的引入0HmH 標量磁位或磁標位 磁標位的微分方程00,()BBHM將 代入mH 0mH20mm 0mHM 0mM 等效磁荷體密度等效磁荷體密度第68頁/共152頁69 與靜電位相比較，有 標量磁位的邊界條件021()mSneMM 00mBHHB 、20m在線性、各向同性的均勻媒質中 標量磁位的表達式01( )( )d4VrrVR0( )1( )d4mmVrrV

44、R1212mmnn和12mm或210mmmSnn 和12mm式中： 等效磁荷面密度第69頁/共152頁70靜電位 磁標位 磁標位與靜電位的比較0,ED0,0HBE mH PP 0mM 20()P 20mm 021()mSneMM 21()PSnePP 121212,mmmmnn121212,nn 靜電位 0 PEDP磁標位 m 0 mHB0M第70頁/共152頁71220000,mmmqa Mqa Mq 下下上上上上當r l 時，可將磁柱體等效成磁偶極子，則利用與靜電場的比較和電偶極子場，有33001144mmprp rrr 200mmzpqlpq leaM l：其其中中0mB 解解：M為常數(shù)

45、， m= 0，柱內沒有磁荷。在柱的兩個端面上，磁化磁荷為0000,mmMM 下下上上R1R2rPzx-l/2l/2M 例例3.3.3半徑為a、長為l的圓柱永磁體，沿軸向均勻磁化，其磁化強度為 。求遠區(qū)的磁感應強度。0zMe M 第71頁/共152頁721. 磁通與磁鏈磁通與磁鏈 ii電感電感 單匝線圈形成的回路的磁鏈定 義為穿過該回路的磁通量 多匝線圈形成的導線回路的磁 鏈定義為所有線圈的磁通總和 CI 細回路細回路 粗導線構成的回路，磁鏈分為 兩部分：一部分是粗導線包圍 的、磁力線不穿過導體的外磁通量 o ；另一部分是磁力線穿過 導體、只有粗導線的一部分包圍的內磁通量 i。 iCI o粗回路

46、粗回路第72頁/共152頁73 設回路C中的電流為I，所產生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈為 ，則磁鏈 與回路 C 中的電流 I 有正比關系，其比值IL 稱為回路 C 的自感系數(shù)，簡稱自感。 外自感ILii ILoo 2. 自感自感 內自感；粗導體回路的自感：L = Li + Lo 自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質有關，與電流無關。 自感的特點：第73頁/共152頁74 解解：先求內導體的內自感。設同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理2222diCIIHlIaa022,22iiIIHBaa穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS =d 的磁通為02ddd2iiIBSa (0)a 例例 求同軸線

47、單位長度的自感。設內導體半徑為a，外導體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。得與di交鏈的電流為22IIa 則與di相應的磁鏈為304ddd2iiIIIaabadIiB第74頁/共152頁75因此內導體中總的內磁鏈為30040dd28aiiIIa08iiLI故單位長度的內自感為再求內、外導體間的外自感。00ddln22booaIIba00ln82iobLLLa20IB 0dd2ooId則0ln2oobLIa故單位長度的外自感為單位長度的總自感為第75頁/共152頁76 例例 計算平行雙線傳輸線單位的長度的自感。設導線的半徑為a，兩導線的間距為D，且D a。導線及周圍媒質的磁導率為0 。001

48、1d()dln2D aoaIIDaBSxxDxa011( )()2yIB xexDx穿過兩導線之間沿軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為 解解 設兩導線流過的電流為I 。由于D a ，故可近似地認為導線中的電流是均勻分布的。應用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點P 的磁感應強度為xyzxDaPII第76頁/共152頁77于是得到平行雙線傳輸線單位的長度的外自感00lnlnooDaDLIaa00ln4ioDLLLa00284iL 兩根導線單位的長度的內自感為故得到平行雙線傳輸線單位的長度的自感為第77頁/共152頁78 對兩個彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2 ，當回路C1中通過

49、電流 I1時，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈 12也與I1成正比，其比例系數(shù)12121IM 稱為回路C1 對回路C2 的互感系數(shù)，簡稱互感。21212IM 3. 互感互感同理，回路 C2 對回路 C1 的互感為C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r第78頁/共152頁79 互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍 磁介質有關，而與電流無關。 滿足互易關系，即M12= M21 當與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互 感系數(shù)M為正值；反之，則互感系數(shù)M為負值。 互感的特點：第79頁/共152頁8010 1112d( )4CIlA rR1

50、20122112dd4CCllMMMR 4. 4. 紐曼公式紐曼公式 如圖所示的兩個回路C1和回路C2 ，回路C1中的電流 I1在回路C2上的任一點產生的矢量磁位 2121210121dd4dCCCRllIlA回路C1中的電流 I1產生的磁場與回路C2交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r1201212dd4CCllMR 故得2102121dd4CCllMR 同理紐曼公式紐曼公式第80頁/共152頁8102IBe0001dd dd22d bzd bSddIIzBSz由圖中可知()tan(3)3()zbdbd長直導線與三角形回路長直導線與三角形回路Idz60bddSz穿過三角形回路

51、面積的磁通為 解解 設長直導線中的電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定律，得到 例例 如圖所示，長直導線與三角形導體回路共面，求它們之間的互感。第81頁/共152頁82031()d2dbdIbd03()ln(1)2Ibbdbd03()ln(1)2IbMbdbId因此故長直導線與三角形導體回路的互感為第82頁/共152頁83 例例 如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈C1和C2，半徑分別為a1和a2，中心相距為d。求它們之間的互感。12120021212121ddd d cos44CCCCllllMrrrr 2221 2211212212cos()rrdaaa a于是有 2201221212221 200

52、121221cos()dd42cos()a aMdaaa a 20122221 201212cos d22cos a adaaa a 解解 利用紐曼公式來計算，則有兩個平行且共軸的線圈兩個平行且共軸的線圈2Cd1a2a1C1dl2dl21xyz121式中= 2 1為 與 之間的夾角，dl1=a1d 1、 dl2=a1d 2，且1dl2dl第83頁/共152頁84 若d a1，則2221 2221 21 212121222222cos2cos 1a adaaa adada221 2122222cos1a adada于是 222012012122222 3 2220222cos1cos d22a

53、aa aa aMdadada 一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若d a1或d a2時，可進行近似計算。第84頁/共152頁85恒定磁場的能量恒定磁場的能量1. 磁場能量磁場能量 在恒定磁場建立過程中，電源克服感應電動勢作功所供給的能量，就全部轉化成磁場能量。 電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運動，表明恒定 磁場具有能量。 磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當電流從 零開始增加時，回路中的感應電動勢要阻止電流的增加，因 而必須有外加電壓克服回路中的感應電動勢。 假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗。 假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻 射損耗。第8

54、5頁/共152頁86 設回路從零開始充電，最終的電流為 I 、交鏈的磁鏈為 。 在時刻t 的電流為i =I、磁鏈為 = 。 (01)ddit 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為 I 的載流回路具有的磁場能量Wm，即2111d222mCWIIAlLI對從0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應為所做的功ddiut 101dd2WWII dddddddWu qi tiIt 當增加為(+ d)時，回路中的感應電動勢:第86頁/共152頁87 對于多個載流回路，則有1111d22jNNmjjjjjCjjWIIAl 對于體分布電流，則有1d2mVWJ A V例如，兩個電流回路C1和回路C21

55、2112111122222111121212222221 1221 211()d()d22111122221122mCCWAAI lAAIlIIIIL IL IM I I回路回路C2的自有能的自有能回路回路C1的自有能的自有能C1和和C2的互能的互能第87頁/共152頁882. 磁場能量密度磁場能量密度 從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。磁場能量密度：磁場的總能量：積分區(qū)域為電場所在的整個空間對于線性、各向同性介質，則有12mwB H1d2mVWB H V2111222mwB HH HH2111ddd222mVVVWB H VH H VHV第88頁/共152頁89若電流分布在有

56、限區(qū)域內，當閉合面S無限擴大時，則有211 O( O()DRR) 、2111d O(.d ) O()0SSDSSR RR 故11dd22eVVWJ A VH A V 推證：()d() dVSA HVA HSBA JHHAAHHARSJ0J 1()d2VA HA HV11d() d22VSB H VA HS第89頁/共152頁90 例例 同軸電纜的內導體半徑為a，外導體的內、外半徑分別為 b和c，如圖所示。導體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。 解解：由安培環(huán)路定律，得2222202220IeaaIeabHIcebccbcabc第90頁/共152頁9122220322

57、2422022222() () 2d223ln4()4()cmbIcWcbIcccbcbbcb 三個區(qū)域單位長度內的磁場能量分別為200120()2d2216amIIWa 22002() 2dln224bmaIIbWa 第91頁/共152頁92單位長度內總的磁場能量為123222422000222223lnln1644()4()mmmmWWWWIIIbcccbacbbcb單位長度的總自感42200022222223lnln822()4()mWbcccbLIacbbcb內導體的內自感內導體的內自感內外導體間的外自感內外導體間的外自感外導體的內自感外導體的內自感第92頁/共152頁93 磁場力磁場

58、力 dddSiimWF gW 假定第i 個回路在磁場力的作用下產生一個虛位移dgi 。此時，磁場力做功dAFidgi，系統(tǒng)的能量增加dWm。根據(jù)能量守恒定律，有式中dWS是與各電流回路相連接的外電源提供的能量。 具體計算過程中，可假定各回路電流維持不變，或假定與各回路交鏈的磁通維持不變。虛位移原理虛位移原理第93頁/共152頁941 . 各回路電流維持不變各回路電流維持不變ddiimF gW 若假定各回路中電流不改變，則回路中的磁鏈必定發(fā)生改變，因此兩個回路都有感應電動勢。此時，外接電源必然要做功來克服感應電動勢以保持各回路中電流不變。此時，電源所源提供的能量 11dd()dNNSiiiiii

59、WII 即d2dSmWW于是有故得到miiWFg 不變I系統(tǒng)增加的磁能 1111dd()d22NNmiiiiiiWII第94頁/共152頁952. 各回路的磁通不變各回路的磁通不變ddiimF gW 故得到式中的“”號表示磁場力做功是靠減少系統(tǒng)的磁場能量來實現(xiàn)的 。 若假定各回路的磁通不變，則各回路中的電流必定發(fā)生改變。由于各回路的磁通不變，回路中都沒有感應電動勢，故與回路相連接的電源不對回路輸入能量，即 dWS0，因此miiWFg 不變第95頁/共152頁96001d 2miiWFVxx B H氣隙不220000012d2xBSBSxx=-=- 例例3.3.9 如圖所示的一個電磁鐵，由鐵軛（

60、繞有N 匝線圈的鐵芯）和銜鐵構成。鐵軛和銜鐵的橫截面積均為S ，平均長度分別為 l1 和 l2 。鐵軛與銜鐵之間有一很小的空氣隙，其長度為x 。設線圈中的電流為I，鐵軛和銜鐵的磁導率為 。若忽略漏磁和邊緣效應，求鐵軛對銜鐵的吸引力。 解解 在忽略漏磁和邊緣效應的情況下，若保持磁通不變，則B和H不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的磁場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則要變化。于是作用在銜鐵上的磁場力為電磁鐵電磁鐵I1lxS2l空氣隙中的空氣隙中的磁場強度磁場強度第96頁/共152頁97120()2H llH xNI00120()2NIBllx 2200120122 ()2mSN IWNISBllx 222